Algebraická grupa je grupa , která je současně algebraickou varietou a grupová operace a operace převzetí inverzního prvku jsou pravidelná zobrazení variet.
Z hlediska teorie kategorií je algebraická grupa objektem skupiny v kategorii algebraických variet.
Několik důležitých tříd grup může být vybaveno strukturou algebraické grupy:
Naopak eliptické křivky jsou příkladem algebraických variet, které mohou být vybaveny strukturou algebraické grupy.
Existují dvě třídy algebraických grup, jejichž vlastnosti jsou tak dobře pochopeny, že se s nimi obvykle zachází odděleně: Abelovské variety a lineární algebraické grupy . Existují také algebraické grupy, které nepatří do žádné z těchto tříd – například takové grupy přirozeně vznikají v teorii zobecněných jakobiánů . Nicméně, podle Chevalleyova strukturního teorému , nějaká spojená algebraická grupa přes dokonalé pole obsahuje normální lineární algebraickou podgrupu , jejíž kvocient je abelovská varieta.
Podle další základní věty každá grupa, která je afinní algebraickou varietou , připouští věrnou konečnou dimenzionální reprezentaci , to znamená, že jde o maticovou grupu s prvky v poli k , danou polynomickými rovnicemi s koeficienty v k . To znamená, že definice afinní algebraické grupy je nadbytečná: vždy lze použít její specifičtější definici jako maticovou grupu.
Výše uvedená definice je vhodná pouze pro skupiny v algebraicky uzavřeném poli. Existují také "algebraické skupiny nad kruhem" definované pomocí jazyka schémat : skupinové schéma nad komutativním kruhem R je skupinový objekt v kategorii schémat nad R.
Algebraická podgrupa algebraické grupy je podgrupa uzavřená v topologii Zariski . Homomorfismus algebraických grup je pravidelné zobrazení odpovídajících variet, které je zároveň grupovým homomorfismem ; algebraickou podgrupu lze ekvivalentně definovat jako obraz injektivního homomorfismu.