Znamení d'Alemberta

Znamení d'Alembert (neboli Sign of D'Alembert ) je znakem konvergence číselné řady , kterou založil Jean d'Alembert v roce 1768 .

Pokud pro číselnou řadu

\sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}

existuje číslo , , takové, že počínaje nějakým číslem je nerovnost $q$ $0<q<1$

\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|\leqslant q,

pak je tato řada absolutně konvergentní ; pokud od nějakého čísla

\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geqslant 1

pak se řada rozchází.

Pokud, počínaje nějakým číslem, , a neexistuje takové , že pro všechny , počínaje nějakým číslem, pak v tomto případě může řada konvergovat i divergovat. $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1$ $q$ $0<q<1$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q$ $n$

d'Alembertovo kritérium pro konvergenci v limitním tvaru

Pokud existuje limit

\rho =\lim _{{n\to \infty }}\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|,

pak uvažovaná řada konverguje absolutně jestliže , a jestliže , diverguje. $\rho<1$ $\rho >1$

Poznámka 1. Jestliže , pak d'Alembertův test neodpovídá na otázku o konvergenci řady. $\rho=1$

Poznámka 2. Jestliže , a posloupnost směřuje shora ke své limitě, pak stále můžeme o řadě říci, že se rozchází. $\rho=1$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$ $\rho$

Důkaz

Nechť, počínaje od nějakého čísla , je nerovnost true , kde . Pak můžete psát , , …, , a tak dále. Vynásobením prvních n nerovností dostaneme , odkud . To znamená, že řada je menší než nekonečný součet klesající geometrické progrese, a proto ve srovnání konverguje. Celá řada modulů také konverguje, protože první členy (sekvence ) nehrají roli (je jich konečný počet). Protože řada modulů konverguje, řada samotná konverguje na základě absolutní konvergence. Absolutně souhlasí. $N$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q$ $0<q<1$ $\left|{\frac {a_{N+1}}{a_{N}}}\right|\leq q$ $\left|{\frac {a_{N+2}}{a_{N+1}}}\right|\leq q$ $\left|{\frac {a_{N+n}}{a_{N+n-1}}}\right|\leq q$ $\left|{\frac {a_{N+1}}{a_{N}}}\right|\times \left|{\frac {a_{N+2}}{a_{N+1} }}\right|\times ...\times \left|{\frac {a_{N+n}}{a_{N+n-1}}}\right|=\left|{\frac {a_{ N+n}}{a_{N}}}\vpravo|\leq {q^{n}}$ $\left|{a_{N+n}}\right|\leq |{a_{N}}|{q^{n}}$ $\left|{a_{N+1}}\right|+\left|{a_{N+2}}\right|+\left|{a_{N+3}}\right|+.. .$ $N-1$ $\{a\}$
Nechť (počínaje nějakým N): pak můžeme psát . To znamená, že modul členů sekvence nemá tendenci k nule v nekonečnu, a tudíž samotná sekvence nemá tendenci k nule. Pak není splněna nutná podmínka pro konvergenci libovolné řady a řada proto diverguje. $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq 1$ $\left|{a_{n+1}}\right|\geq \left|{a_{n}}\right|$ $\{a\}$ $\{a\}$
Nechte , počínaje některými . Navíc neexistuje , takový , že pro všechny , počínaje nějakým číslem . V tomto případě může řada buď konvergovat, nebo divergovat. Například obě řady splňují tuto podmínku a první řada (harmonická) diverguje a druhá konverguje. Série je skutečně vhodná pro všechny přírodní . Zároveň, protože , to znamená, že pro libovolné , je možné zvolit číslo takové, že , a zároveň, počínaje od nějakého čísla, všechny členy posloupnosti , kde , budou v intervalu , tzn. , . A to znamená, že neexistuje žádný takový , že pro všechny . Tuto úvahu lze zopakovat pro druhou řadu. $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1$ $n=N$ $q$ $0<q<1$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q$ $n$ $N$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|={\frac {n}{n+1}}=1-{\frac {1}{ n+1}}<1$ $n$ $\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1$ $q$ $0<q<1$ $\varepsilon$ $1-\varepsilon >q$ $\{b\}$ ${b_{n}}=\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$ $(1-\varepsilon ;1)$ ${b_{n}}>q$ $q$ $0<q<1$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q$ $n>N$

Příklady

Řada konverguje absolutně pro všechny složité , od r $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!)}}$ $z$ $\lim _{{n\to \infty }}\left|{\frac {{z^{{n+1}}}/{(n+1)!}}{{z^{n}}/{ n!}}}\right|=\lim _{{n\to \infty }}{\frac {|z|}{n+1}}=0.$

Série se rozchází pro všechny , protože $\sum _{{n=0}}^{\infty }n!\;z^{n}$ $z\neq 0$ $\lim _{{n\to \infty }}\left|{\frac {(n+1)!\;z^{{n+1}}}{n!\;z^{n}}}\ right|=\lim _{{n\to \infty }}|(n+1)z|=\infty .$

Jestliže , pak řada může konvergovat i divergovat: obě řady a splňují tuto podmínku a první řada ( harmonická ) diverguje a druhá konverguje. Další příklad, který potřebuje funkci Raabe : $\rho=1$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ $\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {\ln n}{n}}\right)^{2n}$

Odkazy

d'Alembert, J. (1768), Opuscules , sv. V, str. 171–183 , < http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62424s.image.f192 > .
Apostol, Tom M. (1974), Matematická analýza (2. vyd.), Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-00288-1
Knopp, Konrad (1956), Infinite Sequences and Series , New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-60153-3 : § 3.3, 5.4.
Rudin, Walter (1976), Principles of Mathematical Analysis (3. ed.), New York: McGraw-Hill, Inc., ISBN 978-0-07-054235-8
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Bertrandovo kritérium , Encyklopedie matematiky , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Gaussovo kritérium , Encyklopedie matematiky , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Kummerovo kritérium , Encyklopedie matematiky , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Watson, GN & Whittaker, ET (1963), Kurz moderní analýzy (4. vydání), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58807-2

Slovníky a encyklopedie	Velká Katalánština Britannica (online)

Znaky konvergence řad
Pro všechny řádky	Nutná podmínka Cauchyho kritérium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Pro znaménko-pozitivní řady	Hlavní kritérium Srovnávací znamení Kummer znamení Gaussův znak Cauchyho radikální znamení Integrální funkce Znamení D'Alemberta mocenský znak logaritmické znamení Znamení Raabe Bertrandův znak Jametovo znamení Znamení Schlömilch Znamení Ermakova Znamení Lobačevského teleskopický znak Znamení Sapogov
Pro střídání sérií	Leibnizův znak
Pro řádky formuláře $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abelův znak Znamení Dedekinda Znamení Dubois-Reymond Dirichlet znamení
Pro funkční série	Weierstrass znamení
Pro Fourierovy řady	Znamení Dini Znamení de la Vallée Poussin Jordánsko znamení Jungův znak Znamení Salem Lebesgue znamení Znamení Lebesgue-Gergen Znamení Martsinkeviče