Burnsideova věta

Burnsideův teorém je klasický teorém v teorii konečných grup .

Větu dokázal William Burnside na počátku 20. století. [1] Burnsideův teorém je již dlouho nejslavnější aplikací teorie reprezentace na teorii grup . Důkaz bez použití skupinových znaků našel Goldsmith mnohem později. [2]

Formulace

Nechť má skupina pořadí , kde a jsou prvočísla . Pak je povoleno . $G$ ${\displaystyle p^{a}\cdot q^{b))$ $p$ $q$ $G$

Poznámky

Z věty vyplývá, že každá neabelovská konečná jednoduchá grupa má řád dělitelný třemi odlišnými prvočísly.
- Zejména nejmenší neabelovská konečná jednoduchá grupa , střídající se grupa, má řád . $A_{5}$ ${\displaystyle 60=5\cdot 3\cdot 2^{2))$

Schéma Burnsideova důkazu

Pomocí matematické indukce stačí dokázat, že jednoduchá grupa daného řádu je abelovská [3] . $G$
Podle Sylowova teorému má skupina pro některé buď netriviální centrum nebo třídu konjugace velikosti . V prvním případě, protože střed je normální podskupinou skupiny , musí se shodovat se středem, a tedy být abelovský. To znamená, že platí druhý případ: existuje prvek skupiny tak, že třída konjugace prvku má velikost . $G$ $p^{r}$ $r\geqslant 1$ $G$ $X$ $G$ $X$ $p^{r}>1$
Pomocí vlastností ortogonality grupových znaků a vlastností algebraických čísel lze dokázat existenci netriviálního neredukovatelného grupového charakteru , že . $\chi$ $G$ $|\chi (x)|=\chi (1)$
Z jednoduchosti grupy vyplývá, že každá komplexní neredukovatelná reprezentace znaku je pravdivá (nebo přesná), a z toho plyne, že patří do středu grupy , což odporuje skutečnosti, že velikost konjugační třídy je větší než 1. $G$ $\chi$ $X$ $G$

Variace a zobecnění

Nejmenší prvočíslo v expanzi řádu neřešitelné konečné grupy vstupuje do rozšíření na mocninu alespoň 2.

Poznámky

↑ Burnside, W. (1904), O skupinách řádu p α q β , Proc. Londýnská matematika. soc. (č. s2-1(1)): 388–392, doi : 10.1112/plms/s2-1.1.388 , < https://zenodo.org/record/1433459/files/article.pdf >
↑ Goldschmidt, David M. (1970), Skupinový teoretický důkaz věty p a q b pro lichá prvočísla , Math. Z. T. 113: 373–375 , DOI 10.1007/bf01110506
↑ Skornyakov L. A. Prvky algebry. — M.: Nauka, 1986. — S. 228-229. – Náklad 21 000 výtisků.

Literatura

James, Gordon; a Liebeck, Martin (2001). Reprezentace a charaktery skupin (2. vydání). Cambridge University Press . ISBN 0-521-00392-X . Kapitola 31
Fraleigh, John B. (2002) První kurz abstraktní algebry (7. vydání). Addison Wesleyová . ISBN 0-201-33596-4 .

Odkazy

R. Borcherds (anglicky) , Teorie reprezentace: Burnsideův teorém na YouTube