Pravoúhlý souřadnicový systém

Pravoúhlý souřadný systém - přímočarý souřadný systém se vzájemně kolmými osami v rovině nebo v prostoru. Nejjednodušší a tedy nejpoužívanější souřadnicový systém. Velmi snadno a přímo generalizuje do prostor libovolné dimenze, což také přispívá k jeho širokému uplatnění.

Související pojmy: Kartézský je běžně označován jako pravoúhlý souřadnicový systém se stejnými měřítky podél os (pojmenovaný po René Descartesovi ), obecný kartézský souřadnicový systém je označován jako afinní souřadnicový systém (ne nutně pravoúhlý).

Historie

René Descartes jako první zavedl ve své Geometrii v roce 1637 pravoúhlý souřadnicový systém . Proto se pravoúhlý souřadnicový systém také nazývá - Kartézský souřadnicový systém . Souřadnicová metoda pro popis geometrických objektů položila základ analytické geometrii. Pierre Fermat také přispěl k rozvoji souřadnicové metody , ale jeho práce byla poprvé publikována až po jeho smrti [1] . Descartes a Fermat použili souřadnicovou metodu pouze v rovině. Francouzský duchovní Nicholas Oresme používal konstrukce podobné karteziánským souřadnicím dávno před dobou Descarta a Fermata [2] .

Vývoj kartézského souřadnicového systému by hrál hlavní roli ve vývoji počtu Isaac Newton a Leibniz [3] . Dvousouřadnicový popis roviny byl později zobecněn do konceptu vektorových prostorů [4] .

Souřadnicovou metodu pro trojrozměrný prostor poprvé použil Leonhard Euler již v 18. století. Zdá se, že použití orts se vrací k Hamiltonovi a Maxwellovi .

Pravoúhlý souřadný systém v rovině

Pravoúhlý souřadný systém v rovině je tvořen dvěma navzájem kolmými souřadnými osami a . Souřadnicové osy se protínají v bodě zvaném počátek a každá osa má kladný směr. $X'X$ $Y'Y$ $Ó$

Poloha bodu v rovině je určena dvěma souřadnicemi a . Souřadnice je rovna délce segmentu , souřadnice je délka segmentu ve vybraných jednotkách. Segmenty a jsou definovány čarami nakreslenými z bodu rovnoběžného s osami resp . $A$ $X$ $y$ $X$ $OB$ $y$ $OC$ $OB$ $OC$ $A$ $Y'Y$ $X'X$

V tomto případě je souřadnici přiřazeno znaménko mínus, pokud bod leží na paprsku (a ne na paprsku , jako na obrázku). Pokud bod leží na paprsku , je souřadnici přiřazeno znaménko mínus . Tedy a jsou záporné směry souřadnicových os (každá souřadnicová osa je považována za skutečnou osu ). $X$ $B$ $VŮL'$ $VŮL$ $y$ $C$ $OY'$ $VŮL'$ $OY'$

Osa se nazývá osa abscisa ( lat. abscissus - lit. „ odříznutá, oddělená “ [5] ) a osa se nazývá osa pořadnice ( lat. ordinatus - lit. „ uspořádaná, v určitém pořadí “ [ 5] ). Souřadnice se nazývá úsečka bodu , souřadnice je osa bodu . $X'X$ $Y'Y$ $X$ $A$ $y$ $A$

Symbolicky je to napsáno takto:

A(x,\;y)

nebo

A = (x,\;y)

nebo označte příslušnost souřadnic ke konkrétnímu bodu pomocí indexu:

x_A, x_B

atd.

V pravotočivém souřadnicovém systému je kladný směr os zvolen tak, že když je osa nasměrována nahoru, dívá se osa doprava. Obvykle je zvykem používat pravotočivé souřadnicové systémy (pokud není uvedeno nebo zřejmé jinak – např. z výkresu; někdy je z nějakého důvodu výhodnější stále používat levotočivý souřadný systém). $Y'Y$ $X'X$
Čtyři úhly (I, II, III, IV) tvořené souřadnicovými osami a nazývají se souřadnicové úhly , čtvrtiny nebo $X'X$ $Y'Y$
<rovinné> kvadranty (viz obr. 1).
- Body uvnitř souřadnicového úhlu I mají kladné úsečky a souřadnice.
- Body uvnitř souřadnicového úhlu II mají záporné úsečky a kladné souřadnice.
- Body uvnitř souřadnicového úhlu III mají záporné úsečky a pořadnice
- Body uvnitř souřadnicového úhlu IV mají kladné abscisy a záporné souřadnice.

Pravoúhlý souřadnicový systém v prostoru

Pravoúhlý souřadnicový systém v prostoru (v tomto odstavci je myšlen trojrozměrný prostor; více vícerozměrných prostorů viz níže) je tvořen třemi navzájem kolmými souřadnými osami a . Osy souřadnic se protínají v bodě , který se nazývá počátek souřadnic, na každé ose je vybrán kladný směr označený šipkami a jednotka měření segmentů na osách. Jednotky jsou obvykle (ne nutně [6] ) stejné pro všechny osy. - osa úsečky, - osa pořadnice , - osa aplikace. $VŮL$ $OY$ $oz$ $Ó$ $VŮL$ $OY$ $oz$

Poloha bodu v prostoru je určena třemi souřadnicemi a . Souřadnice je rovna délce segmentu , souřadnice je rovna délce segmentu , souřadnice je délka segmentu ve vybraných měrných jednotkách. Segmenty , a jsou určeny rovinami nakreslenými z bodu rovnoběžného s rovinami , resp . $A$ $X$ $y$ $z$ $X$ $OB$ $y$ $OC$ $z$ $OD$ $OB$ $OC$ $OD$ $A$ $YOZ$ $XOZ$ $XOY$

Souřadnice se nazývá úsečka bodu ,

X

A

souřadnicový bod ,

y

A

souřadnice - aplikace ( lat. applicata - sousední) [7] bodů .

z

A

Symbolicky je to napsáno takto:

A(x,\;y,\;z)

nebo

A = (x,\;y,\;z)

nebo svázat souřadnicový záznam s konkrétním bodem pomocí indexu:

x_A,\;y_A,\;z_A

atd.

Každá osa je považována za číselnou osu , to znamená, že má kladný směr a záporné hodnoty souřadnic jsou přiřazeny bodům ležícím na záporném paprsku (vzdálenost se bere se znaménkem mínus). To znamená, že pokud by například bod neležel jako na obrázku - na nosníku , ale na jeho pokračování v opačném směru od bodu (na záporné části osy ), pak by úsečka bodu byla záporné (mínus vzdálenost ). Podobně pro další dvě osy. $B$ $VŮL$ $Ó$ $VŮL$ $X$ $A$ $OB$

Všechny pravoúhlé souřadnicové systémy v trojrozměrném prostoru jsou rozděleny do dvou tříd - pravá (používají se také pojmy pozitivní , standardní ) a levá . Obvykle se standardně snaží používat pravotočivé souřadné systémy a při grafickém zobrazení se také umísťují pokud možno do jedné z více obvyklých (tradičních) pozic. (Obrázek 2 ukazuje pravý souřadnicový systém). Pravý a levý souřadný systém nelze kombinovat rotací [8] tak, aby se odpovídající osy (a jejich směry) shodovaly. Do které třídy konkrétní souřadnicový systém patří, můžete určit pomocí pravidla pravé ruky, šroubového pravidla atd. (kladný směr os je zvolen tak, aby při otočení osy proti směru hodinových ručiček o 90° se její kladný směr shodoval s kladný směr osy , pokud je toto otáčení pozorováno ze strany kladného směru osy ). $VŮL$ $OY$ $oz$

Kterákoli z osmi oblastí, na které je prostor rozdělen třemi vzájemně kolmými souřadnicovými rovinami, se nazývá oktant .

Pravoúhlý souřadnicový systém ve vícerozměrném prostoru

Pravoúhlý souřadnicový systém lze také použít v prostoru libovolného konečného rozměru stejným způsobem, jako je tomu u trojrozměrného prostoru. Počet souřadnicových os je v tomto případě roven rozměru prostoru (v této části jej budeme označovat jako ). $n$

Souřadnice se obvykle neoznačují [9] různými písmeny, ale stejným písmenem s číselným indexem. Nejčastěji je to:

x_1, x_2, x_3,\tečky x_n.

K označení libovolné thé souřadnice z této množiny se používá písmenný index: $i$

x_{i},

a často se zápis také používá k označení celé množiny, což znamená, že index prochází celou množinou hodnot: . $x_{i},$ $i = 1, 2, 3, \tečky n$

V jakékoli dimenzi prostoru jsou pravoúhlé souřadnicové systémy rozděleny do dvou tříd, pravé a levé (nebo kladné a záporné). Pro vícerozměrné prostory se jeden ze souřadnicových systémů libovolně (podmíněně) nazývá pravý a zbytek je pravý nebo levý, podle toho, zda mají stejnou orientaci či nikoliv [10] .

Zobecněním pojmů dvourozměrného kvadrantu a trojrozměrného oktantu pro -rozměrný euklidovský prostor je orthant nebo hyperoktant. $n$

Obdélníkové vektorové souřadnice

Pro určení pravoúhlých souřadnic vektoru (používaného k reprezentaci vektorů libovolné dimenze) lze vycházet ze skutečnosti, že souřadnice vektoru (směrovaného segmentu), jehož začátek je v počátku, se shodují se souřadnicemi jeho konec [11] .

Tak například souřadnice na obr. 1 jsou souřadnicemi vektoru . $(x,y)$ $\vec{OA}$

Pro vektory (nasměrované segmenty), jejichž počátek se neshoduje s počátkem, lze pravoúhlé souřadnice určit jedním ze dvou způsobů:

Vektor lze posunout tak, aby se jeho počátek shodoval s počátkem). Potom se určí jeho souřadnice způsobem popsaným na začátku odstavce: souřadnice vektoru přeloženého tak, aby se jeho počátek shodoval s počátkem, jsou souřadnicemi jeho konce.
Místo toho můžete jednoduše odečíst od souřadnic konce vektoru (směrovaného segmentu) souřadnice jeho začátku.

Pro pravoúhlé souřadnice se pojem vektorové souřadnice shoduje s pojmem ortogonální projekce vektoru do směru odpovídající souřadnicové osy.

V pravoúhlých souřadnicích jsou všechny operace s vektory zapsány velmi jednoduše:

Sčítání a násobení skalárem:

\mathbf a + \mathbf b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3, \tečky, a_n + b_n)

nebo

(\mathbf a + \mathbf b)_i = a_i + b_i,

c\ \mathbf a = (c\ a_1, c\ a_2, c\ a_3, \tečky, c\ a_n)

nebo

(c\ \mathbf a)_i = c\ a_i.

a odtud odčítání a dělení skalárem:

\mathbf a - \mathbf b = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3, \tečky, a_n - b_n)

nebo

(\mathbf a - \mathbf b)_i = a_i - b_i,

\frac{\mathbf a}{\lambda} = \Big(\frac{a_1}{\lambda}, \frac{a_2}{\lambda}, \frac{a_3}{\lambda}, \dots, \frac {a_n}{\lambda}\Big)

nebo

\Big(\frac{\mathbf a}{\lambda}\Big)_i = \frac{a_i}{\lambda}.

(To platí pro jakýkoli rozměr n a dokonce, spolu s pravoúhlými souřadnicemi, pro šikmé souřadnice).

Bodový produkt :

\mathbf a \cdot \mathbf b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + \dots + a_n b_n

nebo

\mathbf a \cdot \mathbf b = \sum\limits_{i=1}^n a_i b_i,

(Pouze v pravoúhlých souřadnicích s jednotkovým měřítkem na všech osách).

Prostřednictvím skalárního součinu můžete vypočítat délku vektoru

|\mathbf a| = \sqrt{\mathbf a\cdot\mathbf a}

a úhel mezi vektory

\angle{(\mathbf a, \mathbf b)} = \mathrm{arccos}\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf a|\cdot|\mathbf b|}

Externí práce :

(\mathbf a \and \mathbf b)_{ij} = a_i b_j - a_j b_i

pro jakoukoli dimenzi prostoru,

Vektorový součin (pouze pro stejný trojrozměrný prostor, na kterém je definován):

(\mathbf a \times \mathbf b)_x = a_y b_z - a_z b_y

(\mathbf a \times \mathbf b)_y = a_z b_x - a_x b_z

(\mathbf a \times \mathbf b)_z = a_x b_y - a_y b_x

To vše samozřejmě umožňuje v případě potřeby zredukovat všechny operace s vektory na docela jednoduché operace s čísly.

Horts

Pravoúhlý souřadnicový systém [12] (jakéhokoli rozměru) je také popsán [13] sadou ortů (jednotkových vektorů) souřadných se souřadnicovými osami. Počet ortů se rovná rozměru souřadnicového systému a všechny jsou na sebe kolmé. Takové orty tvoří základ , navíc ortonormální [14] .

V trojrozměrném případě se takové vektory obvykle označují

\mathbf{i}

a _

\mathbf {j}

\mathbf {k}

nebo

\mathbf{e}_x

a . _

\mathbf{e}_y

\mathbf{e}_z

Lze také použít šipkovou notaci ( , a nebo , a ) nebo jinou notaci v souladu s obvyklým způsobem označování vektorů v té či oné literatuře. $\vec{i}$ $\vec{j}$ $\vec{k}$ $\vec{e}_x$ $\vec{e}_y$ $\vec{e}_z$

Navíc v případě pravého souřadnicového systému platí následující vzorce s vektorovými součiny vektorů:

$[\mathbf{i}\,,\mathbf{j}]=\mathbf{k};$
$[\mathbf{j}\,,\mathbf{k}]=\mathbf{i};$
$[\mathbf{k}\,,\mathbf{i}]=\mathbf{j}.$

Pro dimenze vyšší než 3 (nebo pro obecný případ, kdy dimenze může být jakákoli) je běžné, že jednotkové vektory místo toho používají zápis s číselnými indexy, poměrně často [15] je

\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3,\tečky \mathbf{e}_n,

kde n je rozměr prostoru.

Vektor libovolné dimenze se rozloží podle základu (souřadnice slouží jako koeficienty expanze):

\mathbf a = a_1\mathbf e_1 + a_2\mathbf e_2 + a_3\mathbf e_3 + \dots + a_n\mathbf e_n

nebo

\mathbf a = \sum\limits_{i=1}^n a_i\mathbf e_i,

a na ortonormálním základě lze souřadnice také velmi snadno najít pomocí skalárních součinů s orts:

a_i = \mathbf a \cdot \mathbf e_i.

Viz také

Poznámky

↑ Bix, Robert A.; D'Souza, Harry J. Analytická geometrie . Encyklopedie Britannica . Získáno 6. srpna 2017. Archivováno z originálu dne 6. srpna 2017. (neurčitý)
↑ Kent, Alexander J. The Routledge Handbook of Mapping and Cartography : [ eng. ] / Alexander J. Kent, Peter Vujakovic. — Routledge, 2017-10-04. — ISBN 9781317568216 . Archivováno 24. listopadu 2021 na Wayback Machine
↑ Cesta po kalkulu, David Berlinski
↑ Axler, Sheldon. Lineární algebra Done Right - Springer. - 2015. - S. 1. - ISBN 978-3-319-11079-0 . - doi : 10.1007/978-3-319-11080-6 .
↑ 1 2 Slovník cizích slov. — M.: Rus. Yaz., 1989. - 624 s. ISBN 5-200-00408-8
↑ Někdy je prostě zásadně nemožné, pokud jsou hodnoty různých fyzických rozměrů vykresleny podél os; z geometrického hlediska však tato poznámka není příliš významná, protože pak lze považovat měřítka podél os za podmíněně stejná (například měřítka tak, aby se jednotky při zobrazení na geometrické rovině shodovaly).
↑ Slovník cizích slov. - M .: " Ruský jazyk ", 1989. - 624 s. ISBN 5-200-00408-8
↑ Pomocí zrcadlení můžete změnit pravý souřadnicový systém na levý a naopak.
↑ Ale ne nutně: otázka notace je nakonec určena konkrétní aplikací.
↑ To lze zjistit podle toho, zda je možné některými rotacemi (a translacemi, pokud se počátky souřadnic neshodují) spojit daný souřadnicový systém se systémem, jehož orientace je z definice pravotočivá. Pokud ano, pak je tento systém považován za pravý, pokud ne, pak za levý. Ještě jednodušší je technicky zjistit přes znaménko determinantu transformační matice od správného základu k danému.
↑ Konec orientovaného segmentu je bod; pravoúhlé souřadnice bodu jsou diskutovány v článku výše.
↑ V tomto odstavci budeme mít na mysli obvyklý kartézský souřadnicový systém, tedy pravoúhlý souřadnicový systém se stejným měřítkem podél všech os; zohlednění souřadnicových systémů s různými měřítky podél různých os by zde přineslo neopodstatněné formální komplikace s poměrně malým ziskem v obsahu.
↑ Tento popis je zjevně zcela ekvivalentní běžnému nastavení souřadnicových os, stačí pouze určit počátek souřadnic (ten je často standardně zřejmý).
↑ Pokud odmítnete podmínku stejného měřítka souřadnicových os - pouze ortogonální základna .
↑ Místo písmene e však lze často použít i jiná písmena . Zpravidla je to výslovně uvedeno.

Odkazy

V. I. Gervids. Model kartézského souřadnicového systému (flash). NRNU MEPhI (10.03.2011). Staženo: 3. května 2011. (neurčitý)

Souřadnicové systémy
Název souřadnic	Úsečka Ordinovat Nášivka
Typy souřadnicových systémů	Přímočarý souřadnicový systém Křivočarý souřadnicový systém
2D souřadnice	Dvojúhelníkové souřadnice Bicentrické souřadnice Hyperbolické souřadnice Polární souřadnice Bipolární souřadnice Parabolické souřadnice Eliptické souřadnice Tetracyklické souřadnice Trilineární souřadnice
3D souřadnice	Válcové souřadnice Sférické souřadnice Bisférické souřadnice Toroidní souřadnice Válcové parabolické souřadnice Bicylindrické souřadnice Elipsoidní souřadnice Kuželové souřadnice Pentasférické souřadnice Dipolární souřadnicový systém
$n$ -rozměrné souřadnice	Kartézské souřadnice Afinní souřadnice Projektivní souřadnice Plückerovy souřadnice barycentrické souřadnice
Fyzické souřadnice	Rindlerovy souřadnice Rodné souřadnice Nebeský souřadnicový systém Zeměpisné souřadnice Hlavní ortodromický souřadnicový systém
Související definice	Souřadnicová metoda Původ Souřadnicová osa Vektor Orth referenční systém Benchmark Kulhavé koeficienty Metrický tenzor