Zkosení (geometrie)

Zkosení nebo řezání hran v geometrii je topologická operace, která transformuje mnohostěn na jiný mnohostěn. Operace je podobná jako u roztažení , kdy se okraje posouvají směrem od středu. U 3D mnohostěnů přidá operace zkosení novou šestihrannou plochu na místo každé původní hrany.

V Conwayově zápisu je operace reprezentována písmenem c . Mnohostěn s e hranami bude mít po operaci zkosení 2 e nových vrcholů, 3 e nových hran a e nových šestiúhelníkových ploch .

Pravidelný zkosený mnohostěn

Níže uvedené sekce podrobně popisují pět zkosených pravidelných mnohostěnů . Každá je zobrazena ve verzi s hranami stejné délky a v kanonické verzi, ve které se všechny hrany dotýkají stejné napůl vepsané koule . (Vypadají znatelně odlišně pro těla obsahující trojúhelníkové plochy.) Zobrazené duální polytopy jsou duály kanonických verzí.

originál
{3,3}

{4,3}

{3,4}

{5,3}

{3,5}
zkosený

Zkosený čtyřstěn

Zkosený čtyřstěn

(se stejnou délkou hran)
Conwayova notace cT
Goldbergův mnohostěn GP III (2,0) = {3+,3} 2,0
tváře 4 trojúhelníky
6 šestiúhelníků
žebra 24 (2 typy)
Vrcholy 16 (2 typy)
Konfigurace vertexu (12) 3.6.6
(4) 6.6.6
Skupiny symetrie čtyřstěnný ( T d )
Dvojitý mnohostěn střídavý triakisoktaedr
Vlastnosti konvexní , tváře jsou rovnostranné

skenovat

Zkosený čtyřstěn (nebo střídající se komolá krychle ) je konvexní mnohostěn konstruovaný jako střídající se krychle nebo jako operace zkosení na čtyřstěnu, nahrazující jeho 6 hran šestiúhelníky.

Polytop je Goldberg G III (2,0) polytop obsahující trojúhelníkové a šestiúhelníkové plochy.

Čtyřboká zkosení a související tělesa

zkosený čtyřstěn (kanonický)

duální pro čtyřstěn (oktaedr)

zkosený čtyřstěn (kanonický)

střídavý triakisoktaedr

osmistěn

střídavý triakisoktaedr

Zkosená kostka

zkosená kostka

(se stejnou délkou stran)
Conwayova notace cC = t4daC
Goldbergův mnohostěn GP IV (2,0) = {4+,3} 2,0
Vrcholy 6 čtverců
12 šestiúhelníků
žebra 48 (2 typy)
Vrcholy 32 (2 typy)
Konfigurace vertexu (24) 4.6.6
(8) 6.6.6
Symetrie O h , [4,3], (*432)
T h , [4,3+], (3*2)
Dvojitý mnohostěn Tetrakiscubooctahedron
Vlastnosti konvexní , zonohedr , rovnostranné plochy

skenovat

Zkosená kostka je konvexní mnohostěn s 32 vrcholy, 48 hranami a 18 plochami - 12 šestiúhelníky a 8 čtverci. Mnohostěn je postaven jako zkosení krychle . Čtverce jsou zmenšeny a místo všech původních hran jsou přidány nové šestiúhelníkové plochy. Jeho dvojí je tetrakiscubooctahedron .

Mnohostěn není přesně nazýván zkráceným kosočtverečným dvanáctistěnem , ačkoli tento název naznačuje kosočtverec . Správnější je nazývat jej čtyřúhelný kosočtverečný dvanáctistěn , protože pouze vrcholy řádu 4 jsou zkrácené.

Šestihranné plochy jsou rovnostranné , ale ne pravidelné . Jsou tvořeny komolými diamanty, mají 2 vnitřní úhly asi 109,47° (= ) a 4 vnitřní úhly 125,26°, přičemž pravidelný šestiúhelník má všechny úhly 120°.

Protože všechny plochy mnohostěnu mají sudý počet stran s rotační symetrií 180°, je mnohostěn zonohedr . Je to také Goldbergův mnohostěn GP IV (2,0) nebo {4+,3} 2,0 obsahující čtvercové a šestiúhelníkové plochy.

Zkosená krychle je součtem Minkowského kosočtvercového dvanáctistěnu a krychle o délce strany 1, kdy osm vrcholů kosočtvercového dvanáctistěnu leží v bodech a šest vrcholů je permutacemi .

Zkosená kostka a související tělesa

Zkosená kostka (kanonická)

rombický dvanáctistěn

Osmistěn se zkosením

Tetrakiscubooctahedron

kuboktaedru

triakicubooktaedr

Zkosený osmistěn

Osmistěn se zkosením

(se stejnou délkou stran)
Conwayova notace cO = t3daO
tváře 8 trojúhelníků
12 šestiúhelníků
žebra 48 (2 typy)
Vrcholy 30 (2 typy)
Konfigurace vertexu (24) 3.6.6
(6) 6.6.6
Symetrie O h , [4,3], (*432)
Dvojitý mnohostěn Triakiscubooktaedr
Vlastnosti konvexní

V geometrii je zkosený osmistěn konvexní mnohostěn vytvořený z kosočtvercového dvanáctistěnu zkrácením 8 vrcholů (řádu 3).

Mnohostěn lze nazvat zkráceným kosočtverečným dvanáctistěnem , zkrácením asi 3 vrcholů kosočtvercového dvanáctistěnu .

Těchto 8 vrcholů je oříznuto, takže všechny hrany mají stejnou délku. Z původních 12 kosočtvercových ploch se stanou ploché šestiúhelníky a zkrácené vrcholy se změní na trojúhelníky.

Šestihranné plochy mají stejné strany , ale plochy nejsou pravidelné .

Zkosený dvanáctistěn

Dvanáctstěn se zkosením

(se stejnou délkou stran)
Conwayova notace cD = t5daD = dk5aD
Goldbergův mnohostěn GV (2,0) = {5+,3} 2,0
fulleren C 80 [1]
Vrcholy 12 pětiúhelníků
30 šestiúhelníků
žebra 120 (2 typy)
Vrcholy 80 (2 typy)
Konfigurace vertexu (60) 5.6.6
(20) 6.6.6
Skupiny symetrie Ikosahedrální ( I h )
Dvojitý mnohostěn pentakisicosidodecahedron
Vlastnosti konvexní , tváře jsou rovnostranné

Zkosený dvanáctistěn je konvexní mnohostěn s 80 vrcholy, 120 hranami a 42 plochami - 30 šestiúhelníků a 12 pětiúhelníků. Mnohostěn je postaven zkosením pravidelného dvanáctistěnu . Pětiúhelníky jsou zmenšeny a místo všech původních hran jsou přidány nové šestiúhelníkové plochy. Mnohostěn je duální k pentakisicosidodecahedronu .

Mnohostěn není zcela správně nazýván zkráceným kosočtverečným triakontahedrem . Správnější by bylo nazvat to pěti zkráceným kosočtvercem , protože pouze vrcholy řádu 5 jsou zkrácené.

Zkosený dvanáctistěn a příbuzné tělesa

zkosený dvanáctistěn (kanonický)

kosočtverečný triakontaedr

zkosený ikosidodekaedr (kanonický)

pentakisicosidodecahedron

ikosidodekaedru

triakis icosidodecahedron

Zkosený dvacetistěn

Zkosený ikosidodekaedr

(se stejnou délkou stran)
Conwayova notace cI = t3dal
tváře 20 trojúhelníků
30 šestiúhelníků
žebra 120 (2 typy)
Vrcholy 72 (2 typy)
Konfigurace vertexu (24) 3.6.6
(12) 6.6.6
Symetrie I h , [5,3], (*532)
Dvojitý mnohostěn triakis icosidodecahedron
Vlastnosti konvexní

V geometrii je zkosený dvacetistěn konvexní mnohostěn vytvořený z kosočtvercového triakontahedru oříznutím 20 vrcholů řádu 3. Šestiúhelníkové plochy mohou být rovnostranné , ale nebudou pravidelné .

Mnohostěn může být také nazýván zkráceným kosočtverečným triakontaedrem , zkrácením vrcholů kosočtvercového triakontaedru řádu 3.


Pravidelné zkosené obklady

Pravidelné mozaiky se zkosením

Čtvercové dlaždice , Q
{4,4}

Trojúhelníkový obklad , Δ
{3,6}

Šestihranné parkety , H
{6,3}
cQ cA CH


Spojení s Goldbergovými mnohostěny

Operace zkosení, aplikovaná vícenásobně, vytváří mnohostěn s rostoucím počtem ploch, ve kterém jsou hrany předchozího mnohostěnu nahrazeny šestiúhelníky. Operace zkosení transformuje GP(m,n) na GP(2m,2n).

Pravidelný polytop GP(1,0) vytváří sekvenci Goldbergových polytopů GP(1,0), GP(2,0), GP(4,0), GP(8,0), GP(16, 0)...

GP(1,0) GP(2,0) GP(4.0) GP(8,0) GP(16,0)...
GP IV
{4+,3}

C

cc

cc

cccc
GP V
{5+,3}

D

CD

ccD

cccD

ccccD
GP VI
{6+,3}

H

CH

ccH

cccH

ccccH

Zkrácený oktaedr nebo zkrácený dvacetistěn , GP(1,1) vytváří Goldbergovu sekvenci GP(1,1), GP(2,2), GP(4,4), GP(8,8)....

GP(1;1) GP(2,2) GP(4,4)...
GP IV
{4+,3}

na

ctO

cctO
GP V
{5+,3}

tI

ctI

cctI
GP VI
{6+,3}

th

ctH

cctH

Zkrácený tetrakishedron nebo pentakisdodekaedr , GP(3,0), vytváří Goldbergovu sekvenci GP(3,0), GP(6,0), GP(12,0)...

GP(3,0) GP(6.0) GP(12,0)...
GP IV
{4+,3}

tkC

ctkC
cctkC
GP V
{5+,3}

tkD

ctkD
cctkD
GP VI
{6+,3}

tkH

ctkH
cctkH

Mnohostěny a zkosené plástve

Stejně jako operaci roztažení lze operaci zkosení použít v libovolném rozměru. Pro mnohostěny ve 3D prostoru operace ztrojnásobí počet vrcholů. Ve vyšších dimenzích jsou kolem každé hrany vytvořeny nové buňky, přičemž buňkami jsou hranoly obsahující dvě kopie původní plochy s pyramidami přidanými ke stranám hranolu.


Viz také

Poznámky

  1. C80 izomery (nepřístupný odkaz) . Získáno 4. března 2018. Archivováno z originálu 12. srpna 2014. 

Literatura


Odkazy