Vektor (geometrie)

Vektor je směrovaný úsek přímky, tedy úsek, u kterého je naznačeno, který z jeho hraničních bodů je začátek a který konec [1] .

Vektor začínající v bodě a končící v bodě se obvykle označuje jako . Vektory lze také označovat malými latinskými písmeny se šipkou (někdy pomlčkou) nad nimi, například . Dalším běžným zápisem je napsat znak vektoru obyčejným tučným písmem: . $A$ $B$ $\overrightarrow {AB}$ ${\vec {a}}$ ${\mathbf {a}}$

Vektor v geometrii je přirozeně spojen s přenosem ( paralelní přenos ), což samozřejmě objasňuje původ jeho názvu ( lat. vector , carrier ). Každý směrovaný segment tedy jednoznačně definuje nějaký druh paralelního posunu roviny nebo prostoru: řekněme, vektor přirozeně určuje posun, ve kterém bod směřuje k bodu , a naopak rovnoběžný posun, ve kterém jde do , definuje jeden směrovaný segment (jediný - pokud považujeme za stejné všechny směrované segmenty stejného směru a délky - to znamená, že je považujte za volné vektory ; skutečně při paralelním přenosu jsou všechny body posunuty ve stejném směru o stejnou vzdálenost , tedy v tomto smyslu ). $\overrightarrow {AB}$ $A$ $B$ $A$ $B$ $\overrightarrow {AB}$ $\overrightarrow {A_{1}B_{1}}=\overrightarrow {A_{2}B_{2}}=\overrightarrow {A_{3}B_{3}}=\tečky$

Interpretace vektoru jako překladu nám umožňuje představit operaci sčítání vektoru přirozeným a intuitivně zřejmým způsobem - jako složení (postupné aplikace) dvou (nebo několika) překladů; totéž platí pro operaci násobení vektoru číslem.

Základní pojmy

Vektor je směrovaný segment vytvořený ze dvou bodů, z nichž jeden je považován za začátek a druhý za konec.

Souřadnice vektoru jsou definovány jako rozdíl mezi souřadnicemi jeho koncového a počátečního bodu. Pokud jsou například v souřadnicové rovině zadány souřadnice začátku a konce: a , pak souřadnice vektoru budou: . $T_{1}=(x_{1},y_{1})$ $T_{2}=(x_{2},y_{2})$ ${\overrightarrow {V}}=T_{2}-T_{1}=(x_{2},y_{2})-(x_{1},y_{1})=(x_{2} -x_{1},y_{2}-y_{1})$

Délka vektoru je vzdálenost mezi dvěma body a , obvykle se označuje ${\overrightarrow {V}}$ $T_{1}$ $T_{2}$ $|{\overrightarrow {V}}|=|T_{2}-T_{1}|=|(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})|={ \sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$

Roli nuly mezi vektory hraje nulový vektor , jehož začátek a konec se shodují ; na rozdíl od ostatních vektorů mu není přiřazen žádný směr [2] . $T_{1}=T_{2}$

Pro souřadnicovou reprezentaci vektorů má velký význam koncept promítání vektoru na osu (směrovaná přímka, viz obrázek) . Průmět je délka úsečky tvořené průměty bodů začátku a konce vektoru na danou přímku a průmětu je přiřazeno znaménko plus, pokud směr průmětu odpovídá směru osy. , jinak - znaménko mínus. Projekce se rovná délce původního vektoru vynásobené kosinusem úhlu mezi původním vektorem a osou; průmět vektoru na osu k němu kolmou je roven nule.

Aplikace

Vektory jsou široce používány v geometrii a aplikovaných vědách, kde se používají k reprezentaci veličin, které mají směr (síly, rychlosti atd.). Použití vektorů zjednodušuje řadu operací - například určování úhlů mezi přímkami nebo segmenty, výpočet ploch obrazců . V počítačové grafice se k vytvoření správného osvětlení těla používají normální vektory. Základem souřadnicové metody může být použití vektorů .

Typy vektorů

Někdy se místo toho, aby se za vektory považovala množina všech směrovaných segmentů (za rozdílné považujeme všechny směrované segmenty, jejichž začátky a konce se neshodují), vezme se pouze určitá modifikace této množiny (množina faktorů ), to znamená, že některé směrované segmenty jsou brány v úvahu. stejné, pokud mají stejný směr a délku, ačkoli mohou mít odlišný začátek (a konec), to znamená, že směrované segmenty stejné délky a směru jsou považovány za reprezentující stejný vektor; tak se ukáže, že každý vektor odpovídá celé třídě směrovaných segmentů, identických v délce a směru, ale lišících se začátkem (a koncem).

Hovoří se tedy o „volných“ , „posuvných“ a „pevných“ vektorech . Tyto typy se liší pojetím rovnosti dvou vektorů.

Když už mluvíme o volných vektorech, identifikují se všechny vektory, které mají stejný směr a délku;
když mluvíme o posuvných vektorech, dodávají, že počátky stejných posuvných vektorů se musí shodovat nebo ležet na stejné přímce, na které leží směrované segmenty představující tyto vektory (takže jeden může být kombinován s jiným posuvem ve směru, který sám nastavuje );
když mluvíme o fixních vektorech, říkají, že pouze vektory, které mají stejný směr a počátek, jsou považovány za rovnocenné (to znamená, že v tomto případě neexistuje faktorizace: neexistují žádné dva pevné vektory s různými počátky, které by byly považovány za stejné).

Formálně:

Říká se, že volné vektory a jsou stejné, pokud existují body a takové, že čtyřúhelníky a jsou rovnoběžníky . $\overrightarrow {AB}$ $\\overrightarrow {CD}$ $E$ $F$ $ABFE$ $CDFE$

Říká se, že posuvné vektory a jsou rovné if $\overrightarrow {AB}$ $\\overrightarrow {CD}$

body jsou na stejné čáře $ABECEDA$
vektory a jsou si navzájem rovny jako volné vektory. $\overrightarrow {AB}$ $\\overrightarrow {CD}$

Posuvné vektory jsou zvláště užitečné v mechanice . Nejjednodušším příkladem posuvného vektoru v mechanice je síla působící na tuhé těleso. Přenesení počátku vektoru síly podél přímky, na které leží, nemění moment síly kolem žádného bodu; jeho přenesení na jinou přímku, i když nezměníte velikost a směr vektoru, může způsobit změnu jeho momentu (dokonce téměř vždy bude): proto při výpočtu momentu nemůžete uvažovat sílu jako volnou vektor, to znamená, že jej nemůžete považovat za aplikovaný na libovolný bod pevného tělesa.

Říkáme, že pevné vektory a jsou stejné, pokud se body a a a shodují v párech . $\overrightarrow {AB}$ $\\overrightarrow {CD}$ $A$ $C$ $B$ $D$

V jednom případě se řízený segment nazývá vektor a v jiných případech jsou různé vektory různými třídami ekvivalence řízených segmentů, které jsou definovány nějakým specifickým vztahem ekvivalence . Navíc relace ekvivalence může být různá, určující typ vektoru („volný“, „pevný“ atd.). Jednoduše řečeno, v rámci třídy ekvivalence jsou všechny směrované segmenty, které jsou v ní obsaženy, považovány za dokonale stejné a každý může rovnoměrně reprezentovat celou třídu.

Všechny operace s vektory (sčítání, násobení číslem, skalární a vektorové součiny, výpočet modulu nebo délky, úhlu mezi vektory atd.) jsou v zásadě definovány stejně pro všechny typy vektorů, rozdíl v typech se snižuje v v tomto ohledu pouze pro posuvné a pevné vektory platí omezení na možnost provádění operací mezi dvěma vektory, které mají různé počátky (např. pro dva pevné vektory je sčítání zakázáno - nebo nemá smysl - pokud se jejich počátky liší; nicméně , pro všechny případy, kdy je tato operace povolena - nebo má význam stejný jako u volných vektorů). Proto často není typ vektoru výslovně uveden vůbec, předpokládá se, že je zřejmý z kontextu. Kromě toho lze stejný vektor v závislosti na kontextu problému považovat za pevný, posuvný nebo volný, například v mechanice lze vektory sil působících na těleso sčítat bez ohledu na bod aplikace při hledání výsledné při studiu pohybu těžiště, změn hybnosti atd.), ale nelze je vzájemně sčítat, aniž by se při výpočtu krouticího momentu (také ve statice a dynamice) zohledňovaly body použití.

Vztahy mezi vektory

Dva vektory se nazývají kolineární , pokud leží na rovnoběžných čarách nebo na stejné přímce. Říká se, že dva vektory jsou kolineární , pokud jsou kolineární a směřují stejným směrem, opačně orientované , pokud jsou kolineární a směřují různými směry. Existuje další definice: dva nenulové vektory a nazývají se kolineární, pokud existuje takové číslo , že [3] Tři vektory se nazývají koplanární , pokud jsou redukovány na společný počátek a leží ve stejné rovině [3] . ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ $\alpha$ ${\vec {a}}=\alpha {\vec {b}}$

Reprezentace souřadnic

Při práci s vektory se často zavádí určitý kartézský souřadnicový systém a v něm se určují souřadnice vektoru, který se rozkládá na bázové vektory. Expanzi z hlediska báze lze geometricky znázornit pomocí průmětů vektoru na souřadnicové osy. Pokud jsou známy souřadnice začátku a konce vektoru, získáme souřadnice samotného vektoru odečtením souřadnic jeho začátku od souřadnic konce vektoru.

\overrightarrow {AB}=(AB_{x},AB_{y},AB_{z})=(B_{x}-A_{x},B_{y}-A_{y},B_{z}-A_ {z})

Jako základ se často volí souřadnicové vektory , označované , respektive osami . Potom lze vektor zapsat jako ${\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}$ $x, y, z$ ${\vec {a}}$

{\vec {a}}=a_{x}{\vec {i}}+a_{y}{\vec {j}}+a_{z}{\vec {k}}

Jakákoli geometrická vlastnost může být zapsána v souřadnicích, poté se studium z geometrického stává algebraickým a zároveň se často zjednodušuje. Opak, obecně řečeno, není tak úplně pravda: obvykle je zvykem říkat [4] , že pouze ty vztahy, které platí v jakémkoli kartézském souřadnicovém systému ( invariantu ), mají „geometrickou interpretaci“.

Operace s vektory

Modul vektoru

Modul vektoru je číslo rovné délce segmentu . Označeno jako . Pro trojrozměrný vektor v kartézském souřadnicovém systému jej lze vypočítat jako: $\overrightarrow {AB}$ $AB$ $|\overrightarrow {AB}|$

|{\vec {a}}|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}

Přidání vektoru

V reprezentaci souřadnic se součtový vektor získá sečtením odpovídajících souřadnic členů:

{\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y},a_{z}+b_{z})

Ke konstrukci součtového vektoru geometricky se používají různá pravidla (metody) , ale všechna dávají stejný výsledek. Použití toho či onoho pravidla je odůvodněno řešeným problémem. ${\vec {c}}={\vec {a}}+{\vec {b}}$

Pravidlo trojúhelníku

Pravidlo trojúhelníku vyplývá nejpřirozeněji z chápání vektoru jako překladu. Je zřejmé, že výsledek po sobě jdoucího uplatnění dvou převodů a nějakého bodu bude stejný jako uplatnění jednoho převodu najednou odpovídající tomuto pravidlu. Chcete-li přidat dva vektory a podle pravidla trojúhelníku , oba tyto vektory se přenesou rovnoběžně k sobě tak, že začátek jednoho z nich se shoduje s koncem druhého. Potom je součtový vektor dán třetí stranou vytvořeného trojúhelníku a jeho začátek se shoduje se začátkem prvního vektoru a konec s koncem druhého vektoru. ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {a}}+{\vec {b}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$

Toto pravidlo je přímo a přirozeně zobecněno na sčítání libovolného počtu vektorů a mění se v pravidlo přerušované čáry :

Pravidlo tří bodů

Pokud segment představuje vektor a segment představuje vektor , pak segment představuje vektor . ${\overrightarrow {AB}}$ ${\vec {a}}$ ${\overrightarrow {BC}}$ ${\vec {b))$ ${\overrightarrow {AC}}$ ${\vec {a}}+{\vec {b}}$

Pravidlo mnohoúhelníku

Začátek druhého vektoru se shoduje s koncem prvního, začátek třetího - s koncem druhého a tak dále, součet vektorů je vektor, přičemž začátek se shoduje se začátkem prvního a konec se shoduje s koncem -th (to znamená, že je znázorněn směrovaným segmentem, který uzavírá přerušovanou čáru) . Také se nazývá pravidlo přerušované čáry. $n$ $n$

Pravidlo paralelogramu

Chcete-li přidat dva vektory a podle pravidla rovnoběžníku , oba tyto vektory se přenesou paralelně k sobě tak, aby se jejich počátky shodovaly. Potom je součtový vektor dán úhlopříčkou rovnoběžníku na nich postaveného, pocházejícího z jejich společného počátku. (Při použití pravidla trojúhelníku je snadné vidět, že tato úhlopříčka je stejná jako třetí strana trojúhelníku). ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$

Pravidlo rovnoběžníku je zvláště výhodné, když je potřeba znázornit součtový vektor bezprostředně připojený ke stejnému bodu, ke kterému jsou připojeny oba členy - tedy znázornit všechny tři vektory mající společný počátek.

Modul součtu dvou vektorů lze vypočítat pomocí kosinové věty :

|{\vec {a}}+{\vec {b}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}+ 2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos({\vec {a}},{\vec {b}})

, kde je kosinus úhlu mezi vektory a .

\cos({\vec {a)],{\vec {b)))

{\vec {a}}

{\vec {b}}

Pokud jsou vektory nakresleny v souladu s pravidlem trojúhelníku a úhel je vzat podle obrázku - mezi stranami trojúhelníku - který se neshoduje s obvyklou definicí úhlu mezi vektory, a tedy s úhlem uvedeným výše formule, pak poslední člen nabývá znaménko mínus, které odpovídá kosinové větě v jejím přímém znění.

Pro součet libovolného počtu vektorů platí podobný vzorec, ve kterém je více členů s kosinusem: jeden takový člen existuje pro každou dvojici vektorů ze sečtené množiny. Například pro tři vektory vypadá vzorec takto:

|{\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b } }}|^{2}+|{\vec {c}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos({\vec {a } },{\vec {b)))+2|{\vec {a}}||{\vec {c}}|\cos({\vec {a}},{\vec {c}}) + 2|{\vec {b}}||{\vec {c}}|\cos({\vec {b}},{\vec {c}}).

Odečítání vektoru

Chcete-li získat rozdíl v souřadnicovém tvaru, odečtěte odpovídající souřadnice vektorů:

{\vec {a}}-{\vec {b}}=(a_{x}-b_{x},a_{y}-b_{y},a_{z}-b_{z})

Chcete-li získat rozdílový vektor , začátky vektorů jsou spojeny a začátek vektoru bude konec a konec bude konec . Pokud je napsáno pomocí bodů vektorů, pak . ${\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}$ ${\vec {c}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {a}}$ $\overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {BC}$

Diferenční moduly vektorů

Tři vektory navíc tvoří trojúhelník a výraz pro rozdílový modul je podobný: ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {a}}-{\vec {b}}$

|{\vec {a}}-{\vec {b}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}- 2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos({\vec {a}},{\vec {b}}),

kde je kosinus úhlu mezi vektory a $\cos({\vec {a)],{\vec {b)))$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}).$

Rozdíl od vzorce součtového modulu ve znaménku před kosinusem, přičemž je nutné pečlivě sledovat, jaký úhel se bere (varianta vzorce součtového modulu s úhlem mezi stranami trojúhelníku, při sečtení podle trojúhelníkové pravidlo se vzhledově neliší od tohoto vzorce pro rozdílový modul, ale musíte mít na paměti, že se zde berou různé úhly: v případě součtu se úhel bere, když se vektor přenese na konec vector , když se hledá modul rozdílu, vezme se úhel mezi vektory připojenými k jednomu bodu; výraz pro modul součtu pomocí stejného úhlu jako v daném výrazu pro modul rozdílu se liší o znak před kosinus). ${\vec {b}}$ ${\vec {a}}$

Násobení vektoru číslem

Vynásobením vektoru číslem vznikne kodirectional vector s délkou, která je krát delší. Vynásobením vektoru číslem dostaneme opačně orientovaný vektor s délkou, která je krát větší. Násobení vektoru číslem ve tvaru souřadnic se provádí vynásobením všech souřadnic tímto číslem: ${\vec {a}}$ $\alpha >0$ $\alpha$
${\vec {a}}$ $\alpha<0$ $|\alpha |$

\alpha {\vec {a}}=(\alpha a_{x},\alpha a_{y},\alpha a_{z})

Na základě definice se získá výraz pro modul vektoru vynásobený číslem:

|\alpha {\vec {a}}|=|\alpha ||{\vec {a}}|

Stejně jako u čísel lze operace sčítání vektoru k sobě samému zapsat jako násobení číslem:

{\vec {a}}+{\vec {a}}=2{\vec {a}}

A odčítání vektorů lze přepsat pomocí sčítání a násobení:

{\vec {a}}-{\vec {b}}={\vec {a}}+(-{\vec {b}})

Na základě skutečnosti, že násobení nemění délku vektoru, ale pouze mění směr, a vzhledem k definici vektoru dostáváme: $-jeden$

-\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {BA}

Bodový součin vektorů

Pro geometrické vektory je skalární součin definován pomocí jejich geometrických charakteristik a je zaveden následovně:

{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos({\vec {a}},{\vec { b))

Zde se pro výpočet kosinusu bere úhel mezi vektory, který je definován jako velikost úhlu svíraného vektory, pokud je aplikujete na jeden bod (spojíte jejich začátky).

Tento výraz lze přepsat pomocí souřadnic (zde vzorec pro trojrozměrný prostor):

{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}

Skalární čtverec vektoru je jeho skalárním součinem sám se sebou a lze jej vypočítat pomocí modulu vektoru:

{\vec {a}}^{2}={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=|{\vec {a}}|^{2}

Křížový součin vektorů

Vektorový součin dvou vektorů a je vektor , který je ortogonální k rovině vektorů a jeho délka se rovná ploše rovnoběžníku tvořeného vektory a směr je určen pravidlem pravé ruky . ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$

Smíšený součin vektorů

Smíšený součin tří vektorů je číslo definované takto: ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$

({\vec {a)),{\vec {b)],{\vec {c)))={\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c }})

Modul této hodnoty udává objem rovnoběžnostěnu postaveného na vektorech . ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$

Viz také

Literatura

Vygodsky M. Ya. Příručka elementární matematiky . — M .: Nauka, 1978.
- Znovuvydání: Ed. AST, 2003, ISBN 5-17-009554-6 .
Bashmakov M. Co je to vektor? // Kvantové . - 1976. - č. 4 . - S. 2-5 . (Ruština)
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementary Mathematics. Opakujte kurz. - Třetí vydání, stereotypní. — M .: Nauka, 1976. — 591 s.

Poznámky

↑ Atanasyan L. S. , Butuzov V. F. , Kadomtsev S. B. , Poznyak E. G. , Yudina I. I. Geometrie ročníky 7-9. - Moskva: Vzdělávání, 2010. - 384 s. — ISBN 978-5-09-023915-8 .
↑ Elementární matematika, 1976 , s. 249..
↑ 1 2 Vygodsky M. Ya. Příručka vyšší matematiky. - Moskva: Astrel, 2006. - 991 s. - ISBN 5-271-03651-0 .
↑ Toto tvrzení je zjevně do určité míry podmíněné, protože konkrétní pevný souřadnicový systém, je-li to žádoucí, může být explicitně zahrnut do počtu objektů, pro které jsou vytvořeny vztahy, a poté lze algebraické příkazy pro tento konkrétní pevný souřadný systém přeformulovat tak, že jsou invariantní pod záznamy v jakémkoli jiném, libovolném, souřadnicovém systému.

Vektory a matice

vektory

Základní pojmy	Vektor v geometrii Základ Ortogonální základ Vektorové souřadnice Kolinearita Ortogonalita Lineární závislost Prostor sloupců
Druhy vektorů	Jednotkový vektor Axiální vektor izotropní vektor Normální Kolinearita Nulový vektor Vektor poloměru Vlastní vektor
Operace s vektory	Skalární součin vektorový produkt smíšený produkt Pseudoskalární produkt Dvojitý křížový produkt
Typy prostoru	vektorový prostor afinní prostor Euklidovský prostor Pseudoeuklidovský prostor Normovaný prostor Minkowského prostor

matrice

Základní pojmy	Maticové násobení Transponovaná matice Hermitovská konjugovaná matice Symetrická matice inverzní matice Vlastní hodnota Charakteristický polynom matice
Speciální matrice	Matice identity Nulová matice Diagonální matice lambda matrice
Maticové rozklady	LU rozklad Choleský rozklad QR rozklad rozklad LUP singulární rozklad hodnoty Spektrální rozklad matice

jiný