Diagonální matice

Diagonální matice je čtvercová matice , jejíž všechny prvky, stojící mimo hlavní diagonálu , jsou rovny nule:

D={\begin{bmatrix}d_{11}&0&\cdots &0\\0&d_{22}&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &d_{nn }\end{bmatrix}}

Diagonální matice se vstupy na hlavní diagonále je označena . $D$ $(d_{{1}},d_{{2}},\tečky ,d_{{n}})$ ${\displaystyle \mathrm {diag} \,\{d_{1},d_{2},\dots ,d_{n}\))$

Je jak horní trojúhelníkový , tak spodní trojúhelníkový . Diagonální matice je symetrická: . Hodnost diagonální matice se rovná počtu nenulových prvků umístěných na hlavní diagonále. $D^{\intercal }=D$

Diagonální matice lze sčítat a násobit člen po členu:

$\mathrm {diag} \,\{a_{1},a_{2},\tečky ,a_{n}\}+\mathrm {diag} \,\{b_{1},b_{2} ,\tečky ,b_{n}\}=\mathrm {diag} \,\{a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\tečky ,a_{n}+b_{ n}\}$ ,

$\mathrm {diag} \,\{a_{1},a_{2},\tečky ,a_{n}\}\mathrm {diag} \,\{b_{1},b_{2}, \dots ,b_{n}\}=\mathrm {diag} \,\{a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\dots ,a_{n}b_{n}\}$ .

Determinant diagonální matice se rovná součinu diagonálních prvků: . ${\mathrm {det}}\,D=d_{{11}}d_{{22}}\tečky d_{{nn}}$

Algebraický doplněk mimodiagonálního prvku diagonální matice je nula, tj.

D_{ij}={\begin{cases}0,&i\neq j\\\prod \limits _{i=1}^{n-1}d_{ii},&i=j\end{cases }}

Inverzní matice pro diagonální matici je:

D^{-1}={\begin{bmatrix}d_{11}^{-1}&0&\cdots &0\\0&d_{22}^{-1}&\cdots &0\\\cdots &\ cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &d_{nn}^{-1}\end{bmatrix}}=\mathrm {diag} \,\{d_{11}^{-1},d_{22 }^{-1},\tečky ,d_{nn}^{-1}\}

Diagonální jsou nulová matice , matice identity , skalární matice (všechny prvky hlavní úhlopříčky jsou stejné).

V některých případech může být mimodiagonální matice redukována na diagonální formu změnou základu ; postačující podmínkou je rozdíl všech vlastních čísel matice (v obecném případě je matice redukovatelná pouze na Jordanovu formu ).

Vektory a matice

vektory

Základní pojmy	Vektor v geometrii Základ Ortogonální základ Vektorové souřadnice Kolinearita Ortogonalita Lineární závislost Prostor sloupců
Druhy vektorů	Jednotkový vektor Axiální vektor izotropní vektor Normální Kolinearita Nulový vektor Vektor poloměru Vlastní vektor
Operace s vektory	Skalární součin vektorový produkt smíšený produkt Pseudoskalární produkt Dvojitý křížový produkt
Typy prostoru	vektorový prostor afinní prostor Euklidovský prostor Pseudoeuklidovský prostor Normovaný prostor Minkowského prostor

matrice

Základní pojmy	Maticové násobení Transponovaná matice Hermitovská konjugovaná matice Symetrická matice inverzní matice Vlastní hodnota Charakteristický polynom matice
Speciální matrice	Matice identity Nulová matice Diagonální matice lambda matrice
Maticové rozklady	LU rozklad Choleský rozklad QR rozklad rozklad LUP singulární rozklad hodnoty Spektrální rozklad matice

jiný