Zkosení nebo řezání hran v geometrii je topologická operace, která transformuje mnohostěn na jiný mnohostěn. Operace je podobná jako u roztažení , kdy se okraje posouvají směrem od středu. U 3D mnohostěnů přidá operace zkosení novou šestihrannou plochu na místo každé původní hrany.
V Conwayově zápisu je operace reprezentována písmenem c . Mnohostěn s e hranami bude mít po operaci zkosení 2 e nových vrcholů, 3 e nových hran a e nových šestiúhelníkových ploch .
Níže uvedené sekce podrobně popisují pět zkosených pravidelných mnohostěnů . Každá je zobrazena ve verzi s hranami stejné délky a v kanonické verzi, ve které se všechny hrany dotýkají stejné napůl vepsané koule . (Vypadají znatelně odlišně pro těla obsahující trojúhelníkové plochy.) Zobrazené duální polytopy jsou duály kanonických verzí.
originál | {3,3} |
{4,3} |
{3,4} |
{5,3} |
{3,5} |
---|---|---|---|---|---|
zkosený |
Zkosený čtyřstěn | |
---|---|
(se stejnou délkou hran) | |
Conwayova notace | cT |
Goldbergův mnohostěn | GP III (2,0) = {3+,3} 2,0 |
tváře | 4 trojúhelníky 6 šestiúhelníků |
žebra | 24 (2 typy) |
Vrcholy | 16 (2 typy) |
Konfigurace vertexu | (12) 3.6.6 (4) 6.6.6 |
Skupiny symetrie | čtyřstěnný ( T d ) |
Dvojitý mnohostěn | střídavý triakisoktaedr |
Vlastnosti | konvexní , tváře jsou rovnostranné |
skenovat |
Zkosený čtyřstěn (nebo střídající se komolá krychle ) je konvexní mnohostěn konstruovaný jako střídající se krychle nebo jako operace zkosení na čtyřstěnu, nahrazující jeho 6 hran šestiúhelníky.
Polytop je Goldberg G III (2,0) polytop obsahující trojúhelníkové a šestiúhelníkové plochy.
zkosený čtyřstěn (kanonický) |
duální pro čtyřstěn (oktaedr) |
zkosený čtyřstěn (kanonický) |
střídavý triakisoktaedr |
osmistěn |
střídavý triakisoktaedr |
zkosená kostka | |
---|---|
(se stejnou délkou stran) | |
Conwayova notace | cC = t4daC |
Goldbergův mnohostěn | GP IV (2,0) = {4+,3} 2,0 |
Vrcholy | 6 čtverců 12 šestiúhelníků |
žebra | 48 (2 typy) |
Vrcholy | 32 (2 typy) |
Konfigurace vertexu | (24) 4.6.6 (8) 6.6.6 |
Symetrie | O h , [4,3], (*432) T h , [4,3+], (3*2) |
Dvojitý mnohostěn | Tetrakiscubooctahedron |
Vlastnosti | konvexní , zonohedr , rovnostranné plochy |
skenovat |
Zkosená kostka je konvexní mnohostěn s 32 vrcholy, 48 hranami a 18 plochami - 12 šestiúhelníky a 8 čtverci. Mnohostěn je postaven jako zkosení krychle . Čtverce jsou zmenšeny a místo všech původních hran jsou přidány nové šestiúhelníkové plochy. Jeho dvojí je tetrakiscubooctahedron .
Mnohostěn není přesně nazýván zkráceným kosočtverečným dvanáctistěnem , ačkoli tento název naznačuje kosočtverec . Správnější je nazývat jej čtyřúhelný kosočtverečný dvanáctistěn , protože pouze vrcholy řádu 4 jsou zkrácené.
Šestihranné plochy jsou rovnostranné , ale ne pravidelné . Jsou tvořeny komolými diamanty, mají 2 vnitřní úhly asi 109,47° (= ) a 4 vnitřní úhly 125,26°, přičemž pravidelný šestiúhelník má všechny úhly 120°.
Protože všechny plochy mnohostěnu mají sudý počet stran s rotační symetrií 180°, je mnohostěn zonohedr . Je to také Goldbergův mnohostěn GP IV (2,0) nebo {4+,3} 2,0 obsahující čtvercové a šestiúhelníkové plochy.
Zkosená krychle je součtem Minkowského kosočtvercového dvanáctistěnu a krychle o délce strany 1, kdy osm vrcholů kosočtvercového dvanáctistěnu leží v bodech a šest vrcholů je permutacemi .
Zkosená kostka (kanonická) |
rombický dvanáctistěn |
Osmistěn se zkosením |
Tetrakiscubooctahedron |
kuboktaedru |
triakicubooktaedr |
Osmistěn se zkosením | |
---|---|
(se stejnou délkou stran) | |
Conwayova notace | cO = t3daO |
tváře | 8 trojúhelníků 12 šestiúhelníků |
žebra | 48 (2 typy) |
Vrcholy | 30 (2 typy) |
Konfigurace vertexu | (24) 3.6.6 (6) 6.6.6 |
Symetrie | O h , [4,3], (*432) |
Dvojitý mnohostěn | Triakiscubooktaedr |
Vlastnosti | konvexní |
V geometrii je zkosený osmistěn konvexní mnohostěn vytvořený z kosočtvercového dvanáctistěnu zkrácením 8 vrcholů (řádu 3).
Mnohostěn lze nazvat zkráceným kosočtverečným dvanáctistěnem , zkrácením asi 3 vrcholů kosočtvercového dvanáctistěnu .
Těchto 8 vrcholů je oříznuto, takže všechny hrany mají stejnou délku. Z původních 12 kosočtvercových ploch se stanou ploché šestiúhelníky a zkrácené vrcholy se změní na trojúhelníky.
Šestihranné plochy mají stejné strany , ale plochy nejsou pravidelné .
Dvanáctstěn se zkosením | |
---|---|
(se stejnou délkou stran) | |
Conwayova notace | cD = t5daD = dk5aD |
Goldbergův mnohostěn | GV (2,0) = {5+,3} 2,0 |
fulleren | C 80 [1] |
Vrcholy | 12 pětiúhelníků 30 šestiúhelníků |
žebra | 120 (2 typy) |
Vrcholy | 80 (2 typy) |
Konfigurace vertexu | (60) 5.6.6 (20) 6.6.6 |
Skupiny symetrie | Ikosahedrální ( I h ) |
Dvojitý mnohostěn | pentakisicosidodecahedron |
Vlastnosti | konvexní , tváře jsou rovnostranné |
Zkosený dvanáctistěn je konvexní mnohostěn s 80 vrcholy, 120 hranami a 42 plochami - 30 šestiúhelníků a 12 pětiúhelníků. Mnohostěn je postaven zkosením pravidelného dvanáctistěnu . Pětiúhelníky jsou zmenšeny a místo všech původních hran jsou přidány nové šestiúhelníkové plochy. Mnohostěn je duální k pentakisicosidodecahedronu .
Mnohostěn není zcela správně nazýván zkráceným kosočtverečným triakontahedrem . Správnější by bylo nazvat to pěti zkráceným kosočtvercem , protože pouze vrcholy řádu 5 jsou zkrácené.
zkosený dvanáctistěn (kanonický) |
kosočtverečný triakontaedr |
zkosený ikosidodekaedr (kanonický) |
pentakisicosidodecahedron |
ikosidodekaedru |
triakis icosidodecahedron |
Zkosený ikosidodekaedr | |
---|---|
(se stejnou délkou stran) | |
Conwayova notace | cI = t3dal |
tváře | 20 trojúhelníků 30 šestiúhelníků |
žebra | 120 (2 typy) |
Vrcholy | 72 (2 typy) |
Konfigurace vertexu | (24) 3.6.6 (12) 6.6.6 |
Symetrie | I h , [5,3], (*532) |
Dvojitý mnohostěn | triakis icosidodecahedron |
Vlastnosti | konvexní |
V geometrii je zkosený dvacetistěn konvexní mnohostěn vytvořený z kosočtvercového triakontahedru oříznutím 20 vrcholů řádu 3. Šestiúhelníkové plochy mohou být rovnostranné , ale nebudou pravidelné .
Mnohostěn může být také nazýván zkráceným kosočtverečným triakontaedrem , zkrácením vrcholů kosočtvercového triakontaedru řádu 3.
Čtvercové dlaždice , Q {4,4} |
Trojúhelníkový obklad , Δ {3,6} |
Šestihranné parkety , H {6,3} | ||
cQ | cA | CH |
Operace zkosení, aplikovaná vícenásobně, vytváří mnohostěn s rostoucím počtem ploch, ve kterém jsou hrany předchozího mnohostěnu nahrazeny šestiúhelníky. Operace zkosení transformuje GP(m,n) na GP(2m,2n).
Pravidelný polytop GP(1,0) vytváří sekvenci Goldbergových polytopů GP(1,0), GP(2,0), GP(4,0), GP(8,0), GP(16, 0)...
GP(1,0) | GP(2,0) | GP(4.0) | GP(8,0) | GP(16,0)... | |
---|---|---|---|---|---|
GP IV {4+,3} |
C |
cc |
cc |
cccc |
|
GP V {5+,3} |
D |
CD |
ccD |
cccD |
ccccD |
GP VI {6+,3} |
H |
CH |
ccH |
cccH |
ccccH |
Zkrácený oktaedr nebo zkrácený dvacetistěn , GP(1,1) vytváří Goldbergovu sekvenci GP(1,1), GP(2,2), GP(4,4), GP(8,8)....
GP(1;1) | GP(2,2) | GP(4,4)... | |
---|---|---|---|
GP IV {4+,3} |
na |
ctO |
cctO |
GP V {5+,3} |
tI |
ctI |
cctI |
GP VI {6+,3} |
th |
ctH |
cctH |
Zkrácený tetrakishedron nebo pentakisdodekaedr , GP(3,0), vytváří Goldbergovu sekvenci GP(3,0), GP(6,0), GP(12,0)...
GP(3,0) | GP(6.0) | GP(12,0)... | |
---|---|---|---|
GP IV {4+,3} |
tkC |
ctkC |
cctkC |
GP V {5+,3} |
tkD |
ctkD |
cctkD |
GP VI {6+,3} |
tkH |
ctkH |
cctkH |
Stejně jako operaci roztažení lze operaci zkosení použít v libovolném rozměru. Pro mnohostěny ve 3D prostoru operace ztrojnásobí počet vrcholů. Ve vyšších dimenzích jsou kolem každé hrany vytvořeny nové buňky, přičemž buňkami jsou hranoly obsahující dvě kopie původní plochy s pyramidami přidanými ke stranám hranolu.