Zobecněná Fibonacciho čísla

Fibonacciho čísla tvoří posloupnost definovanou rekurzí

F_{0}=0,

F_{1}=1,

{\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2))

pro celé číslo .

n>1

To znamená, že počínaje dvěma počátečními hodnotami se každé číslo rovná součtu dvou předchozích.

Fibonacciho posloupnost byla rozsáhle studována a zobecněna mnoha způsoby, jako je zahájení posloupnosti jinými čísly než 0 nebo 1 nebo přidáním více než dvou předcházejících čísel k vytvoření dalšího čísla. Tento článek popisuje různá rozšíření a zobecnění Fibonacciho čísel.

Rozšíření na záporná čísla

Pokud používáte rekurzi , můžete rozšířit Fibonacciho čísla na záporná čísla. Dostaneme: ${\displaystyle F_{n-2}=F_{n}-F_{n-1))$

... −8, 5, −3, 2, −1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

s obecným pojmem vzorec . ${\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n))$

Viz také Negafibonacciho čísla .

Rozšíření na reálná a komplexní čísla

Existuje mnoho možných zobecnění, která rozšiřují Fibonacciho čísla na reálná čísla (a někdy na komplexní čísla ). Používají zlatý řez φ a vycházejí z Binetova vzorce

F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}.

Analytická funkce

\operatorname {Fe} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}

má vlastnost, že pro sudá celá čísla n [1] . Podobně pro analytickou funkci $\operatorname {Fe} (n)=F_{n}$

\operatorname {Fo} (x)={\frac {\varphi ^{x}+\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}

platí pro všechna lichá celá čísla n . $\operatorname {Fo} (n)=F_{n}$

Když to dáme dohromady, dostaneme analytickou funkci

\operatorname {Fib} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\cos(x\pi )\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}},

pro která platí pro všechna celá čísla n [2] . ${\displaystyle \operatorname {Fib} (n)=F_{n))$

Protože pro všechna komplexní čísla z dává tato funkce také rozšíření Fibonacciho posloupnosti pro celou komplexní rovinu. Můžeme tedy vypočítat zobecněnou Fibonacciho funkci pro komplexní proměnnou, např. $\operatorname {Fib} (z+2)=\operatorname {Fib} (z+1)+\operatorname {Fib} (z)$

\operatorname {Fib} (3+4i)\cca -5248{,}5-14195{,}9i.

Vektorový prostor

Termín Fibonacciho posloupnost lze aplikovat na jakoukoli funkci g , která mapuje celočíselnou proměnnou na nějaké pole, pro které . Tyto funkce jsou přesně funkcemi formy , takže Fibonacciho posloupnosti tvoří vektorový prostor, jehož základem jsou funkce a . $g(n+2)=g(n)+g(n+1)$ $g(n)=F(n)g(1)+F(n-1)g(0)$ $F(n)$ $F(n-1)$

Libovolnou Abelovu grupu (uvažovanou jako Z - modul ) lze vzít jako definiční obor funkce g . Potom Fibonacciho sekvence tvoří 2-rozměrný Z - modul.

Podobné celočíselné posloupnosti

Celočíselné Fibonacciho posloupnosti

2-rozměrný Z - modul posloupností Fibonacciho celých čísel se skládá ze všech celočíselných posloupností, které splňují vztah . Vyjádřeno pomocí prvních dvou počátečních hodnot dostáváme $g(n+2)=g(n)+g(n+1)$

g(n)=F(n)g(1)+F(n-1)g(0)=g(1){\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{ -n}}{\sqrt {5}}}+g(0){\frac {\varphi ^{n-1}-(-\varphi )^{1-n}}{\sqrt {5}}} ,

kde φ je zlatý řez.

Poměr mezi dvěma po sobě jdoucími prvky konverguje ke zlatému řezu, s výjimkou posloupnosti, která se skládá z nul a posloupností, ve kterých je poměr prvních dvou členů roven . $(-\varphi )^{-1}$

Sekvenci lze zapsat jako

a\varphi ^{n}+b(-\varphi )^{-n},

ve kterém tehdy a jen tehdy, když . V této podobě je nejjednodušší netriviální příklad a tato sekvence se skládá z Lucasových čísel : $a=0$ $b=0$ $a=b=1$

L_{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}.

Máme a . Provedeno: $L_{1}=1$ $L_{2}=3$

{\begin{aligned}\varphi ^{n}&=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}={\frac { L(n)+F(n){\sqrt {5}}}{2}},\\L(n)&=F(n-1)+F(n+1).\end{aligned}}

Jakákoli netriviální posloupnost Fibonacciho celých čísel (případně po posunutí o konečný počet pozic) je jedním z řádků Wythoffovy tabulky . Samotná Fibonacciho posloupnost je prvním řádkem a posunutá Lucasova posloupnost je druhým řádkem [3] .

Viz také Posloupnosti Fibonacciho čísel modulo n .

Lukášovy sekvence

Dalším zobecněním Fibonacciho sekvencí jsou Lucasovy sekvence , definované takto:

U(0)=0

U(1)=1

U(n+2)=PU(n+1)-QU(n)

kde obvyklá Fibonacciho posloupnost je speciální případ s a . Další Lukeova sekvence začíná , . Takové sekvence mají aplikace v teorii čísel a testování primálnosti . $P=1$ $Q=-1$ $V(0)=2$ $V(1)=P$

V případě kdy se tato sekvence nazývá P -Fibonacciho sekvence . Například Pellova sekvence se také nazývá Fibonacciho 2-sekvence . $Q=-1$

3-Fibonacciho sekvence

0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927, 12970, 42837, 141481, 467280, 1543321, 5097243, 1685956050, 216356050 , 21630,216

4-Fibonacciho sekvence

0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473, 23184, 98209, 416020, 1762289, 7465176, 31622993, 1339571745, 1339571745 , 48558

5-Fibonacciho sekvence

0, 1, 5, 26, 135, 701, 3640, 18901, 98145, 509626, 2646275, 13741001, 71351280, 370497401, 1889,96 sekvence A8997401 , 18829698

6-Fibonacciho sekvence

0, 1, 6, 37, 228, 1405, 8658, 53353, 328776, 2026009, 12484830, 76934989, 474094764, 29215035073, A06 , sekvence A06061

n -Fibonacciho konstanta je hodnota, ke které směřuje poměr sousedních čísel n - Fibonacciho posloupnosti. Nazývá se také n -tý poměr cenného kovu a je jediným kladným kořenem rovnice. Například v případě,že konstanta je, neboli zlatý řez , a v případě, že je konstanta 1 + √ 2 , neboli stříbrný řez . Pro obecný případ je n -konstanta. $x^{2}-nx-1=0$ $n=1$ ${\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ $n=2$ ${\tfrac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}$

V obecném případě ji lze nazvat - Fibonacciho posloupnost , nebo ji lze nazvat Lucasova posloupnost . $U(n)$ $(P,-Q)$ $V(n)$ $(P,-Q)$

(1,2)-Fibonacciho sekvence

0 1 1 3 5 11 21 43 85 171 341 683 1365 2731 5461 10923 21845 43691 87381 174763 349525 69172851 116,41,9251 1161193

(1,3)-Fibonacciho sekvence

sekvence A006130 v OEIS

(2,2)-Fibonacciho sekvence

0, 1, 2, 6, 16, 44, 120, 328, 896, 2448, 6688, 18272, 49920, 136384, 372608, 1017984, 2759183, 2759183, 7063, 705, 2701983 , 705 705

(3,3)-Fibonacciho sekvence

0, 1, 3, 12, 45, 171, 648, 2457, 9315, 35316, 133893, 507627, 1924560, 7296561, 276663363, 104879772, 397629405, 1507527531, 5715470808, ... sequence A030195 in OEIS

Fibonacciho čísla vysokého řádu

Fibonacciho posloupnost řádu n je posloupnost celých čísel, ve které je každý prvek součtem předchozích n prvků (vyjma prvních n prvků posloupnosti). Obyčejná Fibonacciho čísla jsou řádu 2. Případy a jsou pečlivě vyšetřovány. Počet rozkladů nezáporných celých čísel na části nepřesahující n je Fibonacciho posloupnost řádu n . Následníkem počtu řetězců 0 a 1 délky m obsahujících nejvýše n po sobě jdoucích nul je také Fibonacciho posloupnost řádu n . $n=3$ $n=4$

Tyto posloupnosti, jejich limity termínových vztahů a jejich limity termínových vztahů studoval Mark Barr v roce 1913 [4] .

Tribonacciho čísla

Tribonacciho čísla jsou podobná Fibonacciho číslům, ale místo dvou předdefinovaných čísel začíná sekvence třemi čísly a každý další člen je součtem předchozích tří:

0 , 0 , 1 , 1 , 2 , 4 , 7 , 13 , 24 , 44 , 81 , 149 , 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 105613, 13 07, sekvence 03 601 , 13 07

Tribonacciho konstanta

{\frac {1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33))))+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33)) }}}{3}}\cca 1,839286755214161,

sekvence A058265 v OEIS

je hodnota, ke které se blíží poměr dvou sousedních tribonacciho čísel. Číslo je kořenem polynomu a také splňuje rovnici . Tribonacciho konstanta je důležitá při studiu snub kostky . $x^{3}-x^{2}-x-1=0$ $x+x^{-3}=2$

Převrácená hodnota tribonacciho konstanty , vyjádřená jako poměr , může být zapsána jako: $\xi ^{3}+\xi ^{2}+\xi =1$

\xi ={\frac {{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33))))-{\sqrt[{3}]{-17+3{\sqrt {33 }}}}-1}{3}}={\frac {3}{1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3} ]{19-3{\sqrt {33}}}}}}\cca 0,543689012.

Tribonacciho čísla jsou dána také vzorcem [5]

T(n)=\left\lpatro 3b{\frac {\left({\frac {1}{3}}\left(a_{+}+a_{-}+1\right)\right) ^{n}}{b^{2}-2b+4}}\vpravo\rceil

kde ⌊ • ⌉ znamená nejbližší celé číslo a

{\begin{aligned}a_{\pm }&={\sqrt[{3}]{19\pm 3{\sqrt {33))))\\b&={\sqrt[{3}] {586+102{\sqrt {33}}}}\end{aligned}}

. Tetranacci čísla

Čísla tetranacci začínají čtyřmi předdefinovanými členy a každý další člen se vypočítá jako součet předchozích čtyř členů v sekvenci. Prvních několik tetranacciho čísel:

0,0,0,1,1,2,4,8,15,29,56,108,208,401,773,1490,2872,5536,10671,20569,39648,76424,147312,283953,54 __ _ _ _ _ _ _ _ (sekvence A000078 v OEIS )

Tetranacciho konstanta je hodnota, ke které směřuje poměr sousedních členů tetranacciho posloupnosti. Tato konstanta je kořenem polynomu a je přibližně rovna 1,927561975482925 A086088 a splňuje rovnici . $x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0$ $x+x^{-4}=2$

Tetranacciho konstanta je vyjádřena pomocí radikálů [6]

\left(p_{1}+{\tfrac {1}{4}}\right)+{\sqrt {\left(p_{1}+{\tfrac {1}{4}}\right) ^{2}-{\frac {2\lambda _{1}}{p_{1}}}\left(p_{1}+{\tfrac {1}{4}}\right)+{\frac { 7}{24p_{1}}}}+{\tfrac {1}{6}}}}

kde

{\begin{aligned}p_{1}&={\sqrt {\lambda _{1}+{\tfrac {11}{48))))\\\lambda _{1}&={\ frac {{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {1689}}-65}}-{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {1689}}+65}}}{12{\ sqrt[{3}]{2}}}}.\end{aligned}}

Vyšší řády

Byly vypočteny počty pentanacci (5. řád), hexanacci (6. řád) a heptanacci (7. řád).

Pentanacciho čísla (5. řád):

0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, 6930, 13624, ... sekvence OEIS A001591

Hexanacciho čísla (6. řád):

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, 492, 976, 1936, 3840, 7617, 15109, ... OEIS sekvence A00159

Heptanacciho čísla (7. řád):

0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 253, 504, 1004, 2000, 3984, 7936, 15808, ... 2 sekvence OEIS A1

Octanacci čísla (8. řád):

sekvence 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 255, 509, 1016, 2028, 4048, 8080, 16128, ... A079262 v OEIS

Nonacciho čísla (9. řád):

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511, 1021, 2040, 4076, 8144, 16,272, 16,272 .sekvence A104144 v OEIS

Limit poměru po sobě jdoucích členů n - nacci sekvence směřuje ke kořeni rovnice ( A103814 , A118427 , A118428 ). $x+x^{-n}=2$

Alternativní rekurzivní vzorec pro limitu poměru r dvou po sobě jdoucích n -nacci čísel

{\displaystyle r=\sum _{k=0}^{n-1}r^{-k))

Zvláštním případem je tradiční Fibonacciho sekvence a dává zlatý řez . $n=2$ $\varphi =1+{\tfrac {1}{\varphi }}$

Výše uvedené poměrové vzorce jsou platné pro n -nacci sekvence generované z libovolných čísel. Limit tohoto poměru je 2, protože n má tendenci k nekonečnu. Posloupnost čísel „nekonečně-nacci“, pokud se ji pokusíte popsat, by měla začínat nekonečným počtem nul, po kterých by měla následovat posloupnost

[...], 0, 0, 1,] 1, 2, 4, 8, 16, 32, …,

tedy prostě mocniny dvou.

Limit posloupnosti pro libovolný je kladným kořenem charakteristické rovnice r [6] $n>0$

x^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}x^{i}=0.

Kořen r je v intervalu . Záporný kořen charakteristické rovnice je v intervalu (−1, 0), pokud je n sudé. Tento kořen a každý komplexní kořen charakteristické rovnice má modul [6] . $2(1-2^{-n})<r<2$ $3^{-n}<\vert r\vert <1$

Posloupnost pro kladnou odmocninu r pro libovolný [6] $n>0$

2-2\sum _{i>0}{\frac {1}{i}}{\binom {(n+1)i-2}{i-1}}{\frac {1}{ 2^{(n+1)i}}}.

Neexistuje řešení charakteristické rovnice z hlediska radikálů if [6] . $5\leqslant n\leqslant 11$

k -tý prvek posloupnosti n -nacci je dán vzorcem

F_{k}^{(n)}=\left\lpatro {\frac {r^{k-1}(r-1)}{(n+1)r-2n))\right\rceil ,

kde ⌊ • ⌉ znamená nejbližší celé číslo a r je konstanta n -nacci, která je odmocninou nejblíže 2 [7] . $x+x^{-n}=2$

Problém hodu mincí souvisí s n -nacci posloupností. Pravděpodobnost, že se ocasy nevynoří n po sobě jdoucích časů v m hodech ideální mince, je [8] . ${\displaystyle {\tfrac {1}{2^{m}}}F_{m+2}^{(n)))$

Fibonacciho slovo

Analogicky s numerickou analogií je slovo Fibonacci definováno jako

F_{n}:=F(n):={\begin{cases}{\text{b}}&,n=0;\\{\text{a}}&,n=1;\ \F(n-1)+F(n-2)&,n>1.\\\end{cases}}

kde + znamená zřetězení dvou řetězců. Sekvence Fibonacciho řetězců začíná na

b, a, ab, aba, abaab, abaababa, abaababaabaab, … sekvence OEIS A106750

Délka každého Fibonacciho řetězce je rovna Fibonacciho číslu a pro každé Fibonacciho číslo existuje Fibonacciho řetězec.

Fibonacciho řetězce se pro některé algoritmy ukázaly jako nejhorší případ vstupů .

Jestliže "a" a "b" představují dva různé materiály nebo délky atomových vazeb, struktura odpovídající Fibonacciho řetězci je Fibonacciho kvazikrystal , neperiodická kvazikrystalická struktura s neobvyklými spektrálními vlastnostmi.

Skládané Fibonacciho sekvence

Složená Fibonacciho sekvence je získána aplikací operace skládání na Fibonacciho sekvenci jednou nebo vícekrát. Definuj [9] :

F_{n}^{(0)}=F_{n}

{\displaystyle F_{n}^{(r+1)}=\sum _{i=0}^{n}F_{i}F_{ni}^{(r)))

Několik prvních sekvencí

r = 1: 0, 0, 1, 2, 5, 10, 20, 38, 71, ... A001629 . r = 2: 0, 0, 0, 1, 3, 9, 22, 51, 111, ... A001628 . r = 3: 0, 0, 0, 0, 1, 4, 14, 40, 105, ... A001872 .

Sekvence lze vypočítat pomocí rekurzivního vzorce

F_{n+1}^{(r+1)}=F_{n}^{(r+1)}+F_{n-1}^{(r+1)}+F_{n} ^{(r)}

Generující funkcí r-té konvoluce je

s^{(r)}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }F_{n}^{(r)}x^{n}=\left({\frac { x}{1-xx^{2}}}\vpravo)^{r}.

Sekvence souvisí s posloupností Fibonacciho polynomů vztahem

F_{n}^{(r)}=r!F_{n}^{(r)}(1)

kde je r- tá derivace . Ekvivalentně je koeficient rozšířený jako součet mocnin . $F_{n}^{(r)}(x)$ $F_{n}(x)$ ${\displaystyle F_{n}^{(r)))$ ${\displaystyle (x-1)^{r))$ $F_{n}(x)$ $(x-1)$

První konvoluci lze zapsat pomocí Fibonacciho a Lucasova čísla ${\displaystyle F_{n}^{(1)))$

F_{n}^{(1)}={\frac {nL_{n}-F_{n}}{5}}

a splňuje recidivační vztah

F_{n+1}^{(1)}=2F_{n}^{(1)}+F_{n-1}^{(1)}-2F_{n-2}^{(1) )}-F_{n-3}^{(1)}.

Podobný výraz lze nalézt pro r > 1 , s rostoucí složitostí, jak r roste . Čísla jsou součty v řádcích Hosoyova trojúhelníku . ${\displaystyle F_{n}{(1)))$

Stejně jako u Fibonacciho čísel existuje několik kombinatorických interpretací těchto posloupností. Například je počet způsobů, jak zapsat n − 2 jako uspořádaný součet čísel 0, 1 a 2, kde 0 je použito právě jednou. Konkrétně 4 - 2 = 2 lze zapsat jako 0 + 1 + 1 , 0 + 2 , 1 + 0 + 1 , 1 + 1 + 0 , 2 + 0 . [deset] ${\displaystyle F_{n}^{(1)))$ $F_{4}^{(1)}=5$

Další zobecnění

Fibonacciho polynomy jsou dalším zobecněním Fibonacciho čísel.

Padovanská posloupnost je tvořena rekurentním vztahem . $P(n)=P(n-2)+P(n-3)$

Náhodná Fibonacciho sekvence může být definována jako házení mincí pro každou pozici n sekvence a volbav případě hlav aocasů. Podle práce Furstenberga a Kestena tato sekvence téměř jistě roste exponenciálně konstantní rychlostí. Konstantu rychlosti růstu vypočítal v roce 1999 Diwakar Viswanath a je známá jako „ Viswanathova konstanta “. $F(n)=F(n-1)+F(n-2)$ $F(n)=F(n-1)-F(n-2)$

Repfigit , neboli Keithovo číslo , je celé číslo, které je výsledkem Fibonacciho posloupnosti začínající posloupností čísel představujících posloupnost číslic čísla. Například pro číslo 47 Fibonacciho posloupnost začíná 4 a 7 a obsahuje 47 jako šestý člen ( (4, 7, 11, 18, 29, 47) ). Číslo velryby lze získat jako tribonacciho posloupnost, pokud obsahuje 3 číslice, jako tetranacciho posloupnost, pokud číslo obsahuje 4 číslice atd. Prvních několik čísel velryby je:

14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, ... sekvence OEIS9 A007

Vzhledem k tomu, že množina sekvencí splňujících relace je uzavřena při elementárním sčítání a násobení konstantou, lze ji považovat za vektorový prostor . Každá taková sekvence je jednoznačně určena výběrem dvou prvků, takže vektorový prostor je dvourozměrný. Pokud takovou posloupnost označíme (první dva členy posloupnosti), Fibonacciho čísla a posunutá Fibonacciho čísla , budou kanonickým základem tohoto prostoru $S(n)=S(n-1)+S(n-2)$ $(S(0),S(1))$ $F(n)=(0,1)$ $F(n-1)=(1,0)$

S(n)=S(0)F(n-1)+S(1)F(n)

pro všechny takové sekvence S . Pokud je například S Lucasova posloupnost 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... , máme

L(n)=2F(n-1)+F(n)

N -generovaná Fibonacciho sekvence

Můžeme definovat N - generovanou Fibonacciho posloupnost (kde N je kladné racionální číslo).

Pokud

N=2^{a_{1}}\cdot 3^{a_{2}}\cdot 5^{a_{3}}\cdot 7^{a_{4}}\cdot 11^{a_{ 5}}\cdot 13^{a_{6}}\cdot ...\cdot P_{r}^{a_{r}},

kde P r je r- té prvočíslo , definujeme

F_{N}(n)=a_{1}F_{N}(n-1)+a_{2}F_{N}(n-2)+a_{3}F_{N}(n- 3)+a_{4}F_{N}(n-4)+a_{5}F_{N}(n-5)+...

Jestliže , předpokládáme , a v případě , předpokládáme . $n=r-1$ $F_{N}(n)=1$ $n<r-1$ $F_{N}(n)=0$

Subsekvence	N	sekvence OEIS
Fibonacciho sekvence	6	A000045
Pell sekvence	12	A000129
Jacobsthalova sekvence	osmnáct	A001045
Tribonacciho sekvence	třicet	A000073
Tetranacciho sekvence	210	A000288
Padovanská sekvence	patnáct	A000931

Semi-Fibonacciho sekvence

Semifibbonaciánská posloupnost ( A030067 ) je definována stejným rekurzivním vzorcem pro členy s lichými indexy a , ale pro sudé indexy to trvá , . Rozlišující liché členy ( A030068 ) splňují rovnici a striktně rostou. Dávají spoustu semi-fibonacciho čísel $a(2n+1)=a(2n)+a(2n-1)$ $a(1)=1$ $a(2n)=a(n)$ $n\geqslant 1$ $s(n)=a(2n-1)$ $s(n+1)=s(n)+a(n)$

sekvence 1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 16, 17, 23, 26, 35, 37, 48, 53, 69, 70, 87, 93, 116, 119, 145, 154, ... A030068 v OEIS _

pro které platí vzorec . $s(n)=a(2^{k}(2n-1)),k=0,1,...$

Poznámky

↑ Co je to Fibonacciho číslo?
↑ Pravin Chandra, Eric W. Weisstein . Fibonacci Number (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
↑ Morrison, 1980 , s. 134–136.
↑ Gardner, 1961 , s. 101.
↑ Simon Plouffe, 1993 . Získáno 20. července 2022. Archivováno z originálu dne 11. července 2022. (neurčitý)
↑ 1 2 3 4 5 Wolfram, 1998 .
↑ Du, Zhao Hui, 2008
↑ Eric W. Weisstein Házení mincí ve Wolfram MathWorld .
↑ Hoggatt, Bicknell-Johnson, 1977 , s. 117-122.
↑ Sloane's A001629 Archived 12 October 2017 at Wayback Machine . On -line encyklopedie celočíselných sekvencí . Nadace OEIS.

Literatura

Morrison DR Stolarského pole Wythoffových párů // Sbírka rukopisů souvisejících s Fibonacciho sekvencí . - Santa Clara, CA: The Fibonacci Association, 1980. - S. 134-136. Archivováno 4. března 2016 na Wayback Machine
Martin Gardner. The Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions, Vol. II. - Simon a Schuster, 1961. - S. 101.
Wolfram DA Řešení generalizovaných Fibonacciho recidiv // Fib. Quart .. - 1998. - T. 36 , no. 2 .
Hoggatt VE Jr., Bicknell-Johnson M. Fibonacciho konvoluční sekvence // Fib. Kvart. - 1977. - T. 15 .

Odkazy

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Tribonacciho číslo , Encyklopedie matematiky , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4

fibonacci
knihy	Kniha počítadla (1202) Kniha čtverců (1225)
teorie	Fibonacciho čísla Chamtivý algoritmus pro egyptské zlomky
související témata	Fibonacciho čísla v kultuře Seznam objektů pojmenovaných po Fibonacci Zobecnění Fibonacciho čísel Fibonacci Association čtvrtletník