Spolupřipojené zastoupení

Coadjoint reprezentace Lieovy grupy je reprezentace konjugovaná k adjointu . Jestliže je Lieova algebra grupy , odpovídající akce na prostoru konjugovaném k se nazývá coadjoint akce . Z geometrického hlediska se jedná o působení levých posunů na prostor pravo-invariantních 1-forem na . $\mathrm {Reklama} ^{*}$ $G$ $\mathfrak{g}$ $G$ $G$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ $\mathfrak{g}$ $G$

Význam coadjointové reprezentace byl zdůrazněn v pracích A. A. Kirillova , který ukázal, že koncept orbity coadjointové reprezentace (K-orbit) hraje klíčovou roli v teorii reprezentace nilpotentních Lieových grup . V Kirillovově metodě orbit jsou reprezentace konstruovány geometricky, počínaje K-oběžnými drahami. Ty v jistém smyslu nahrazují třídy konjugace , které lze složitě uspořádat, přičemž práce s orbitami je poměrně jednoduchá. $G$ $G$ $G$

Definice

Dovolit být Lieova grupa a být jeho Lieova algebra, být adjunktní reprezentace . Potom je reprezentace coadjoint definována jako . Přesněji, $G$ $\mathfrak{g}$ $\mathrm {Reklama} :G\rightarrow \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g)))$ $G$ $\mathrm {Ad} ^{*}:G\rightarrow \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}}^{*})$ $\mathrm {Ad} _{g}^{*}:=\left(\mathrm {Ad} _{g^{-1}}\right)^{*}$

\langle \mathrm {Ad} _{g}^{*}f,\,X\rangle =\langle f,\,\mathrm {Ad} _{g^{-1}}X\rangle , \qquad g\in G,\quad X\in {\mathfrak {g)],\quad f\in {\mathfrak {g))^{*},

kde je hodnota lineárního funkcionálu na vektoru . $\langle f,X\rangle$ $F$ $X$

Dovolit je reprezentace Lie algebry v indukované coadjoint reprezentace Lieovy grupy . Pak platí rovnost pro , kde je adjungovaná reprezentace Lieovy algebry . Tento závěr lze vyvodit z infinitezimálního tvaru výše uvedené konstitutivní rovnice pro : $\mathrm {ad} ^{*}$ $\mathfrak{g}$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ $G$ $X\in {\mathfrak {g))$ $\mathrm {ad} _{X}^{*}=-\left(\mathrm {ad} _{X}\right)^{*}$ $\mathrm {ad}$ $\mathfrak{g}$ $\mathrm {Reklama} ^{*}$

\langle \mathrm {ad} _{X}^{*}f,\,Y\rangle :=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t))\ langle \mathrm {Ad} _{\exp(tX)}^{*}f,\,Y\rangle \right|_{t=0}=\levý.{\frac {\mathrm {d} }{\ mathrm {d} t}}\langle f,\,\mathrm {Ad} _{\exp(-tX)}Y\rangle \right|_{t=0}=\langle f,\,-\mathrm { ad} _{X}Y\rangle ,\qquad X,Y\in {\mathfrak {g)],\quad f\in {\mathfrak {g))^{*},

kde je exponenciální zobrazení od do . $\exp$ $\mathfrak g$ $G$

Generátory

Dovolit být diferencovatelná funkce na . Zvažte změnu funkce pod koadjointovou akcí jednoparametrové podskupiny ve směru vektoru a diferencujte ji na identitu skupiny: $\varphi \in C^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ $\varphi$ $e^{tX}\subset G$ $X\in {\mathfrak {g))$

\left.{\frac {\mathrm {d} \varphi (\mathrm {Ad} _{\exp(-tX)}^{*}f)}{\mathrm {d} t}}\right |_{t=0}=\langle \left.{\frac {\mathrm {d} \mathrm {Ad} _{\exp(-tX)}^{*}f}{\mathrm {d} t} }\right|_{t=0},\,\nabla _{f}\varphi (f)\rangle =-\langle \mathrm {ad} _{X}^{*}f,\,\nabla _ {f}\varphi (f)\rangle =\langle f,\,\mathrm {ad} _{X}\nabla _{f}\varphi (f)\rangle .

(jeden)

Zde je gradient funkce , který je přirozeně ztotožňován s prvkem algebry . Zvolme nějaký základ v algebře a nechť je jeho reciproká báze v , tedy , , , kde je Kroneckerův symbol . Jako základní vektor zvolíme . Pak rovnost ( 1 ) nabývá tvaru $\nabla _{f}\varphi$ $\varphi$ $\mathfrak{g}$ $\{e_{i}\}$ $\mathfrak{g}$ $\{e^{i}\}$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ $\langle e_{i},\,e_{j}\rangle =\delta _{j}^{i}$ $i,j=1,...,\dim {\mathfrak {g))$ $\delta^i_j$ $X$ $e_{i}$

{\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} \varphi (\mathrm {Ad} _{\exp(-te_{i})}^{*}f)}{\mathrm {d} t} }\right|_{t=0}=C_{ij}^{k}f_{k}{\frac {\částečné \varphi (f)}{\částečné f_{j))))

(zde a níže je sumarizace implikována dvakrát opakovanými indexy ), což ukazuje, že jako základ generátorů koadjointové akce lze zvolit sadu vektorových polí

{\hat {X}}_{i}=C_{ij}^{k}f_{k}{\frac {\partial }{\partial f_{j}}},\qquad i=1, ...,\dim {\mathfrak {g}}

kde jsou strukturální konstanty algebry . ${\displaystyle C_{ij}^{k))$ $\mathfrak{g}$

Invarianty

Invarianty koadjointové akce splňují systém diferenciálních rovnic $K$

{\hat {X}}_{i}K\equiv C_{ij}^{k}f_{k}{\frac {\partial K(f)}{\partial f_{j}}}= 0,\qquad i=1,...,\dim {\mathfrak {g}}.

(2)

Antisymetrickou bilineární formu definujeme pomocí rovnosti $B_{f}(X,\,Y)$ $\mathfrak{g}$

B_{f}(X,\,Y):=\langle f,\,[X,\,Y]\rangle ,\qquad X,Y\in {\mathfrak {g))

Počet nezávislých rovnic v systému ( 2 ) je roven . Jeho řešení v okolí bodu v obecné poloze (to jest bod, ve kterém je hodnost formy maximální) se nazývají Casimirovy funkce algebry . Počet funkčně nezávislých netriviálních (ne shodně konstantních) Casimirových funkcí se nazývá index algebry a je roven ${\displaystyle \mathrm {rank} \,B_{f))$ ${\displaystyle B_{f))$ $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$

\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {g}}-\sup \limits _{f\in {\mathfrak {g}}^{*}}\ mathrm {rank} \,B_{f}

Protože hodnost antisymetrické formy je sudá, parity indexu a dimenze algebry se vždy shodují.

Kromě Casimirových funkcí , , definovaných v bodech v obecné poloze prostoru , mohou existovat invarianty definované na speciálních podvarietách koadjointové akce, na kterých je hodnost formy nižší než maximum. Jestliže na speciální invariantní podvarietě je hodnost formy , , pak nekonstantní řešení systému ( 2 ) omezená na podvarietnu se nazývají Casimirovy funkce typu . Množina nezávislých funkcí tvoří základ invariantů koadjointové akce: libovolný invariant lze vyjádřit jako funkci prvků této množiny. Z tvaru systému ( 2 ) vyplývá, že báze invariantů může být vždy složena z homogenních funkcí složek kovektoru . $K_{\mu }$ $\mu =1,...,\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ ${\displaystyle B_{f))$ $M_{s}\subset {\mathfrak {g}}^{*}$ ${\displaystyle B_{f))$ $\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}-2s$ $s=1,...,(\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}})/2$ $K^{(s)}$ $Slečna$ $s$ ${\displaystyle \{K_{\mu },K_{\nu }^{(1)},...,K_{\rho }^{((\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind } \,{\mathfrak {g)))/2)}\))$ $F$

K-orbity

Orbitu koadjointové reprezentace, nebo stručně řečeno, K-orbitu, procházející bodem v duálním prostoru Lie algebry , lze definovat jako orbitu , nebo ekvivalentně jako homogenní prostor , kde je stabilizátor bodu s ohledem na coadjoint akci skupiny . $\mathcal{O}$ $F$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ $\mathfrak{g}$ $\mathrm {Ad} _{G}^{*}f\subset {\mathfrak {g}}^{*}$ $G/\mathrm {Stab} (f)$ $\mathrm {Stab} (f)\subset G$ $F$ $G$

Orbity v obecné poloze mají maximální možný rozměr rovný , a nazývají se nedegenerované nebo pravidelné . Takové dráhy jsou definovány v podmínkách libovolného souboru nezávislých Casimirových funkcí rovnicemi $\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}$

K_{\mu }(f)=\kappa _{\mu },\qquad \mu =1,...,\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g)).

Podobně degenerované neboli singulární orbity dimenze , které tvoří singulární invariantní subvarianty , jsou definovány rovnicemi $\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}-2s$ $Slečna$

K_{\mu }^{(s)}(f)=\kappa _{\mu }^{(s)},\qquad \mu =1,...,r_{s},

kde je počet nezávislých Casimirových funkcí typu . Jsou-li Casimirovy funkce jednohodnotové, odpovídá každá množina konstant spočetnému (zpravidla konečnému) počtu oběžných drah. Kovektory patřící do (ne)degenerované oběžné dráhy se také nazývají ( ne ) degenerované . ${\displaystyle r_{s))$ $s$ ${\displaystyle \kappa _{\mu }^{(s)))$

Kirillovova uniforma

Dráhy reprezentace coadjoint jsou subvariety sudé dimenze a mají přirozenou symplektickou strukturu . Každá orbita má uzavřenou nedegenerovanou -invariantní 2-formu , která je konstruována následovně. Dovolit být antisymetrická bilineární forma definovaná výše na . Pak to může být definováno rovností ${\mathfrak {g}}^{*}$ $\mathcal{O}$ $G$ $\omega _{\mathcal {O}}$ ${\displaystyle B_{f))$ $\mathfrak{g}$ $\omega _{\mathcal {O}}\in \mathrm {Hom} (\Lambda ^{2}({\mathcal {O}}),\mathbb {R} )$

\omega _{\mathcal {O}}(\mathrm {ad} _{X}^{*}f,\,\mathrm {ad} _{Y}^{*}f):=B_{ f}(X,\,Y)

Existence, nedegenerace a -invariance vyplývá z následujících skutečností: $G$ $\omega _{\mathcal {O}}$

Tangentní prostor lze identifikovat pomocí , kde je Lieova algebra grupy . $T_{f}({\mathcal {O}})$ ${\mathfrak {g}}/\mathrm {stab} (f)$ $\mathrm {stab} (f)$ $\mathrm {Stab} (f)$

Jádro displeje je přesně . ${\displaystyle B_{f))$ $\mathrm {stab} (f)$

${\displaystyle B_{f))$ invariantní pod akcí . $\mathrm {Stab} (f)$

Formulář je také uzavřen . Kanonická 2-forma se nazývá Kirillov , Kirillov - Kostant nebo Kirillov-Kostant- Surio forma . $\omega _{\mathcal {O}}$ $\omega _{\mathcal {O}}$

K-orbita se nazývá celé číslo , pokud Kirillovova forma patří do celočíselné cohomology class , to znamená, že její integrál v jakémkoli dvourozměrném cyklu v je roven celému číslu: $\mathcal{O}$ $\sigma$ $\mathcal{O}$

\int \limits _{\sigma }\omega _{\mathcal {O}}=n\in Z

Celočíselné orbity hrají ústřední roli v konstrukci neredukovatelných reprezentací Lieových grup metodou orbit.

Berezin závorka

Forma vybavuje prostor strukturou Poissonova rozdělovače s Lie-Poissonovou konzolou ${\displaystyle B_{f))$ ${\mathfrak {g}}^{*}$

\{\varphi ,\,\psi \}_{LP}=B_{f}(\mathrm {d} \varphi ,\,\mathrm {d} \psi )=C_{ij}^{k }f_{k}{\frac {\částečný \varphi (f)}{\částečný f_{i))}{\frac {\částečný \psi (f)}{\částečný f_{j))},\qquad \varphi ,\psi \in C^{2}({\mathfrak {g))^{*})

což je degenerovaná Poissonova závorka : z formy coadjointových akčních generátorů je zřejmé, že Casimirovy funkce (a pouze ony) vůči ní komutují s jakoukoli funkcí na . Omezení této závorky na oběžné dráhy koadjointové reprezentace, nazývané Berezinova závorka [1] , je nedegenerované a shoduje se s Poissonovou závorkou generovanou Kirillovovou formou: ${\mathfrak {g}}^{*}$ ${\displaystyle \{\cdot ,\,\cdot \}_{\omega _{\mathcal {O))))$

\{\varphi ,\,\psi \}_{\omega _{\mathcal {O}}}=\omega _{\mathcal {O}} (\mathrm {sgrad} \,\varphi ,\ ,\mathrm {sgrad} \,\psi )=\left.\{\varphi ,\,\psi \}_{LP}\right|_{\mathcal {O))

Zde je hamiltonovské vektorové pole s hamiltoniánem . $\mathrm {sgrad} \,\varphi$ $\varphi$

Vlastnosti K-orbit

Coadjoint akce na K-orbitě je Hamiltonian - akce s mapováním hybnosti . $({\mathcal {O}},\omega _{\mathcal {O}})$ ${\mathcal {O}}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}$
Pokud má orbita polarizaci , pak lze vložení realizovat funkcemi lineárními v proměnných , kde jsou kanonické souřadnice pro Kirillovovu formu na oběžné dráze . [2] [3] $\mathcal{O}$ ${\mathcal {O}}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}$ $f_{i}(q,p),\ i=1,...,\dim {\mathfrak {g))$ $1/2\,\dim {\mathcal {O}}$ $p$ $(q,\,p)$ $\mathcal{O}$

Příklady

Skupina $E(2)$

Lieova algebra grupy pohybů euklidovské roviny je definována komutačními vztahy ${\mathfrak {e}}(2)$ $E(2)$

[e_{1},\,e_{2}]=0,\qquad [e_{1},\,e_{3}]=e_{2},\qquad [e_{2},\, e_{3}]=-e_{1}

(komutační prvky a odpovídají posunům roviny ve směru dvou souřadnicových os a prvek odpovídá rotaci kolem nějakého bodu; skupina je tedy trojrozměrná). V souladu s tím má tvarová matice tvar $e_{1}$ $e_{2}$ $e_{3}$ $E(2)$ ${\displaystyle B_{f))$

(B_{f})={\begin{pmatrix}0&0&f_{2}\\0&0&-f_{1}\\-f_{2}&f_{1}&0\end{pmatrix}}

Jeho hodnost je všude rovna 2, kromě čáry , což je speciální invariantní podvarianta koadjointové akce skupiny na , takže nedegenerované K-orbity jsou dvourozměrné. Generátory této akce $f_{1}=f_{2}=0$ $M_{1}$ $E(2)$ ${\mathfrak {e}}(2)^{*}$

{\displaystyle {\hat {X}}_{1}=f_{2}{\frac {\partial }{\partial f_{3}}},\qquad {\hat {X}}_{2}= -f_{1}{\frac {\partial }{\partial f_{3}}},\qquad {\hat {X}}_{3}=-f_{2}{\frac {\partial }{\ částečné f_{1))}+f_{1}{\frac {\částečné }{\částečné f_{2))))

jsou napsány dvě nezávislé rovnice

f_{2}{\frac {\částečné K(f)}{\částečné f_{3))}=-f_{2}{\frac {\částečné K(f)}{\částečné f_{1 ))}+f_{1}{\frac {\částečné K(f)}{\částečné f_{2))}=0,\qquad f_{1}^{2}+f_{2}^{2} \neq 0

definující jedinečnou Casimirovu funkci. Nejednotné odrůdy své úrovně

K(f)=f_{1}^{2}+f_{2}^{2}=\kappa \equiv j^{2},\qquad j\neq 0

z nichž každý se skládá z jedné oběžné dráhy, jsou válce se společnou osou . Varianta singulární úrovně ( ) se shoduje a skládá se z (nulových) singulárních drah , . Kirillovova forma $M_{1}$ $j=0$ $M_{1}$ $f_{1}=f_{2}=0$ ${\displaystyle f_{3}=\kappa ^{(1)))$

\omega _{\mathcal {O}}={\frac {\mathrm {d} f_{3}\wedge \mathrm {d} f_{2}}{f_{1}}}

zredukováno na kanonickou formu ve válcových souřadnicích, omezeno na pevnou oběžnou dráhu : $\omega _{\mathcal {O}}=\mathrm {d} p\wedge \mathrm {d} q$ $j=const$

f_{1}=j\cos q,\qquad f_{2}=j\sin q,\qquad f_{3}=p

Všimněte si, že přechod na kanonické proměnné je v tomto případě lineární v . Možnost -přechodu lineárního v "hybnosti" je zaručena přítomností ve dvourozměrné subalgebře translace překlenuté vektory , , což je díky své komutativitě polarizace pro jakoukoli nedegenerovanou K-orbitu. $p$ $q$ $p$ ${\mathfrak {e}}(2)$ $e_{1}$ $e_{2}$

Skupina $SO(3)$

$SO(3)$ je (trojrozměrná) skupina rotací trojrozměrného euklidovského prostoru. Komutační vztahy v její Lieově algebře ${\mathfrak {so}}(3)$

[e_{1},\,e_{2}]=e_{3},\qquad [e_{1},\,e_{3}]=-e_{2},\qquad [e_{2 },\,e_{3}]=e_{1}

(každý základní vektor odpovídá generátoru rotace v jedné ze tří vzájemně kolmých rovin) určete tvar matice formuláře : ${\displaystyle B_{f))$

(B_{f})={\begin{pmatrix}0&f_{3}&-f_{2}\\-f_{3}&0&f_{1}\\f_{2}&-f_{1}&0 \end{pmatrix}}

Ze tří generátorů reprezentace coadjoint v každém bodě jsou pouze dva lineárně nezávislé, takže nesingulární oběžné dráhy jsou dvourozměrné. Jsou to soustředné koule $f\in {\mathfrak {so}}(3)^{*}\zpětné lomítko \{0\}$

K(f)=f_{1}^{2}+f_{2}^{2}+f_{3}^{2}=\kappa \equiv j^{2},\qquad j\neq 0

se středem v počátku. Zvláštní pododrůda se skládá z jednoho bodu , protože pouze v něm se všechny tři generátory stanou nulovými. $M_{1}$ $\{0\}$

Vzhledem k tomu , že v algebře neexistují žádné dvourozměrné subalgebry, pak pravidelné kovektory nemají polarizace; vnoření pravidelných drah v prostoru proto nemůže být realizováno funkcemi, které jsou lineární v kanonických proměnných pro Kirillovovu formu. ${\mathfrak {so}}(3)$ ${\mathfrak {so}}(3)^{*}$ $p$

\omega _{\mathcal {O}}={\frac {\mathrm {d} f_{1}\wedge \mathrm {d} f_{2}}{f_{3}}}

Nicméně, tam jsou (komplexní) dvourozměrné subalgebry podřízené nedegenerovaným covectors v , komplexifikace algebry . Například pro covector je to subalgebra , takže takové vložení je možné prostřednictvím proměnných, které nabývají komplexních hodnot: ${\mathfrak {so}}(3)^{\mathbb {C}} }$ ${\mathfrak {so}}(3)$ ${\displaystyle j\,e^{3))$ $\{e_{1}+ie_{2},\,e_{3}\}$

f_{1}={\frac {i}{2}}\left(1-q^{2}\right)p+j\,q,\qquad f_{2}=-{\frac { 1}{2}}\left(1+q^{2}\right)p-ij\,q,\qquad f_{3}=-i\,q\,p+j,\qquad q,\ p \in \mathbb {C} ,\quad |p|\leqslant j

Je snadné ověřit, že tato transformace skutečně přináší formu do kanonického tvaru. $\omega _{\mathcal {O}}$

Viz také

Přiložený pohled
Kirillovova orbitální metoda
Borel-Weyl-Bottova věta
Kirillovův znakový vzorec

Literatura

A. A. Kirillov. Základy teorie reprezentace. - M. : Nauka, 1978. - 343 s.
Kirillov, AA, Přednášky o metodě oběžné dráhy , Graduate Studies in Mathematics , sv. 64, American Mathematical Society, ISBN 0821835300 , ISBN 978-0821835302

Poznámky

↑ A. V. Borisov, I. S. Mamajev. Diracovy konzoly v geometrii a mechanice. V knize: Dirac P. A. M. Přednášky z teoretické fyziky. - Iževsk: Výzkumné centrum "Regular and Chaotic Dynamics", 2001. - S. 191 - 230. - 240 s. — ISBN 5-93972-026-9 .
↑ S. P. Baranovský, I. V. Širokov. Deformace vektorových polí a kanonických souřadnic na drahách koadjointové reprezentace // Siberian Mathematical Journal. - 2009. - červenec - srpen ( roč. 50 , č. 4 ). - S. 737-745 . — ISSN 0037-4474 . (Ruština)
↑ Do Ngoc Diep. Kvantové vrstvy coadjoint orbits (anglicky) // arXiv.org. - 2000. - Květen. - str. 1-27 . — ISSN 2331-8422 .

Odkazy

Coadjoint orbit (anglicky) na webu PlanetMath .