Atiyah-Singerův indexový teorém

Atiyah-Singerův indexový teorém je tvrzení o rovnosti analytických a topologických indexů eliptického operátoru na uzavřené varietě [1] . Založena a ověřena v roce 1963 Michaelem Athyou a Isadorem Singerem .

Výsledek přispěl k objevu nových souvislostí mezi algebraickou topologií , diferenciální geometrií a globální analýzou [2] , našel uplatnění v teoretické fyzice a studiem jejích zobecnění zformovaných do samostatného směru – teorie – teorie indexů [3] . $K$

Definice a formulace

Analytický index diferenciálního operátoru , kde a jsou hladké vektorové svazky přes diferencovatelnou uzavřenou varietu , je rozdíl mezi rozměry jeho jádra a kokernelu : $d\dvojtečka C^{\infty }(E)\to C^{\infty }(F)$ $E$ $F$ $X$

i_{a}(d)={\mathrm {dim}}\,{\mathrm {Ker}}\,d-{\mathrm {dim}}\,{\mathrm {Coker}}\,d={\ mathrm {dim}}\,d^{{-1}}(0)-{\mathrm {dim}}\,C^{\infty }(F)/d(C^{\infty }(E))

Pro eliptické operátory jsou tyto rozměry konečné.

Topologický index eliptického operátoru je definován jako: $d\dvojtečka C^{\infty }(E)\to C^{\infty }(F)$

i_{t}(d)=\{{\mathrm {ch}}\,V(\sigma )\cdot \pi _{\Sigma }^{*}{\mathcal T}(X)\}[\Sigma (X)]

kde je symbol operátoru definujícího izomorfismus výtahů , je svazek jednotkových koulí kotangentního svazku manifoldu , je svazek přes slepení dvou instancí prostoru svazků jednotkových kuliček v ( je hranice ) ; je cohomologický charakter svazku Chern ; je Toddova cohomologická třída komplexního svazku kotangentů ; ; a část " " znamená převzetí rozměrové složky prvku na základním cyklu rozdělovače . $\sigma (d)$ $d$ $\sigma (d)\dvojtečka \pi ^{*}(E)\to \pi ^{*}(F)$ $\pi \dvojtečka S(X)\to X$ $T^{*}X$ $X$ $V(\sigma )$ $\pi ^{{+*}}(E)\cup _{\sigma }(d)\pi ^{{-*}}(F)$ $\Sigma (X)=B^{+}\cup _{{S(X)}}B^{-}$ $B(X)$ $T^{*}X$ $S(X)$ $B(X)$ ${\mathrm {ch}}\,V(\sigma )$ $V(\sigma )$ ${\mathcal T} (X)$ $T^{*}X\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ $\pi _{\Sigma }^{*}\colon \Sigma (X)\to X$ $\pi _{\Sigma }^{*}{\mathcal T}(X)={\mathcal T}(\Sigma (X))$ $[\Sigma(X)]$ $2n$ $\{{\mathrm {ch}}\,V(\sigma )\cdot \pi _{\Sigma }^{*}{\mathcal T}(X)\}$ $\Sigma (X)$

Tvrzení věty spočívá v rovnosti analytických a topologických indexů eliptických operátorů na uzavřených varietách.

Historie

Konkrétní projevy vztahu vyjádřeného v indexové větě byly objeveny již v 19. století, jako je například Gauss-Bonnetův vzorec , který spojuje Eulerovu charakteristiku povrchu s jeho gaussovským zakřivením a geodetickým zakřivením jeho hranice, stejně jako jeho multidimenzionální zobecnění. Dalším projevem takového spojení je Riemann-Rochův teorém pro nesingulární algebraické křivky (1865) a jeho zobecněním na libovolné vektorové svazky na kompaktních komplexních varietách je Riemann-Roch-Hirzebruchův teorém (1954).

Otázku možného vztahu mezi analytickým indexem eliptických operátorů a jejich topologickými charakteristikami formuloval Israel Gelfand v roce 1960 [4] , přičemž upozornil na neměnnost analytického indexu s ohledem na deformace operátorů. V roce 1963 našli Atiya a Singer takovou topologickou charakteristiku; v roce 1964 byl zveřejněn důkaz pro rozdělovače s hranicí . První verze důkazu používaly techniku podobnou důkazu Friedricha Hirzebrucha o zobecnění Riemann-Rochovy hypotézy, do značné míry zahrnovaly prostředky teorie cohomologie a kobordismu a vyznačovaly se značnou technickou náročností [5 ] . O několik let později byly formulace a důkaz přeloženy do jazyka teorie , čímž se výrazně zjednodušil důkaz a otevřela se možnost pro další zobecnění, a v 70. a 90. letech 20. století byly získány analogy věty pro širší a různé speciální třídy. objektů. $K$

Věta o indexu (spolu s -teorií a analogií Lefschetzova vzorce pro eliptické operátory) byla zmíněna v Atiyahově nominaci na Fieldsovu cenu v roce 1966 . V roce 2004 byli Atiyah a Singer oceněni Abelovou cenou [6] za svůj indexový teorém . $K$

Důsledky

Z věty vyplývá, že topologický index eliptického operátoru na uzavřené varietě je celé číslo [1] . Dalším důsledkem je, že analytické a topologické indexy pro operátora na varietě liché dimenze jsou rovné nule [1] .

Riemann-Rochův teorém a jeho zobecnění - Riemann-Roch-Hirzebruchův teorém a Riemann-Roch-Grothendieck teorém - jsou přirozenými důsledky indexové věty.

Poznámky

↑ 1 2 3 Sardanashvili G. A. Geometrie a kvantová pole. — Moderní metody teorie pole. - M. : URSS, 2000. - T. 4. - S. 146. - 160 s.
↑ Věda žije : Michael Atiyah . Simonsova nadace. Získáno 26. srpna 2014. Archivováno z originálu dne 27. září 2013.
↑ 19K56 - Teorie indexu . Klasifikace matematických předmětů . AMS (2010). Staženo: 30. srpna 2014. (neurčitý)
↑ I. M. Gelfand. O eliptických rovnicích // Pokroky v matematických vědách . - Ruská akademie věd , 1960. - T. 15 , no. 9 , č. 93 . - S. 121-132 . — ISSN 0042-1316 . - doi : 10.1070/RM1960v015n03ABEH004094 . (Ruština)
↑ Atiyah, zpěvačka, 1968 .
↑ Stará věta byla oceněna po zásluze (nepřístupný odkaz) . MIGNews.com. Získáno 26. srpna 2014. Archivováno z originálu dne 26. srpna 2014. (neurčitý)

Literatura

R. Pale. Seminář k Atiyah-Singerově indexové větě. — M .: Mir, 1970.
M. F. Atiya, I. M. Zinger. Index eliptických operátorů. I = Index eliptických operátorů. I // Pokroky v matematických vědách / Per. z angličtiny. S. I. Gelfand. - Ruská akademie věd , 1968. - T. 23 , no. 5 , č. 143 . - S. 99-142 . — ISSN 0042-1316 . (Ruština)
Index vzorce - článek encyklopedie matematiky . M. I. Voitsekhovsky, M. A. Shubin