Časoprostorový diagram

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 23. října 2021; kontroly vyžadují 12 úprav .

Časoprostorový diagram , také známý jako Minkowského diagram , byl vyvinut v roce 1908 Hermannem Minkowskim a poskytuje ilustraci vlastností prostoru a času ve speciální relativitě . Umožňuje, bez matematických rovnic, kvalitativně porozumět takovým jevům, jako je dilatace času a Lorentzova kontrakce .

Minkowského diagramy jsou dvourozměrný graf zobrazující události probíhající ve vesmíru , který se skládá z jedné prostorové dimenze a jedné časové dimenze. Na rozdíl od běžných grafů čas-vzdálenost je vzdálenost zobrazena na vodorovné ose a čas na svislé ose. Kromě toho jsou jednotky měření os voleny tak, že objekt pohybující se rychlostí světla je zobrazen pod úhlem 45° k osám grafu.

Každý objekt, jako je pozorovatel nebo vozidlo, je tedy na diagramu znázorněn specifickou čarou, která se nazývá jeho světočára . Každý bod v diagramu navíc představuje určitou pozici v prostoru a čase a nazývá se událost , bez ohledu na to, co se tam děje.

Základy

Termín "Minkowski diagram" se používá jak v obecném, tak v konkrétním smyslu. Obecně platí, že Minkowského diagram je dvourozměrné grafické znázornění části Minkowského prostoru , obvykle omezené na jeden prostorový rozměr. Jednotky měření v těchto diagramech jsou brány tak, že světelný kužel události se skládá z čar se sklonem plus nebo mínus jedna [1] . Vodorovné čáry odpovídají obvyklé představě simultánních událostí pro stacionárního pozorovatele na počátku.

Samostatný Minkowského diagram ilustruje výsledek Lorentzových transformací . Lorentzovy transformace spojují dvě inerciální vztažné soustavy , kde stojí stacionární pozorovatelv klidu (0, 0) mění rychlost podél osy x . Nová časová osa pozorovatele svírá úhel α s předchozí časovou osou s α < . V novém referenčním rámci leží současné události rovnoběžně s přímkou ​​nakloněnou o α k předchozí přímce simultánnosti. Toto je nová osa x . Jak původní množina os, tak nová množina os mají tu vlastnost, že jsou ortogonální vzhledem k vnitřnímu (skalárnímu) součinu v Minkowského prostoru nebo relativistickému součinu v bodě .

Ať je hodnota α jakákoli , přímka t = x tvoří univerzální [2] půlení .

Jednotky prostorové a časové osy lze zvolit například takto:

Světelné dráhy jsou tedy reprezentovány přímkami rovnoběžnými s osou úhlu mezi osami.

Časoprostorové diagramy v newtonovské fyzice

Černé osy, označené v doprovodném diagramu x a ct , představují souřadnicový systém pozorovatele v klidu, který je v x = 0 . Světová čára pozorovatele se shoduje s časovou osou ct . Každá přímka rovnoběžná s touto osou bude odpovídat stacionárnímu objektu, ale v jiné poloze. Modrá čára popisuje objekt pohybující se konstantní rychlostí v doprava, například pohybujícího se pozorovatele.

Modrá čára označená ct' může být interpretována jako časová osa pro druhého pozorovatele. Spolu s osou dráhy (označenou x a shodnou pro oba pozorovatele) představuje jejich souřadnicový systém. Oba pozorovatelé se shodují na umístění počátků jejich souřadnicových systémů. Osy pohybujícího se pozorovatele nejsou na sebe kolmé a měřítko na jeho časové ose je natažené. Pro určení souřadnic konkrétní události je třeba nakreslit dvě čáry, z nichž každá je rovnoběžná s jednou ze dvou os procházejících událostí. Jejich průsečíky s osami udávají souřadnice události.

Určení polohy a času události A na diagramu podle očekávání vede ke stejnému času pro oba pozorovatele. Pro polohu se získají různé hodnoty, protože pohybující se pozorovatel se přiblížil k poloze události A, protože t = 0 . Zpravidla všechny děje na přímce rovnoběžné s osou dráhy ( x -osa ) probíhají současně pro oba pozorovatele. Existuje pouze jeden globální čas t = t ′ , modelující existenci jedné společné polohové osy. Na druhou stranu, kvůli dvěma různým časovým osám pozorovatelé obvykle měří různé souřadnice dráhy pro stejnou událost. Tato grafická transformace z x a t na x' a t' a naopak je matematicky popsána tzv. Galileovými transformacemi .

Časoprostorové diagramy ve speciální teorii relativity

Albert Einstein (1905) zjistil, že newtonovský popis je chybný [3] . Hermann Minkowski poskytl svůj grafický výklad v roce 1908 [4] . Prostor a čas mají vlastnosti, které vedou k různým pravidlům pro transformaci souřadnic v případě pohybujících se pozorovatelů. Zejména události, které se odehrávají současně z pohledu jednoho pozorovatele, nastávají u jiného v různých časech.

Na Minkowského diagramu tato relativita simultánnosti odpovídá zavedení samostatné osy dráhy pro pohybujícího se pozorovatele. Podle výše popsaného pravidla každý pozorovatel současně interpretuje všechny události na přímce rovnoběžné s osou jeho dráhy. Sled událostí z pohledu pozorovatele lze graficky znázornit posunutím této čáry v diagramu zdola nahoru.

Pokud je časovým osám přiřazeno ct místo t , pak úhel α mezi oběma dráhovými osami x a x' bude shodný s úhlem mezi časovými osami ct a ct' . Vyplývá to z druhého postulátu speciální teorie relativity, který říká, že rychlost světla je stejná pro všechny pozorovatele bez ohledu na jejich relativní pohyb (viz níže). Úhel α je dán vzorcem [5]

.

Odpovídající transformace z x a t na x' a t' a naopak je matematicky popsána pomocí Lorentzových transformací . Bez ohledu na to, které prostorové a časové osy vznikají z takové transformace, na Minkowského diagramu odpovídají konjugovaným průměrůmdvojice hyperbol . Stupnice podél os jsou dány následovně: jestliže U  je jednotková délka podél os ct a x , v tomto pořadí, pak jednotková délka podél os ct' a x' je: [6]

Osa ct  je světová čára hodin spočívající v S , U představuje dobu mezi dvěma událostmi na této světové čáře, nazývanou také správný čas mezi těmito událostmi. Délka U na ose x představuje správnou délku tyče spočívající v S . Stejný výklad lze také aplikovat na vzdálenost U' na osách ct'- a x' pro hodiny a tyče spočívající v S' .

Loedelovy diagramy

Zatímco prostorové a časové osy referenční soustavy v klidu svírají pravý úhel, v pohyblivé referenční soustavě svírají osy ostrý úhel. Protože vztažné soustavy musí být ekvivalentní, máme dojem, že taková asymetrie porušuje ekvivalenci. Přesto se ukázalo, že existuje mezilehlá vztažná soustava „mezi“ klidovou a pohybující se, ve které je tato symetrie vidět („mezilehlá vztažná soustava“) [7] . V této vztažné soustavě se dvě původní vztažné soustavy pohybují v opačných směrech stejnou rychlostí. Použitím takových souřadnic jsou jednotky délky a času pro obě osy stejné. Pokud β =protiCa γ =jeden√ 1 − β 2jsou uvedeny mezi S a S', pak se tyto výrazy vztahují k hodnotám v mezisystému S 0 takto: [7] [8]

Například, jestliže β = 0,5 mezi S a S' , pak se na základě (2) pohybují v mezilehlém systému S 0 přibližně od ±0,268 s v různých směrech. Na druhé straně, jestliže β 0 = 0,5 v S 0 , pak na základě (1) je relativní rychlost mezi S a S' v jejich vlastních vztažných soustavách 0,8 c . Konstrukce os S a S' se provádí v souladu s obvyklou metodou pomocí tan α = β 0 vzhledem k ortogonálním osám mezilehlé vztažné soustavy (obr. 1).

Ukazuje se však, že při konstrukci takového symetrického diagramu je možné získat vztahy mezi diagramy i bez použití mezilehlé vztažné soustavy a β 0 vůbec . Místo toho je mezi S a S' relativní rychlost β =protiCv následujícím výrazu poskytujícím stejný výsledek: [9] Je-li φ úhel mezi osami ct ′ a ct (nebo mezi x a x ′ ), a θ mezi osami x ′ a ct ′ , pak: [9] [ 10] [11] [12]

Z obr. 2 jsou zřejmé dvě konstrukční metody: (a) osa x směřuje kolmo k ose ct' , osy x' a ct jsou sečteny pod úhlem φ ; (b) osa x' je nakreslena pod úhlem θ vzhledem k ose ct' , osa x je přidána kolmo k ose ct' , osa ct je kolmá k ose x'.

Složky vektoru lze názorně demonstrovat na následujících diagramech (obr. 3): rovnoběžné projekce ( x , t ; x ′ , t ′) vektoru R jsou jeho kontravariantní složky, ( ξ , τ ; ξ ′, τ ′) jsou její kovariantní složky [10] [11] .

Časové zpomalení

Relativistická dilatace času znamená, že hodiny (které ukazují správný čas ), které se pohybují vzhledem k pozorovateli, se zpomalují. Ve skutečnosti je čas sám o sobě v referenční soustavě pohyblivých hodin pozorován jako pomalý. To lze okamžitě vidět z přilehlého Loedelova diagramu, protože délkové jednotky ve dvou osových systémech jsou totožné. Abychom tedy mohli porovnat hodnoty mezi dvěma systémy, můžeme jednoduše porovnat délky, jak je vidět na stránce: nemusíme brát v úvahu skutečnost, že jednotky délky na každé ose jsou zkresleny faktorem

které bychom museli vzít v úvahu v odpovídajícím Minkowského diagramu.

Předpokládá se, že pozorovatel, jehož vztažná soustava je dána černými osami, se pohybuje z počátku O do A. Pohybující se hodiny mají vztažnou soustavu danou modrými osami a pohybují se z O do B. Pro černého pozorovatele se všechny události probíhající současně s událostí v bodě A, umístěném na přímce rovnoběžné s její prostorovou osou. Tato přímka prochází A a B, takže A a B jsou pro vztažnou soustavu pozorovatele současné s černými osami. Hodiny pohybující se vzhledem k černému pozorovateli však označují čas na modré časové ose. To je reprezentováno vzdáleností od O do B. Proto pozorovatel v bodě A s černými osami považuje své hodiny za odpovídající vzdálenosti od O do A, zatímco pro hodiny pohybující se vůči sobě samému se vzdáleností od O k B Vzhledem k tomu, že vzdálenost z O do B je menší než vzdálenost z O do A, dochází k závěru, že čas, který uplynul na hodinách pohybujících se vzhledem k němu, je menší než čas, který uplynul na jeho vlastních hodinách.

Druhý pozorovatel, pohybující se spolu s hodinami z O do B, bude tvrdit, že hodiny prvního dosáhly pouze času C, a proto hodiny prvního běží pomaleji. Důvodem těchto zdánlivě paradoxních tvrzení je odlišná definice simultánnosti událostí odehrávajících se na různých místech. Kvůli principu relativity je otázka, kdo má pravdu, nezodpověditelná a nedává smysl.

Lorentzova kontrakce

Relativistická kontrakce délky znamená, že se délka objektu pohybujícího se vzhledem k pozorovateli zmenšuje a dokonce i samotný prostor se zmenšuje. Předpokládá se, že pozorovatel se také pohybuje podél osy ct a že světočáry krajních bodů objektu pohybujícího se vzhledem k němu se pohybují podél osy ct' a rovnoběžně s přímkou ​​procházející body A a B. Pro u tohoto pozorovatele jsou krajní body objektu v t = 0 O a A. Pro druhého pozorovatele pohybujícího se s objektem, takže pro něj je objekt v klidu, má svou vlastní délku OB v t' =0 . Protože objekt OA<OB je pro prvního pozorovatele zmenšen.

Druhý pozorovatel bude tvrdit, že první pozorovatel vzal koncové body objektu v O ​​a A v různých časech, což má za následek nesprávný výsledek. Pokud druhý pozorovatel najde délku jiného objektu s koncovými body pohybujícími se podél osy ct a rovnoběžnou přímkou ​​procházející C a D, dojde ke stejnému závěru, že objekt je stlačen z OD do OC. Každý pozorovatel vyhodnocuje pohybující se objekty se zmenšeným druhým pozorovatelem. Tato zdánlivě paradoxní situace je důsledkem relativity simultánnosti, jak dokládá analýza pomocí Minkowského diagramu.

Se všemi těmito úvahami se předpokládalo, že oba pozorovatelé berou v úvahu rychlost světla a vzdálenosti ke všem událostem, které vidí, aby z jejich pohledu určili skutečné okamžiky, kdy k událostem dochází.

Stálost rychlosti světla

Dalším postulátem speciální teorie relativity je stálost rychlosti světla. Uvádí, že každý pozorovatel v inerciální vztažné soustavě, který měří rychlost světla vůči sobě ve vakuu, obdrží stejnou hodnotu bez ohledu na svůj vlastní pohyb a pohyb světelného zdroje. Toto tvrzení se zdá paradoxní, ale vyplývá přímo z diferenciální rovnice získané pro něj a je v souladu s Minkowského diagramem. To také vysvětluje výsledek Michelson-Morleyho experimentu , který byl považován za záhadu před objevením teorie relativity, kdy byly fotony považovány za vlny v nedetekovatelném médiu.

Pro světočáry fotonů procházejících počátkem v různých směrech jsou splněny podmínky x = ct a x = − ct . To znamená, že jakákoli pozice na takové světové čáře odpovídá stejným hodnotám souřadnic x a ct . Z pravidla pro získávání souřadnic v šikmém souřadnicovém systému vyplývá, že tyto dvě světočáry jsou osy úhlů tvořených osami x a ct . Minkowského diagram ukazuje, že jsou to také úhly osy x' a ct' . To znamená, že oba pozorovatelé naměří stejnou rychlost c pro oba fotony.

K tomuto Minkowského diagramu lze také přidat další souřadnicové systémy odpovídající pozorovatelům s libovolnými rychlostmi. Pro všechny tyto systémy jsou světočáry fotonů osami úhlů tvořených souřadnicovými osami. Čím více se rychlost pozorovatele blíží rychlosti světla, tím více se osy přibližují k odpovídajícím osám úhlu. Osa dráhy je vždy plošší a časová osa je strmější než světové čáry fotonů. Měřítka na obou osách jsou vždy stejná, ale obvykle se liší od jiných souřadnicových systémů.

Rychlost světla a princip kauzality

Přímky procházející počátkem a strmější než světové čáry fotonů odpovídají tělesům pohybujícím se pomaleji, než je rychlost světla. To platí z pohledu každého pozorovatele, protože světočáry fotonů jsou úhlové osy v jakékoli inerciální vztažné soustavě. Proto lze kteréhokoli bodu nad počátkem a mezi světočárami obou fotonů dosáhnout rychlostí menší, než je rychlost světla, a může mít kauzální vztah s počátkem. Tato oblast je absolutní budoucností, protože jakákoliv událost v této oblasti nastane později než událost na počátku, bez ohledu na pozorovatele, což je jasně vidět na Minkowského diagramu.

Podobně oblast pod počátkem a mezi liniemi fotonového světa je absolutní minulostí vzhledem k počátku. Jakákoli událost z této oblasti může být příčinou události v místě vzniku.

Spojení mezi jakýmikoli takovými dvojicemi událostí se nazývá timelike , protože pro všechny pozorovatele je mezi nimi nenulový kladný časový interval. Přímka spojující dvě takové události může být vždy časovou osou nějakého pozorovatele, pro kterého k těmto událostem dochází na stejném místě v prostoru. Dvě události, které mohou být spojeny pouze čárou odpovídající rychlosti světla, se nazývají lightlike .

Do Minkowského diagramu lze přidat ještě jeden rozměr prostoru, což vede k trojrozměrnému zobrazení. V tomto případě se oblasti budoucnosti a minulosti stanou kužely s vrcholy, které se v počátku vzájemně dotýkají. Říká se jim světelné kužely .

Rychlost světla jako limit

Podobně jako ve výše uvedeném příkladu budou všechny čáry procházející počátkem a vodorovnější než čáry fotonového světa odpovídat objektům nebo signálům pohybujícím se rychleji než rychlost světla , bez ohledu na rychlost pozorovatele. Žádná událost mimo světelné kužely proto nemůže být z počátku dosažena ani světelným signálem, ani žádným předmětem či signálem pohybujícím se rychlostí menší než je rychlost světla. Takové dvojice událostí se nazývají spacelike , protože mají konečnou nenulovou prostorovou vzdálenost pro všechny pozorovatele. Přímka spojující takové události je vždy prostorovou souřadnicovou osou možného pozorovatele, pro kterého tyto události nastávají současně. Mírnou změnou rychlosti tohoto souřadnicového systému v obou směrech lze vždy nalézt dvě inerciální vztažné soustavy, jejichž pozorovatelé považují chronologické pořadí těchto událostí za odlišné.

Pokud se tedy objekt pohybuje rychleji než světlo, například z O do A, jak je znázorněno na sousedním diagramu, pak by to znamenalo, že pro každého pozorovatele, který sleduje pohyb objektu z O do A, lze nalézt ještě jednoho pozorovatele. (pohybující se rychlostí menší než je rychlost světla c vzhledem k prvnímu), za kterou se objekt pohybuje z A do O. Otázka, který pozorovatel má pravdu, nemá jednoznačnou odpověď, a proto nemá žádný fyzikální význam. Jakýkoli předmět nebo signál pohybující se tímto způsobem by porušil princip kauzality.

Schopnost vysílat signály rychleji, než je rychlost světla, navíc umožní přenos informací do vlastní minulosti zdroje. V diagramu pozorovatel v O ​​v rámci x - ct posílá zprávu rychleji než světlo do A. V bodě A je přijata jiným pozorovatelem v rámci x' - ct' (tj. jinou rychlostí), který ji pošle zpět, rovněž rychleji než rychlost světla, v B. B je ale v minulosti vzhledem k O. Absurdita situace spočívá v tom, že oba pozorovatelé následně potvrdí, že vůbec přijímat zprávy a všechny zprávy nebyly přijaty, ale byly odeslány od každé k druhému pozorovateli, jak je vidět na Minkowského diagramu. Pokud by bylo navíc možné zrychlit pozorovatele na rychlost světla, pak by se jejich prostorové a časové osy shodovaly s osou jejich úhlu. Souřadnicový systém by se zhroutil kvůli tomu, že dilatace času dosáhne takové hodnoty, že se běh času prostě zastaví.

Tyto úvahy ukazují, že limit rychlosti světla je důsledkem vlastností časoprostoru, a nikoli vlastností objektů, jako např. technologicky - nedokonalosti vesmírných lodí. Zákaz pohybu rychleji než světlo v Minkowského prostoru tedy nemá nic společného s elektromagnetickými vlnami nebo světlem, ale vyplývá ze struktury časoprostoru.

Časoprostorové diagramy zrychlujícího se pozorovatele ve speciální teorii relativity

Okamžitě se pohybující inerciální referenční soustavy podél světové linie rychle se zrychlujícího pozorovatele (uprostřed). Vertikální směr označuje čas, horizontální směr vzdálenost, tečkovaná čára je časoprostorová trajektorie („světočára“) pozorovatele. Malé tečky jsou specifické události v časoprostoru. Pokud o těchto událostech uvažujete jako o záblesku světla, události, které procházejí dvěma diagonálními čarami ve spodní polovině obrázku (světelný kužel minulého pozorovatele na počátku), jsou události viditelné pro pozorovatele. Sklon světové čáry (odchylka od svislice) udává relativní rychlost pozorovatele. Všimněte si, jak se okamžitě přibližující se inerciální soustava mění, když pozorovatel zrychluje.

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Mermin (1968) Kapitola 17
  2. ↑ Viz Vladimír Karapetov
  3. ↑ Einstein, Albert. Zur Elektrodynamik bewegter Körper  (neopr.)  // Annalen der Physik . - 1905. - T. 322 , č. 10 . - S. 891-921 . - doi : 10.1002/andp.19053221004 . - . . Viz také: Anglický překlad Archivováno 25. listopadu 2005 na Wayback Machine .
  4. ↑ Minkowski, Hermann. Raum und Zeit  (německy)  // Physikalische Zeitschrift  : časopis. - 1909. - Bd. 10 . - S. 75-88 .
    • Různé překlady na Wikisource: Space and Time
  5. ↑ Demtröder, Wolfgang. Mechanika a termodynamika  (neopr.) . — ilustrovaný. - Springer, 2016. - S. 92-93. - ISBN 978-3-319-27877-3 . Výňatek ze strany 93 Archivováno 11. srpna 2020 na Wayback Machine
  6. ↑ Freund, Jürgen. Speciální teorie relativity pro začátečníky: Učebnice pro vysokoškoláky  (angličtina) . - World Scientific , 2008. - S. 49. - ISBN 981277159X .
  7. ↑ 1 2 Mirimanoff, Dmitrij. Transformace Lorentze-Einsteina a vesmírná doba M. Ed. Guillaume  (fr.)  // Archives des sciences physiques et naturelles (příloha): časopis. - 1921. - Sv. 3 . - str. 46-48 . (Překlad: Lorentzova-Einsteinova transformace a univerzální čas Ed. Guillauma )
  8. ↑ Shadowitz, Albert. Elektromagnetické pole  (neopr.) . - Dotisk z roku 1975. - Courier Dover Publications , 2012. - S. 460. - ISBN 0486132013 . Viz [ [1]  v " Knihy Google " Knihy Google, str. 460]
  9. ↑ 1 2 Sartori, Leo. Pochopení relativity: Zjednodušený přístup k Einsteinovým  teoriím . — University of California Press , 1996. — S. 151ff. - ISBN 0-520-20029-2 .
  10. ↑ 1 2 Gruner, Pavel; Sauter, Josef. Représentation géométrique élémentaire des formulales de la théorie de la relativité  (francouzsky)  // Archives des sciences physiques et naturelles: časopis. - 1921. - Sv. 3 . - str. 295-296 . (Překlad: Elementární geometrická reprezentace vzorců speciální teorie relativity )
  11. ↑ 1 2 Gruner, Paul. Eine elementare geometrische Darstellung der Transformationsformeln der speziellen Relativitätstheorie  (německy)  // Physikalische Zeitschrift  : magazín. - 1921. - Bd. 22 . - S. 384-385 . (Překlad: Elementární geometrická reprezentace transformačních vzorců speciální teorie relativity )
  12. ↑ Shadowitz, Albert. Speciální teorie relativity  (neopr.) . - Dotisk z roku 1968. - Courier Dover Publications , 1988. - S. 20-22. - ISBN 0-486-65743-4 .

Zdroje