Série Laurent

Laurentova řada komplexní funkce je reprezentací této funkce jako mocninné řady, ve které jsou členy se zápornými mocninami. Pojmenován po francouzském matematikovi P. A. Laurentovi .

Definice

Laurentova řada na konci je funkční řada v celočíselných mocninách nad polem komplexních čísel : $z_{0}\in \mathbb {C}$ $(z-z_{0})$

\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n},\quad

kde je proměnná a koeficienty pro .

{\displaystyle z\in {\mathbb {C} }\setminus \{z_{0}\))

c_{n}\in \mathbb {C}

n\in \mathbb {Z}

Tato řada je součtem dvou mocninných řad:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n))$ je součástí nezáporných mocností , $(z-z_{0})$
$\sum _{n=-\infty }^{-1}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}$ je součástí negativních sil . $(z-z_{0})$

Laurentova řada konverguje právě tehdy, když se obě její části (v záporné i kladné mocnině) sbíhají.

Jestliže je oblast konvergence Laurentovy řady taková, že , pak pro $A_{z_{0}}\subseteq ({\mathbb {C} }\setminus \{z_{0}\})$ ${\displaystyle z_{0}\in \partial {A_{z_{0))))$ $A_{z_{0))$

řádek se nazývá pravá část ,

{\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n))

řádek se nazývá hlavní část .

\sum _{n=-\infty }^{-1}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}

Laurentova řada v nekonečnu je funkční řada v celočíselných mocninách nad polem komplexních čísel: $z_{0}=\infty \in {\overline {\mathbb {C} }}$ $z$

\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}z^{n},\quad

kde je proměnná a koeficienty pro .

{\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\))

c_{n}\in \mathbb {C}

n\in \mathbb {Z}

Vzhledově se řada pro shoduje s řadou pro , nicméně z formálního hlediska byla získána nahrazením pro . $z_{0}=\infty$ $z_{0}=0$ $z\leftrightarrow {\frac {1}{\zeta }}$ $\zeta _{0}=0$

Jestliže je oblast konvergence Laurentovy řady taková, že , pak pro $A_{\infty }\subseteq ({\mathbb {C} }\setminus \{0\})$ $\infty \in \partial {A_{\infty }}$ ${\displaystyle A_{\infty ))$

řádek se nazývá pravá část ,

\sum _{n=-\infty }^{0}c_{n}z^{n}

řádek se nazývá hlavní část .

\sum _{n=+1}^{+\infty }{c_{n}}{z^{n}}

Vlastnosti

Část konverguje v kladných mocnostech uvnitř kruhu o poloměru , $(z-z_{0})$ ${\displaystyle D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\))$ $R={\dfrac {1}{{\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|c_{n}|^{1/n}}}\in [0;+\ infty ]$

část záporných mocnin se sbíhá vně kruhu o poloměru .

(z-z_{0})

\Delta _{r}={\overline {\mathbb {C} }}\setminus {\overline {D}}_{r}=\{z\in {\overline {\mathbb {C} } }:|z-z_{0}|>r\}

{\displaystyle D_{r))

r={\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|c_{-n}|^{1/n}\in [0;+\infty ]

Pokud tedy , pak vnitřek oblasti konvergence Laurentovy řady není prázdný a je kruhovým prstencem

r<R\,

A

A=\{z\in \mathbb {C} \mid 0\leq r<|z-z_{0}|<R\leq +\infty \}=\Delta _{r}\cap D_{ R}

Chování Laurentovy řady v bodech hraniční kružnice závisí pouze na libovolném , ${\displaystyle C_{R}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|=R\))$ $\sum _{n=n_{s}}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}$ $n_{s}\in \mathbb {N}$

a v bodech hraničního kruhu - pouze od pro libovolné .

{\displaystyle C_{r}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|=r\))

\sum _{n=-\infty }^{-n_{s}}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}

n_{s}\in \mathbb {N}

Tedy, pokud jde o mocninné řady , chování Laurentovy řady na hraničních bodech prstence se může měnit.

A

Laurentova série konverguje absolutně ve všech bodech prstenu . $A$
Na jakékoli kompaktní podmnožině řada konverguje rovnoměrně . $K\subset A$
Pro každý bod existuje taková hodnota , že Laurentova řada může být zapsána jako řada sbíhající se v mocninách : $\zeta _{0}\in A$ $\rho (\zeta _{0})=\min\{{\textrm {dist}}(C_{r}(z_{0}),\zeta _{0}),{\textrm {dist }}(C_{R}(z_{0}),\zeta _{0})\}>0$ $D_{\rho }(\zeta _{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-\zeta _{0}|<\rho (\zeta _{0})\ }\podmnožina A$ $f(z)$ $D_{\rho }(\zeta _{0})$ $(z-\zeta _{0})$

\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}=\sum _{k=0}^{+\infty } t_{k}(\zeta _{0})(z-\zeta _{0})^{k},\quad

kde a pro _

z\in D_{\rho }(\zeta _{0})

t_{k}(\zeta _{0})={\frac {f^{(k)}(\zeta _{0})}{k!)}}

k\in \{0\}\cup \mathbb {N}

těch. je pro správný bod . Tedy součet Laurentovy řady je analytická funkce .

{\displaystyle \zeta _{0))

f(z)

A

f(z)

Neboť na hraničních kruzích konvergenčního kruhu jsou neprázdné množiny bodů , které nejsou pravidelné. $0<r<R<+\infty$ $A$ $I_{r}\subseteq C_{r}(z_{0})$ $I_{R}\subseteq C_{R}(z_{0})$ $f(z)$
Sérii Laurent lze diferencovat na jakýkoli kompaktní termín po termínu. $K\subset A$
Integrace řady Laurent poskytuje jednohodnotovou funkci pouze pro , protože pro jakoukoli hodnotu $A$ $c_{-1}=0$ $\rho >0$ $\int \limits _{\;\,|z-z_{0}|=\rho }c_{n}(z-z_{0})^{n}\cdot dz=\left\{{ \begin{array}{ll}c_{-1}\cdot 2\pi i\,,&n=-1\,;\\0\,,&n\neq -1\,.\end{array}}\ že jo.$

Řady reprezentující funkci ve dvojitě spojené doméně pro jakoukoli kompaktní a libovolnou rektifikovatelnou orientovanou křivku lze integrovat člen po členu, přičemž výsledek integrace závisí pouze na počátečním a konečném bodě a nezávisí na tvaru křivky .

\sum _{n=-\infty ,n\neq -1}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}\,

A

f(z)-{\frac {c_{-1}}{z-z_{0}}}\,

K\subset A

\gamma \subset K

\gamma

\gamma

\gamma

Koeficienty Laurentovy řady vztahy splňují $(c_{n})_{n\in \mathbb {Z} }$ $f(z)$

c_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\gamma }{\frac {f(z)\,dz}{(z-z_{0} )^{n+1))}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|z-z_{0}|=\rho }{\frac {f(z)\ ,dz}{(z-z_{0})^{n+1}}}

, kde je nějaká rektifikovatelná křivka ležící v kompaktní křivce a jednou kolem bodu proti směru hodinových ručiček . Konkrétně lze za libovolnou kružnici s poloměrem se středem v , umístěnou uvnitř kruhu konvergence a orientovanou kladně (parametr se musí zvětšit).

\gamma

K\subset A

z_{{0}}

\gamma

{\displaystyle C_{\rho }=\{z_{0}+\rho e^{it}\mid t\in [0;2\pi ]\))

\rho \in (r;R)

z_{{0}}

t

Expanze do Laurentovy řady je jedinečná , to znamená, že pokud se pro dvě Laurentovy řady v mocninách sbíhajících v a , respektive jejich součty shodují na určité kružnici nebo na rektifikovatelné křivce k ní homotopické , pak se všechny koeficienty těchto řad shodují. $(z-z_{0})$ $A_{1}$ $A_{2}$ $C_{\rho }=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|=\rho \}\subset (A_{1}\cap A_{2})$ $A_{1}\cap A_{2}$ $\gamma \sim C_{\rho }$

Laurentova věta

Aplikace Laurentovy řady je založena hlavně na následující Laurentově větě:

Jakákoli funkce , která je v kruhu jednohodnotová a analytická , může být reprezentována v konvergentní Laurentově řadě v mocninách .

f(z)

{\displaystyle A=\{z\in \mathbb {C} \mid 0\leq r<|z-z_{0}|<R\leq +\infty \))

A

(z-z_{0})

Reprezentace jednoznačné analytické funkce ve formě Laurentovy řady slouží jako hlavní nástroj pro studium jejího chování v blízkosti izolovaného singulárního bodu : $f(z)$ $A_{z_{0))$

1) pokud je bod , pak je poloměr takový, že v proraženém okolí $z_{0}\neq \infty$ $R_{z_{0}}\in (0;+\infty ]$

A_{z_{0}}=\{z\in \mathbb {C} \mid 0<|z-z_{0}|<R_{z_{0}}\}\quad

funkce je reprezentovatelná (konvergující) Laurentovou řadou; $f(z)$

2) pokud je bod , pak je poloměr takový, že v proraženém okolí $z_{0}=\infty$ $r_{\infty }\in [0;+\infty )$

{\displaystyle A_{\infty }=\{z\in \mathbb {C} \mid r_{\infty }<|z|<\infty \))

funkce je reprezentovatelná (konvergující) Laurentovou řadou. $f(z)$

Typ izolovaného singulárního bodu je určen hlavní částí Laurentovy řady v propíchnutém sousedství : $z_{{0}}$ $A_{z_{0))$

Odnímatelný singulární bod - hlavní část série Laurent se rovná 0.
Pól - hlavní část obsahuje konečný počet nenulových členů.
V podstatě singulární bod — hlavní část obsahuje nekonečné množství nenulových členů.

Literatura

Evgrafov M. A. Analytické funkce. - 2. vyd., přepracováno. a doplňkové — M .: Nauka , 1968 . — 472 s.
Markushevich AI Teorie analytických funkcí. Svazek 1: Počátky teorie. - Ed. 2. — M .: Nauka , 1967 . — 486 s.
Privalov II Úvod do teorie funkcí komplexní proměnné. - 13. — M .: Nauka , 1984 . — 432 s.
Titchmarsh E. Teorie funkcí: Per. z angličtiny. - 2. vyd., přepracováno. — M .: Nauka , 1980 . — 464 s.
Shabat BV Úvod do komplexní analýzy. — M .: Nauka , 1969 . — 577 s.

Sekvence a řádky
Sekvence	Číselná posloupnost Základní posloupnost Lineární rekurentní sekvence Fibonacciho čísla složená čísla Faktorový Barkerova sekvence sekvence de bruijn
Řádky, základní	Součet řádků Zbytek řady Podmíněná konvergence Střídavé série Vícesekce řádků
Číselné řady ( operace s číselnými řadami )	harmonická řada série Leibniz Řada inverzních čtverců Série recipročních prvočísel Řada Dirichlet série Mercator Řada Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funkční řádky	Taylorova řada série Laurent Fourierova řada Trigonometrické Fourierovy řady trigonometrická řada série Wiener
Jiné typy řádků	Neumannovy řady Řada Puiseux