Legendreova hypotéza

Legendreova domněnka (Landauův 3. problém) je matematická domněnka z rodiny výsledků a hypotéz o intervalech mezi prvočísly , podle níž pro jakékoli přirozené existuje prvočíslo mezi a . Je to jeden z Landauových problémů . Formuloval Legendre v roce 1808, [1] od roku 2022 není prokázán ani vyvrácen. $n$ $n^{2}$ $(n+1)^2$

Prvotřídní rozsahy

Z věty o rozdělení prvočísel vyplývá, že počet prvočísel mezi a [2] asymptoticky směřuje k . Vzhledem k tomu, že toto číslo se zvyšuje s rostoucím , dává to základ pro Legendreovu hypotézu. $n^{2}$ $(n+1)^2$ $n/\ln n$ $n$

Pokud je domněnka pravdivá, interval mezi libovolným prvočíslem a dalším prvočíslem musí být vždy řádu [3] , a v -notaci je interval . Dvě silnější hypotézy, Andritzova domněnka a Oppermanova domněnka, předpokládají stejné chování intervalů. Hypotéza nedává řešení Riemannovy hypotézy , ale posiluje jeden z důsledků, pokud je hypotéza pravdivá. $p$ $\sqrt{p}$ $Ó$ $O(\sqrtp)$

Je-li Cramerova domněnka pravdivá (že intervaly mají řád ), pak z ní Legendreova domněnka vyplyne pro dostatečně velké . Cramer také ukázal, že slabší mez velikosti největšího intervalu mezi prvočísly vyplývá z Riemannovy hypotézy [4] . $(\log p)^{2}$ $n$ $O({\sqrt {p}}\log p)$

Protipříklad kolem 10 18 by musel mít interval 50 milionkrát větší než průměrný interval.

Z Legendrovy domněnky vyplývá, že v každé půlotočce Ulamské spirály lze nalézt alespoň jedno prvočíslo .

Dílčí výsledky

Na počátku 21. století bylo zjištěno, že v intervalu pro všechny velké existuje prvočíslo [5] . $[x,\,x+O(x^{21/40})]$ $X$

Tabulka maximálních intervalů prvočísel ukazuje [6] , že hypotéza platí až . $n^{2}=4\cdot 10^{18}$

Bylo dokázáno, že pro nekonečný počet čísel , $n \in \mathbb N$

\left\lfloor {\frac {1}{2}}\left({\frac {(n+1)^{2}}{\log(n+1)))-{\frac {n ^{2}}{\log n}}\right)-{\frac {(\log n)^{2}}{\log \log n}}\right\rfloor \leq \pi \left((n +1)^{2}\right)-\pi \left(n^{2}\right),

kde je distribuční funkce prvočísel [7] . $\pi$

Viz také

Poznámky

↑ DŮKAZ A ROZŠÍŘENÍ HYPOTÉZY LEGANDRE V TEorii prvočísel
↑ OEIS sekvence A014085 . _
↑ Je to důsledek toho, že rozdíl mezi dvěma po sobě jdoucími druhými mocninami je v řádu jejich odmocnin.
↑ Stewart, 2013 , str. 164.
↑ Baker, Harman, Pintz, Pintz, 2001 , str. 532-562.
↑ Oliveira e Silva, Herzog, Pardi, 2014 , str. 2033-2060.
↑ Hassani, Mehdi (2006), Počítání prvočísel v intervalu ( n 2 , ( n + 1) 2 ), arΧiv : math/0607096 .

Literatura

Baker RC, Harman G., Pintz G., Pintz J. Rozdíl mezi po sobě jdoucími prvočísly, II // Proceedings of the London Mathematical Society. - 2001. - Sv. 83 , iss. 3 . - S. 532-562 . - doi : 10.1112/plms/83.3.532 .
Tomás Oliveira a Silva, Siegfried Herzog, Silvio Pardi. Empirické ověření sudé Goldbachovy domněnky a výpočet prvočíselných mezer do // Matematika počítání. - 2014. - Sv. 83 , iss. 288 . - str. 2033-2060 . - doi : 10.1090/S0025-5718-2013-02787-1 . $4\cdot 10^{18}$
Ian Stewart. Visions of Infinity: The Great Mathematical Problems (anglicky) . - Základní knihy, 2013. - ISBN 9780465022403 . .

Odkazy

Weisstein, domněnka Erica W. Legendra (v angličtině) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Hashimoto, Tsutomu (2008), O určitém vztahu mezi Legendrovou domněnkou a Bertrandovým postulátem, arΧiv : 0807.3690 .
Mitra, Adway; Paul, Goutam & Sarkar, Ushnish (2009), Některé dohady o počtu prvočísel v určitých intervalech, arΧiv : 0906.0104 .
Paz, Němec (2013), O Legendreových, Brocardových, Andirkových a Oppermannových dohadech, arΧiv : 1310.1323 .

Hypotézy o prvočíslech
Hypotézy	Hardy - Littlewood Před - Jugi Andritsy Artina Bateman-Horn hypotéza Brocard Bunjakovskij Čínská hypotéza Kramer Dixon Elliot-Halberstam Firuzbekht Gilbraith Grimm Landauovy problémy Goldbach Legendre Dvojčíslí Legendrova konstanta Lemoine Mersenne Opperman Polignac Poyi Redmond — Sunya Hypotéza H Waringa