Střídavé řady přirozených čísel

Znaménko- střídavá řada přirozených čísel je znaménko- střídavá řada, jejíž členy modulo jsou po sobě jdoucí přirozená čísla a mají střídavé znaménko: 1 - 2 + 3 - 4 + .... Částečný součet s číslem m této řady je popsán výrazem:

\sum _{{n=1}}^{m}n(-1)^{{n-1}}

Taková číselná řada diverguje , to znamená, že dílčí součty řady neinklinují k žádné konečné limitě . V polovině 18. století však Leonhard Euler navrhl výraz, který popsal jako „ paradoxní “:

1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.

Matematický aparát pro výklad tohoto výrazu byl vyvinut mnohem později. Počínaje rokem 1890 Cesaro , Borel a další matematici důsledně formulovali metody pro získání zobecněných součtů divergentních řad a také doplnili Eulerovy myšlenky o nové interpretace. Mnoho z těchto metod pro součet řady dává výsledek rovný 1 ⁄ 4 . Cesaro sumace je jednou z mála metod, která neumožňuje určit součet 1 − 2 + 3 − 4 + .. . Pro získání konečného součtu metodou zobecněného součtu pro tuto řadu je tedy zapotřebí jiný přístup, například pomocí Abelovy součtové metody .

Střídavá přirozená řada úzce souvisí s řadou Grandi ( 1 − 1 + 1 − 1 + … ). Euler považoval tyto řady za dva speciální případy řady 1 − 2 n + 3 n − 4 n + … , které studoval pro libovolné n při práci na Basilejském problému a získal funkcionální rovnice pro funkce nyní známé jako Dirichletova eta funkce a zeta -Riemannovy funkce .

Divergence

Členy posloupnosti (1, −2, 3, −4, ...) neinklinují k nule , proto podle nutné podmínky konvergence řada diverguje [1] :8 :

1 = 1 1 − 2 = −1 , 1 − 2 + 3 = 2 , 1 − 2 + 3 − 4 = −2 , 1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3 , 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 = -3 , …

\sum _{n=1}^{m}(-1)^{n-1}n\;\;={\frac {(-1)^{m-1}(2m+1) +1 {4}}

Tato posloupnost je pozoruhodná tím, že je v ní přítomno každé celé číslo – dokonce i nula, daný prázdným částečným součtem – a tedy množina hodnot členů této posloupnosti je spočetná [2] :23 . Tato posloupnost částečných součtů ukazuje, že řada nekonverguje k žádnému konkrétnímu číslu (pro libovolné x lze najít člen, po kterém budou všechny následující dílčí součty mimo interval ), a proto střídavé přirozené řady divergují. $[x-1,x+1]$

Heuristika pro sčítání

Stabilita a linearita

Protože členy 1, -2, 3, -4, 5, -6, ... se řídí jednoduchým vzorem, lze střídající se přirozené řady transformovat posunem a termickým sčítáním, aby se jim přiřadila nějaká číselná hodnota. Pokud má výraz s = 1 − 2 + 3 − 4 + … pro nějaké obyčejné číslo s smysl, pak nám následující formální transformace umožňuje tvrdit, že jeho hodnota je v určitém smyslu rovna s = 1 ⁄ 4 : [1] : 6 .

{\begin{array}{rcllll}4s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3 -4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )\\&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+1+(-2+3 -4+5+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}-1+(3-4+5-6\cdots )\\&=&1+[ &(1-2-2+3)&{}+(-2+3+3-4)&{}+(3-4-4+5)&{}+(-4+5+5-6 )+\cdots ]\\&=&1+[&0+0+0+0+\cdots ]\\4s&=&1\end{array}}

Proto . Vpravo je tento závěr graficky znázorněn. $s={\frac {1}{4))$

Ačkoli se střídavá přirozená řada diverguje a nemá žádný součet v obvyklém smyslu, výraz s = 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1 ⁄ 4 dává přirozenou odpověď, lze-li takový součet určit. Zobecněná definice „součtu“ divergentní řady se nazývá sumační metoda , která vám umožňuje najít součty pro určitou podmnožinu všech posloupností. Existuje mnoho zobecněných metod sčítání řad (některé z nich jsou popsány níže ), které mají některé vlastnosti běžného sčítání řad. Výše bylo prokázáno následující: pokud použijete jakoukoli metodu zobecněného součtu, která je lineární a stabilní , která vám umožní získat součet řady 1 − 2 + 3 − 4 + … , pak tento součet bude 1 ⁄ 4 . Navíc, protože:

{\begin{array}{rcllll}2s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&+&(1-2+3-4+\cdots )\\&=&1+&(-2+ 3-4+\cdots )&{}+1-2&+(3-4+5\cdots )\\&=&0+&(-2+3)+(3-4)+(-4+5) +\cdots \\2s&=&&1-1+1-1\cdots \end{array}}

tato metoda také dá součet pro Grandiho řadu , který se bude rovnat 1 − 1 + 1 − 1 + … = 1 ⁄ 2 .

Cauchyho produkt

V roce 1891 Ernesto Cesaro vyjádřil naději, že analýza divergentních řad by vyústila v sebekalkulaci a zdůraznil: „Už pište

{(1-1+1-1+\dots )}^{2}=1-2+3-4+\ldots

a tvrdit, že obě strany jsou si rovny ." [3] :130 . Pro Cesara byl tento výraz aplikací věty, kterou publikoval o rok dříve a kterou lze považovat za první větu v historii sčítacích divergentních řad. Podrobnosti této součtové metody jsou uvedeny níže ; hlavní myšlenkou je, na čem je produkt Cauchy . $1/4$ $1-2+3-4+\ldots$ $1-1+1-1+\ldots$ $1-1+1-1+\ldots$

Cauchyho součin pro dvě nekonečné posloupnosti je definován, i když se obě liší. V případě kdy

\sum {a_{n}}=\sum {b_{n}}=\sum {{(-1)}^{n}},

členy Cauchyho součinu se získají z konečného diagonálního součtu:

{\begin{array}{rcl}c_{n}&=&\displaystyle \sum _{{k=0}}^{n}a_{k}b_{{nk}}=\sum _{{k= 0}}^{n}(-1)^{k}(-1)^{{nk}}\\[1em]&=&\displaystyle \sum _{{k=0}}^{n}( -1)^{n}=(-1)^{n}(n+1).\end{array}}

A pak výsledná sekvence: $\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)=1-2+3-4+\ldots .$

Proto metoda součtu, která zachovává Cauchyho součin a dává součet

1-1+1-1+\ldots ={\frac {1}{2)),

dá i součet

1-2+3-4+\ldots ={\frac {1}{4)).

S využitím výsledků získaných v předchozí části to implikuje ekvivalenci součetnosti při použití sčítacích metod, které jsou lineární, stabilní a zachovávají Cauchyho součin. $1-1+1-1+\ldots$ $1-2+3-4+\ldots$

Cesarova věta je jen příkladem. Řádek

1-1+1-1+\ldots

je Cesaro sčítatelné ve slabém smyslu a nazývá se -sčitatelné , zatímco $(C,\;1)$

1-2+3-4+\ldots

vyžaduje silnější formu Cesarovy věty [1] :3 [4] :52-55 a nazývá se -summable. Protože všechny formy součtové metody Cesaro jsou lineární a stabilní, jsou hodnoty součtů vypočteny výše. $(C,2)$

Soukromé metody

Metoda Cesara a Höldera

Abychom našli Cesarův součet (C, 1) pro 1 − 2 + 3 − 4 + …, pokud existuje, musíme vypočítat aritmetický průměr dílčích součtů řady. Částečné součty jsou:

1, -1, 2, -2, 3, -3, ...,

a jejich aritmetický průměr je:

1, 0, 2⁄ 3 , 0, 3⁄ 5 , 0, 4⁄ 7 , ….

Posloupnost nekonverguje, takže 1 − 2 + 3 − 4 + … není Cesaro součet.

Existují dvě známá zobecnění Cesarovy sumace: koncepčně jednodušší je posloupnost metod (H, n ) pro přirozená čísla n , kde součet (H, 1) je Cesarova sumace, a získáme vyšší metody. opakovaným použitím Cesaro sumační metody. Ve výše uvedeném příkladu sudé průměry konvergují k 1 ⁄ 2 , zatímco liché jedničky jsou nulové, takže aritmetický průměr aritmetického průměru konverguje k průměru mezi nulou a 1 ⁄ 2 , což je 1 ⁄ 4 [1] :9 [ 4] :17 -18 Takže 1 − 2 + 3 − 4 + … je (H, 2) dává součet 1 ⁄ 4 .

"H" je zkratka pro jméno Otty Höldera , který v roce 1882 jako první dokázal, co dnes matematici považují za spojení mezi sumací Abelovou metodou a sumací (H, n ); jako první příklad použil řadu 1 − 2 + 3 − 4 + .... [3] :118 [5] :10 Skutečnost, že 1 ⁄ 4 je součet (H, 2) posloupnosti 1 − 2 + 3 − 4 + … zajišťuje, že jde také o abelovský součet; to bude přímo prokázáno níže.

Dalším často uváděným zobecněním Cesarovy sumace je posloupnost metod (C, n ). Bylo prokázáno, že sčítání (C, n ) a (H, n ) dává stejné výsledky, ale má různé historie. V roce 1887 se Cesaro přiblížil definici sumace (C, n ), ale omezil se na uvedení několika příkladů. Konkrétně získal součet 1 ⁄ 4 pro 1 − 2 + 3 − 4 + … metodou, kterou bylo možné přeformulovat jako (C, n ), ale v té době tak nebyla vnímána. Formálně definoval (C, n) metody v roce 1890, aby formuloval svůj teorém, že součin (C, n )-součtové a (C, m )-součitelné řady jsou (C, m + n + 1)- sčítatelný . [3] : 123-128

Abelovo shrnutí

Ve zprávě z roku 1749 Euler připustil, že se série liší, ale přesto plánoval najít její součet:

…když se řeklo, že součet řady 1−2+3−4+5−6 atd. je 1 ⁄ 4 , muselo to působit paradoxně. Sečtením 100 členů této řady dostaneme -50, ale součet 101 členů dává +51, což je velmi odlišné od 1 ⁄ 4 a liší se ještě více, jak se počet členů zvyšuje. Ale už dříve jsem si všiml, že je potřeba dát slovu součet širší význam .... [6] : 2

Euler několikrát navrhl zobecnění pojmu „součet řady“. V případě pro 1 − 2 + 3 − 4 + … jsou jeho myšlenky podobné tomu, co se nyní nazývá Abelova sčítací metoda:

... již není pochyb, že součet řady 1−2+3−4+5 + atd. je 1 ⁄ 4 ; protože to vyplývá ze zveřejnění vzorce 1⁄ ( 1 +1) 2 , jehož hodnota je nepochybně 1⁄4 . Myšlenka je jasnější, když vezmeme v úvahu zobecněnou řadu 1 − 2 x + 3 x ² − 4 x ³ + 5 x 4 − 6 x 5 + atd. vznikající rozšířením výrazu 1 ⁄ (1+ x ) 2 , kterému bude tato řada ekvivalentní poté, co přiřadíme x = 1. [6] :3, 25

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit, co alespoň pro absolutní hodnoty | x | < 1, Euler má pravdu

1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots ={\frac {1}{(1+x)^{2}}}.

Pravou stranu můžete otevřít podle Taylora , nebo použít formální postup dělení polynomů sloupcem [7] :23 . Počínaje levou stranou lze použít obecnou heuristiku výše a násobit (1+ x ) sama sebou [8] , nebo odmocnit řadu 1 − x + x 2 − …. Euler zjevně také navrhl diferenciaci této řady po členech [6] :3, 26 .

Z moderního pohledu posloupnost 1 − 2 x + 3 x ² − 4 x ³ + … nedefinuje funkci v bodě x = 1, takže tuto hodnotu nelze do výsledného výrazu jednoduše dosadit. Protože funkce je definována pro všechny | x | < 1, lze vypočítat limitu, protože x má tendenci k jedné, a toto bude definice abelovského součtu:

\lim _{{x\rightarrow 1-0}}\součet _{{n=1}}^{\infty }n(-x)^{{n-1}}=\lim _{{x\rightarrow 1-0}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac 14}.

Euler a Borel

Euler zaujal odlišný přístup k sekvencím: Eulerova transformace , jeden z jeho vynálezů. Pro výpočet Eulerovy transformace se začíná posloupností kladných členů - v tomto případě 1, 2, 3, 4, .... První člen této posloupnosti je označen a 0 .

Dále musíte získat posloupnost konečných rozdílů mezi 1, 2, 3, 4, ... ; je to jen 1, 1, 1, 1, .... První prvek této nové sekvence je označen Δ a 0 . Eulerova transformace také závisí na rozdílu rozdílů a vyšších iterací, ale všechny rozdíly mezi 1, 1, 1, 1, ... jsou 0. V takovém případě Eulerova transformace pro 1 − 2 + 3 − 4 + . .. je definován takto:

{\frac 12}a_{0}-{\frac 14}\Delta a_{0}+{\frac 18}\Delta ^{2}a_{0}-\cdots ={\frac 12}-{\frac čtrnáct}.

V moderní terminologii se 1 − 2 + 3 − 4 + … nazývá Eulerův součet, přičemž součet se rovná 1 ⁄ 4 .

Eulerova součetnost také implikuje jiný druh součetnosti. Představuje 1 − 2 + 3 − 4 + … jako

\sum _{{k=0}}^{\infty }a_{k}=\sum _{{k=0}}^{\infty }(-1)^{k}(k+1),

získá se řada konvergující v každém bodě:

a(x)=\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(k+1)x^{k}}{k!)}}= e ^{{-x}}(1-x).

Borelův součet řady 1 − 2 + 3 − 4 + … je tedy [4] :59 :

\int _{0}^{\infty }e^{{-x}}a(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }e^{{-2x}}(1-x )\,dx={\frac 12}-{\frac 14}.

Separace vah

Saichev a Voichynsky došli k hodnotě 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1 ⁄ 4 aplikací dvou fyzikálních principů: odmítnutí infinitesimál a dělení stupnic . Přesněji řečeno, tyto principy jim pomohly formulovat širokou rodinu " φ -sumačních metod", z nichž všechny tvoří 1 ⁄ 4 :

Jestliže φ ( x ) je funkce, jejíž první a druhá derivace jsou spojitě integrovatelné na (0, ∞), takže φ(0) = 1 a limity φ( x ) a x φ( x ), protože mají tendenci k +∞ oba jsou nula, pak [9] :260-264 :

\lim _{{\delta \rightarrow 0}}\součet _{{m=0}}^{\infty }(-1)^{m}(m+1)\varphi (\delta m)={\ frac 14}.

Tento výsledek je zobecněním abelovské sumace, kterou získáme nahrazením φ ( x ) = exp(− x ). Obecné tvrzení lze dokázat seskupením podle dvojic členů řady m a převedením výrazu na Riemannův integrál . Pro poslední krok platí odpovídající důkaz pro 1 − 1 + 1 − 1 + … Lagrangeův teorém o střední hodnotě , ale vyžaduje silnější Lagrangeův tvar Taylorovy věty .

Zobecnění řady

Trojitý Cauchyův součin pro řadu 1 − 1 + 1 − 1 + … dává řadu 1 − 3 + 6 − 10 + …, je střídající se řadou trojúhelníkových čísel , její Abelovské a Eulerovy součty jsou 1 ⁄ 8 . [10] :313 Cauchyho čtyřnásobný součin řady 1 − 1 + 1 − 1 + … dává řadu 1 − 4 + 10 − 20 + …, střídající se řadu čtyřstěnných čísel , jejichž abelovský součet je 1 ⁄ 16 .

Další zobecnění řady 1 − 2 + 3 − 4 + … je možné v trochu jiném směru: je to rodina řady 1 − 2 n + 3 n − 4 n + … pro jiné hodnoty n . Pro kladné n má taková řada následující abelovský součet:

1-2^{{n}}+3^{{n}}-\cdots ={\frac {2^{{n+1}}-1}{n+1}}B_{{n+1} }

kde B n jsou Bernoulliho čísla . Pro sudé n se to sníží na

1-2^{{2k}}+3^{{2k}}-\cdots =0.

Tato částka se stala předmětem posměchu Nielse Abela v roce 1826:

"Rozcházející se řady jsou výhradně dílem ďábla a hanba každému, kdo se o nich pokusí najít nějaké důkazy." Můžete z nich dostat, co chcete, a jsou to oni, kdo vytvořil tolik smutku a paradoxů. Může být něco hroznějšího, než to říct

0 = 1 − 2n + 3n − 4n + atd.

kde n je kladné číslo. Tady je čemu se smát, přátelé. [11] : 80

Cesarův učitel, Eugène Catalan , byl také odmítavý vůči odlišným sériím. Pod vlivem katalánštiny Cesaro zpočátku charakterizoval „podmíněné vzorce“ pro řadu 1 − 2 n + 3 n − 4 n + ... jako „absurdní výrazy“ a v roce 1883 Cesaro vyjádřil obecně přijímaný názor, že tyto vzorce jsou chybné, ale může být nějakým způsobem formálně užitečné. Konečně, v jeho 1890 práci Sur la multiplication des séries , Cesaro dospěl k modernímu přístupu, počínaje definicemi [3] :120-128 .

Série byly také zkoumány na neceločíselné hodnoty n ; dávají funkci Dirichlet eta . Součástí Eulerovy motivace ke studiu řad spojených s řadou 1 − 2 + 3 − 4 + … byla funkcionální rovnice pro funkci eta, která vede přímo k funkcionální rovnici pro Riemannovu zeta funkci. Euler byl již známý tím, že našel hodnoty těchto funkcí pro kladná sudá celá čísla (včetně řešení Basilejského problému ) a pokoušel se najít hodnoty i pro kladná lichá celá čísla (včetně Apéryho konstanty ) – problém, který dosud nebyl vyřešeno dodnes. S touto funkcí je poněkud jednodušší pracovat s Eulerovými metodami, protože její Dirichletovy řady jsou Abelově sčítatelné všude; Dirichletovy řady funkce zeta je mnohem obtížnější shrnout tam, kde se rozcházejí [6] :20-25 . Například 1 − 2 + 3 − 4 + … ve funkci zeta odpovídá řadě s pevným znaménkem 1 + 2 + 3 + 4 + … , která se používá v moderní fyzice , ale vyžaduje mnohem silnější sčítací metody.

Poznámky

↑ 1 2 3 4 Hardy, GH Divergentní řada . - Oxford University Press , 1949 .:
↑ Beals, Richard. Analýza: úvod (neopr.) . - Cambridge University Press , 2004. - ISBN 0-521-60047-2 .
↑ 1 2 3 4 Ferraro, Giovanni. První moderní definice součtu divergentní řady: Aspekt vzestupu matematiky 20. století (anglicky) // Archive for History of Exact Sciences : journal. - 1999. - Červen ( roč. 54 , č. 2 ). - str. 101-135 . - doi : 10.1007/s004070050036 .
↑ 1 2 3 Weidlich, John E. Metody součetnosti pro divergentní řady (neurčité) . — Stanfordské diplomové práce, 1950.
↑ Tucciarone, John. Vývoj teorie sčítacích divergentních řad od roku 1880 do roku 1925 (anglicky) // Archive for History of Exact Sciences : journal. - 1973. - Leden ( roč. 10 , č. 1-2 ). - str. 1-40 . - doi : 10.1007/BF00343405 .
↑ 1 2 3 4 Euler, Leonhard; Lucas Willis; a Thomas J Osler. Překlad s poznámkami Eulerova článku: Poznámky o krásném vztahu mezi přímou i vzájemnou mocninnou řadou . Eulerův archiv (2006). Získáno 22. března 2007. Archivováno z originálu 10. července 2012. (neurčitý) ; Dílo bylo napsáno v roce 1749, ale původně vyšlo až v roce 1968: Euler, Leonhard. Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques (francouzsky) // Memoires de l'academie des sciences de Berlin: magazine. - 1768. - Sv. 17 . - S. 83-106 .
↑ Lavine, Shaughan. Understanding the Infinite (neopr.) . - Harvard University Press , 1994. - ISBN 0-674-92096-1 .
↑ Vretblad, Anders. Fourierova analýza a její aplikace (neopr.) . - Springer, 2003. - ISBN 0-387-00836-5 .
↑ Saichev, A.I. a W. A. Woyczyński. Distribuce ve fyzikálních a technických vědách, svazek 1 . - Birkhaüser, 1996. - ISBN 0-8176-3924-1 .
↑ Kline, Morris Euler and Infinite Series (anglicky) // Mathematics Magazine : magazín. - 1983. - Listopad ( roč. 56 , č. 5 ). - str. 307-314 . - doi : 10.2307/2690371 .
↑ Grattan-Guinness, Ivor Vývoj základů matematické analýzy od Eulera po Riemanna . - MIT Press , 1970. - ISBN 0-262-07034-0 .

Sekvence a řádky
Sekvence	Číselná posloupnost Základní posloupnost Lineární rekurentní sekvence Fibonacciho čísla složená čísla Faktorový Barkerova sekvence sekvence de bruijn
Řádky, základní	Součet řádků Zbytek řady Podmíněná konvergence Střídavé série Vícesekce řádků
Číselné řady ( operace s číselnými řadami )	harmonická řada série Leibniz Řada inverzních čtverců Série recipročních prvočísel Řada Dirichlet série Mercator Řada Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funkční řádky	Taylorova řada série Laurent Fourierova řada Trigonometrické Fourierovy řady trigonometrická řada série Wiener
Jiné typy řádků	Neumannovy řady Řada Puiseux