ikosidodekaedru |
Obrázek vrcholu , reprezentovaný jako 3.5.3.5 nebo (3.5) 2 |
Konfigurace vrcholu [1] [2] [3] je zkratka pro reprezentaci vrcholu mnohostěnu nebo dlaždice jako posloupnost ploch kolem vrcholu. Pro homogenní mnohostěn existuje pouze jeden typ vrcholu, a proto konfigurace vrcholu zcela definuje mnohostěn. ( Chirální mnohostěny existují jako zrcadlové páry se stejnou konfigurací vrcholů.)
Konfigurace vrcholu je specifikována jako sekvence čísel reprezentujících počet stran ploch obklopujících vrchol. Zápis " abc " označuje vrchol se třemi plochami kolem sebe a tyto plochy mají strany (hrany) a , b a c .
Například „3.5.3.5“ označuje vrchol, který patří čtyřem plochám, střídavým trojúhelníkům a pětiúhelníkům . Tato konfigurace vrcholu definuje vertex-tranzitivní icosidodecahedron . Zápis je cyklický, takže na výchozím bodě nezáleží. Takže 3.5.3.5 je totéž jako 5.3.5.3. Pořadí je důležité, takže 3.3.5.5 není totéž jako 3.5.3.5. (V prvním případě za dvěma sousedními trojúhelníky následují dva pětiúhelníky.) Opakující se prvky lze redukovat horním indexem, takže náš příklad lze zapsat jako (3.5) 2 .
Spolu s pojmem vertex configuration , různé zdroje používají také pojmy vertex description (vertex description) [4] [5] [6] , vertex type (vertex type) [7] [8] , vertex symbol (vertex symbol) [9 ] [ 10] , vrcholové uspořádání (vrcholové rozložení) [11] , vrcholový vzor (vrcholový vzor) [7] , face-vector (face vector) [12] . Konfigurace vrcholu také používá výraz Candy a Rollettův symbol , protože konfiguraci vrcholu použili k popisu Archimédových těles ve své knize Mathematical Models z roku 1952 [ 13 ] [ 14] [15] [16] .
Konfiguraci vrcholu lze reprezentovat jako polygonální vertexový obrázek , zobrazující okraje kolem vrcholu. Tento vrcholový obrazec má 3-rozměrnou strukturu, protože plochy nejsou ve stejné rovině, ale pro vrcholově uniformní mnohostěny jsou všechny sousední vrcholy ve stejné rovině, takže k vizuální reprezentaci vrcholové konfigurace můžete použít ortogonální projekci .
{3,3} = 3 3 Defekt 180° |
{3,4} = 3 4 Defekt 120° |
{3,5} = 3 5 Defekt 60° |
{3,6} = 3 6 |
{4,3} Defekt 90° |
{4,4} = 4 4 |
{5,3} = 5 3 Defekt 36° |
{6,3} = 6 3 |
| Vrchol musí mít alespoň 3 plochy a vrchol má rohovou vadu . Úhlová vada 0° umožňuje pokrýt rovinu pravidelnou mozaikou. Podle Descartovy věty je počet vrcholů 720°/ defekt (4 π radiány/ defekt ). | |||
Používá se jiný typ zápisu, někdy oddělený čárkou (,), někdy oddělený tečkou (.). Lze použít i horní index. Například 3.5.3.5 se někdy zapisuje jako (3.5) 2 .
Notace může být myšlenka jako rozšířená forma symbolu Schläfli pro pravidelné polyhedra . Schläfliho zápis {p, q} znamená q p -gonů kolem každého vrcholu. Takže {p, q} lze zapsat jako ppp… ( q krát) nebo p q . Například dvacetistěn má {3,5} = 3.3.3.3.3 nebo 3 5 .
Tento zápis platí jak pro polygonální obklady, tak pro mnohostěny. Plochá vrcholová konfigurace znamená jednotnou dlaždici, stejně jako nerovinná vrcholová konfigurace znamená jednotný mnohostěn.
Označení není jedinečné pro chirální druhy. Například snub kostka má tvary, které jsou při zrcadlení totožné. Oba tvary mají vrcholovou konfiguraci 3.3.3.3.4.
Označení je také použitelné pro nekonvexní pravidelné plochy, hvězdicové polygony . Například pentagram má symbol {5/2}, což znamená, že mnohoúhelník má 5 stran, které dvakrát obcházejí střed.
Například existují 4 pravidelné hvězdné mnohostěny s pravidelnými polygonálními nebo hvězdicovými vrcholy. Malý hvězdicový dvanáctistěn má Schläfliho symbol {5/2,5}, který se rozvine do explicitní vrcholové konfigurace 5/2,5/2,5/2,5/2,5/2, která může být reprezentována jako (5/2) 5 . Velký hvězdicový dvanáctistěn se symbolem {5/2,3} má trojúhelníkový vrchol a konfiguraci (5/2,5/2,5/2) nebo (5/2) 3 . Velký dvanáctistěn se symbolem {5,5/2} má vrcholový obrazec pentagramu s konfigurací vrcholu (5.5.5.5.5)/2 nebo (5 5 )/2. Velký dvacetistěn se symbolem {3,5/2} má také vrcholový obrazec pentagramu s konfigurací vrcholu (3.3.3.3.3)/2 nebo (3 5 )/2.
| {5/2,5} = (5/2) 5 | {5/2,3} = (5/2) 3 | 3 4 ,5/ | 3 4 ,5/ | (3 4 .5/2)/2 |
|---|---|---|---|---|
| {5,5/2} = (5 5 )/2 | {3,5/2} = (3 5 )/2 | V.3 4.5/2 [ | V3 4.5/3 [ | V(3 4 .5/2)/2 |
Polopravidelné polytopy mají vrcholovou konfiguraci s pozitivní rohovou vadou .
Poznámka : Vrcholový obrazec může představovat pravidelné nebo polopravidelné obklady v rovině, pokud je jeho defekt nulový. Vrcholový obrazec může představovat dlaždici na hyperbolické rovině, pokud je jeho defekt záporný.
Pro jednotné mnohostěny lze rohový defekt použít k výpočtu počtu vrcholů. Descartesův teorém říká, že součet všech úhlových defektů na topologické sféře se musí rovnat 4 π radiánům, neboli 720°.
Protože všechny vrcholy jednotného mnohostěnu jsou shodné, tento poměr nám umožňuje vypočítat počet vrcholů, který se rovná podílu 4 π / defekt nebo 720° / defekt .
Příklad: Zkrácená krychle 3.8.8 má rohovou vadu 30°. Mnohostěn má tedy 720/30 = 24 vrcholů.
Konkrétně z toho vyplývá, že { a , b } má 4 / (2 - b (1 - 2/ a )) vrcholy.
Jakákoli numerická konfigurace vrcholu potenciálně jednoznačně definuje semiregulární mnohostěn. Ne všechny konfigurace jsou však možné.
Topologické požadavky omezují existenci mnohostěnu. Konkrétně pqr znamená, že p - gon je střídavě obklopen q -gony a r -gony , takže buď p je sudé, nebo q je rovno r . Podobně q je sudé nebo p se rovná r , r je sudé nebo p se rovná q . Potenciální trojky jsou tedy 3.3.3, 3.4.4, 3.6.6, 3.8.8, 3.10.10, 3.12.12, 4.4. n (pro libovolné n >2), 4.6.6, 4.6.8, 4.6.10, 4.6.12, 4.8.8, 5.5.5, 5.6.6, 6.6.6. Ve skutečnosti existují všechny tyto konfigurace se třemi plochami, které se setkávají v jednom vrcholu.
Podobně, když se čtyři plochy setkají ve stejném vrcholu, pqrs , pokud je jedno číslo liché, zbytek se musí rovnat.
Číslo v závorce je počet vrcholů vypočítaný z rohového defektu.
trojky
čtyřky
Pětky
Šestky
Duální až uniformní mnohostěny jsou katalánská pevná tělesa včetně bipyramidů a lichoběžníků svisle pravidelná ( obličej tranzitivní ), a proto je lze identifikovat podobným zápisem, někdy nazývaným konfigurace tváře [2] . Cundy a Rollett předponují tyto duální zápisy symbolem V. Naproti tomu kniha Obklady a vzory [17] používá pro izoedrické obklady hranaté závorky.
Tento zápis představuje po sobě jdoucí počet ploch poblíž každého vrcholu kolem plochy [18] . Například V3.4.3.4 nebo V(3.4) 2 představuje kosočtvercový dvanáctistěn , který je přechodný po ploše – každá plocha je kosočtverec a střídající se vrcholy kosočtverce obklopují 3 nebo 4 plochy.