Harmonická řada

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 19. června 2022; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Harmonická řada - součet nekonečného počtu členů převrácených k po sobě jdoucím číslům přirozené řady :

\sum _{k=1}^{\mathcal {\infty }}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1} {3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{k}}+\cdots

Série se nazývá harmonická , protože se skládá z „harmonických“ : harmonická extrahovaná ze struny houslí je základním tónem produkovaným strunou o délce délky původní struny [1] . Navíc každý člen řady, počínaje druhým, je harmonickým průměrem dvou sousedních členů. $k$ ${\frac {1}{k))$

Součty prvních n členů řady (dílčí součty)

Jednotlivé členy řady inklinují k nule, ale její součet se rozchází. Částečný součet n prvních členů harmonické řady se nazývá n-té harmonické číslo :

H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k))=1+{\frac {1}{2))+{\frac {1} {3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}

Rozdíl mezi t. harmonickým číslem a přirozeným logaritmem konverguje k Euler-Mascheroniho konstantě . $n$ $n$ $\gamma =0{,}5772...$

Rozdíl mezi různými harmonickými čísly není nikdy celé číslo a žádné jiné harmonické číslo než , není celé číslo: [2] . $H_{1}=1$ $\forall n>1\;\;\;\;\součet _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\notin \mathbb {N}$

Některé hodnoty dílčích součtů

{\begin{matrix}H_{1}&=&1\\\\H_{2}&=&{\frac {3}{2}}&=&1{,}5\\\\H_{ 3}&=&{\frac {11}{6}}&\cca &1{,}833\\\\H_{4}&=&{\frac {25}{12}}&\cca &2{, }083\\\\H_{5}&=&{\frac {137}{60}}&\cca &2{,}283\end{matrix}}

{\begin{matrix}H_{6}&=&{\frac {49}{20}}&=&2{,}45\\\\H_{7}&=&{\frac {363} {140}&\cca &2{,}593\\\\H_{8}&=&{\frac {761}{280}}&\cca &2{,}718\\\\H_{10^{ 3}}&\cca &7{,}485\\\\H_{10^{6}}&\cca &14{,}393\end{matrix}}

Eulerův vzorec

V roce 1740 Euler získal asymptotický výraz pro součet prvních členů řady: $n$

{\displaystyle H_{n}=\ln n+\gamma +\varepsilon _{n))

kde je Euler-Mascheroniho konstanta a je přirozený logaritmus . $\gamma =0{,}5772...$ $\ln$

V hodnotě , tedy pro velké $n\rightarrow \infty$ $\varepsilon _{n}\rightarrow 0,$ $n$

H_{n}\approx \ln n+\gamma

- Eulerův vzorec pro součet prvních členů harmonické řady.

n

Příklad použití Eulerova vzorce

$n$	$H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k))$	$\ln n+\gamma$	$\varepsilon_{n}$ , (%)
deset	2,93	2,88	1.7
25	3,82	3,80	0,5

Přesnější asymptotický vzorec pro částečný součet harmonické řady:

H_{n}\asymp \ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^ {4}}}-{\frac {1}{252n^{6}}}\tečky =\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\součet _{k=1}^{ \infty }{\frac {B_{2k}}{2k\,n^{2k}}},

kde jsou Bernoulliho čísla .

B_{{2k}}

Tato řada se liší, ale chyba výpočtu na ní nikdy nepřesáhne polovinu prvního vyřazeného členu .

Divergence řady

Harmonická řada diverguje : ale velmi pomalu (aby dílčí součet přesáhl 100, je potřeba asi 10 43 prvků řady). $s_{n}\rightarrow \infty$ $n\rightarrow \infty ,$

Divergenci harmonické řady lze demonstrovat jejím porovnáním s následující teleskopickou řadou , která se získá logaritmováním : $\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<e$

v_{n}=\ln(n+1)-\ln n=\ln \left(1+{\frac {1}{n))\right)<{\frac {1}{n} }.

Částečný součet této řady je zjevně roven Sekvence takových částečných součtů diverguje; tedy z definice se teleskopická řada diverguje, ale pak z kritéria pro srovnávání řad vyplývá, že se odchyluje i řada harmonická. $\sum _{i=1}^{n}v_{i}=\ln(n+1).$

Důkaz z hlediska limity posloupnosti dílčích součtů [3]

Uvažujme posloupnost Ukažme, že tato posloupnost není fundamentální , to znamená, že odhadněme rozdíl Let Pak Tato posloupnost tedy není fundamentální a diverguje podle Cauchyho kritéria. Pak se řada podle definice také rozchází. $H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k))=1+{\frac {1}{2))+{\frac {1} {3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}.$ $\exists \varepsilon >0:\forall k\in \mathbb {N} \ \exists n>k,\exists p\in \mathbb {N} :\left\vert H_{n+p}-H_ {n}\right\vert \geq \varepsilon .$ $\left\vert H_{n+p}-H_{n}\right\vert ={\frac {1}{n+1}}+\cdots +{\frac {1}{n+p} }\geq {\frac {1}{n+p}}+\cdots +{\frac {1}{n+p}}={\frac {p}{n+p}}.$ $p\doteq n.$ $\forall n\in \mathbb {N} :\left\vert H_{2n}-H_{n}\right\vert \geq {\frac {1}{2)).$

Oresmeův důkaz

Důkaz divergence lze sestavit porovnáním harmonické řady s jinou divergentní řadou, ve které jsou jmenovatele doplněny na mocninu dvou. Tato řada je seskupena a získá se třetí řada, která se liší:

{\begin{aligned}\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k}}&{}=1+\left[{\frac {1}{2}} \right]+\left[{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{5}}+{\frac { 1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{9}}+\cdots \right ]+\cdots \\&{}>1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{ 4}}\right]+\left[{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{ 8}}\right]+\left[{\frac {1}{16}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}=1+\ {\frac {1}{2}}\ \ \ +\quad {\frac {1}{2}} \ \quad +\ \qquad \quad {\frac {1}{2}}\qquad \ \quad \ +\quad \ \ {\frac {1} {2}}\ \quad +\ \cdots .\end{aligned}}

(Seskupení konvergentních řad vždy dává konvergentní řadu, což znamená, že pokud je po seskupení řada divergentní, diverguje i původní řada.)

Tento důkaz patří středověkému učenci Nicholasi Oremovi (kolem roku 1350).

Související série

Generalizovaná harmonická řada

Zobecněná harmonická řada (zvláštní případ Dirichletovy řady ) se nazývá řada [4]

\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k^{\alpha }}}=1+{\frac {1}{2^{\alpha }}}+{ \frac {1}{3^{\alpha }}}+{\frac {1}{4^{\alpha }}}+\cdots +{\frac {1}{k^{\alpha }}}+ \cdots

Tato řada diverguje v a konverguje v [4] . $\alpha \leqslant 1$ $\alpha >1$

Součet zobecněné řady harmonických řádů se rovná hodnotě Riemannovy zeta funkce : $\alpha$

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{\alpha }}}=\zeta (\alpha )

Pro sudá čísla je tato hodnota explicitně vyjádřena v pí - například součet řady inverzních čtverců . Ale již pro α =3 je jeho hodnota ( Apéryho konstanta ) analyticky neznámá. $\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

Další ilustrací divergence harmonické řady může být vztah $\zeta (1+{\frac {1}{n)))\sim n.$

Střídavé řady

Na rozdíl od harmonické řady, ve které jsou všechny členy brány se znaménkem „+“, řada

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(-1)^{{n+1}}}{n}}\;=\;1\,-\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,-\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{5 }}\,-\,\cdots

konverguje podle Leibnizova testu . Proto se o takové řadě říká, že má podmíněnou konvergenci . Jeho součet se rovná přirozenému logaritmu 2:

1\,-\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,-\,{\frac {1}{4}}\,+\ ,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots \;=\;\ln 2.

Tento vzorec je speciálním případem Mercatorovy řady , tedy Taylorovy řady pro přirozený logaritmus.

Podobnou řadu lze odvodit z Taylorovy řady pro arkus tangens :

\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{{n}}}{2n+1}}\;\;=\;\;1\,-\ ,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,\cdots \; \;=\;\;{\frac {\pi }{4}}.

Tento vztah je známý jako Leibnizova řada .

Náhodné harmonické řady

V roce 2003 [5] [6] studoval vlastnosti náhodné řady

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n)),

kde jsou nezávislé , identicky rozložené náhodné proměnné, které nabývají hodnot +1 a -1 se stejnou pravděpodobností ½. Je ukázáno, že tato řada konverguje s pravděpodobností 1 a součet řady je náhodná veličina se zajímavými vlastnostmi. Například funkce hustoty pravděpodobnosti , vypočítaná v bodech +2 nebo -2, má hodnotu: $s_{n}$

0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642 …,

lišící se od ⅛ o méně než 10 −42 .

"Ztenčená" harmonická řada

Viz Kempner Series

Uvažujeme-li harmonickou řadu, ve které zbývají pouze členy, jejichž jmenovatelé neobsahují číslo 9, pak se ukáže, že zbývající řada konverguje a její součet je menší než 80 [7] . Později byl nalezen přesnější odhad, Kempnerova řada konverguje (sekvence A082838 v OEIS ). Navíc je dokázáno, že pokud ponecháme členy, které neobsahují žádnou předem vybranou posloupnost číslic, výsledná řada bude konvergovat. Z toho lze učinit chybný závěr o konvergenci původní harmonické řady, což není pravda, protože s rostoucími číslicemi v čísle se pro součet „ztenčených“ řad bere stále méně členů. To znamená, že naprostá většina členů, které tvoří součet harmonických řad, je nakonec vyřazena, aby se nepřekročila shora omezující geometrická posloupnost. $22{,}92067661926415034816$ $n$

Poznámky

↑ Graham R., Knut D., Patashnik O. Concrete Mathematics. Základy informatiky. — M.: Mir; BINOMICKÝ. Vědomostní laboratoř, 2006. - S. 47. - 703 s. ISBN 5-03-003773-X
↑ Harmonické číslo – od Wolframa MathWorld . Získáno 6. března 2010. Archivováno z originálu 16. května 2013. (neurčitý)
↑ Kudryavtsev N.L. Přednášky o matematické analýze. - 2013. - S. 35.
↑ 1 2 Bronstein I. N., Semendyaev K. A. Příručka matematiky pro inženýry a studenty vysokých škol. M.: Věda. Hlavní vydání fyzikální a matematické literatury, 1981, 718 s.
↑ "Random Harmonic Series", American Mathematical Monthly 110, 407-416, květen 2003
↑ Schmulandův předtisk Random Harmonic Series . Získáno 6. března 2010. Archivováno z originálu dne 8. června 2011. (neurčitý)
↑ Nickovy matematické hádanky: Řešení 72 . Datum přístupu: 6. března 2010. Archivováno z originálu 28. září 2010. (neurčitý)

Sekvence a řádky
Sekvence	Číselná posloupnost Základní posloupnost Lineární rekurentní sekvence Fibonacciho čísla složená čísla Faktorový Barkerova sekvence sekvence de bruijn
Řádky, základní	Součet řádků Zbytek řady Podmíněná konvergence Střídavé série Vícesekce řádků
Číselné řady ( operace s číselnými řadami )	harmonická řada série Leibniz Řada inverzních čtverců Série recipročních prvočísel Řada Dirichlet série Mercator Řada Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funkční řádky	Taylorova řada série Laurent Fourierova řada Trigonometrické Fourierovy řady trigonometrická řada série Wiener
Jiné typy řádků	Neumannovy řady Řada Puiseux