Hraniční problém

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 8. ledna 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Okrajový problém (okrajový problém) je problém najít řešení dané diferenciální rovnice (systém diferenciálních rovnic), které splňuje okrajové (okrajové) podmínky na koncích intervalu nebo na hranici oblasti. Okrajové úlohy pro hyperbolické a parabolické rovnice se často nazývají počáteční okrajové nebo smíšené , protože specifikují nejen okrajové, ale také počáteční podmínky .

Obyčejné diferenciální rovnice

Lineární rovnice n-tého řádu

Okrajová úloha pro lineární rovnici n-tého řádu má tvar

L(y) = f(x), \quad U_{\mu}(y) = \gamma_{\mu}, \quad \mu = 1, 2, \dots, m,

kde

L(y) = \sum_{\nu = 0}^{n} f_{\nu}(x) y^{(\nu)},

funkce a jsou spojité na intervalu , , okrajové podmínky jsou dány lineárními tvary $f(x)$ $f_{\nu} (x)$ $a\leq x\leq b$ $f_n(x) \ne 0$

U_{\mu}(y) = \sum_{k = 0}^{n - 1} \left[ \alpha_{\mu}^{(k)} y^{(k)}(a) + \beta_ {\mu}^{(k)} y^{(k)}(b) \vpravo], \quad \mu = 1, 2, \tečky, m,

$\gamma_{\mu}$ jsou uvedena čísla. Matice složená z koeficientů má hodnost , přičemž okrajové podmínky jsou lineárně nezávislé . Jestliže a , okrajový problém se nazývá homogenní , jestliže pouze - polohomogenní . [jeden] $\alpha_{\mu}, \beta_{\mu}$ $m$ $\gamma_{\mu} = 0$ $f(x) \ekviv 0$ $\gamma_{\mu} = 0$

Problém vlastních čísel

Vlastní hodnoty jsou ty hodnoty parametru,pro které je problém homogenní okrajové hodnoty $\lambda$

L(y) + \lambda g(x) y = 0, \quad U_{\mu}(y) = 0, \quad \mu = 1, 2, \dots, m,

má netriviální (tj. ne shodně nulové) řešení. Sada vlastních hodnot se nazývá spektrum a odpovídající netriviální řešení se nazývají vlastní funkce tohoto problému.

If je fundamentální systém řešení uvažované diferenciální rovnice takový, že $\varphi_1(x, \lambda), \varphi_2(x, \lambda), \tečky, \varphi_n(x, \lambda)$

\varphi_p^{(q)}(a, \lambda) = \left\{ \begin{pole}{l} 1, \quad q = p - 1, \\ 0, \quad q \ne p - 1. \end{array}\right. \quad p = 1, 2, \tečky, n, \quad q = 0, \tečky, n - 1,

pak vlastní čísla jsou nuly charakteristické determinanty ( determinant )

\Delta(\lambda) = \det [U_{\mu}(\varphi_{\nu})]

. Jestliže , pak je množina vlastních hodnot nanejvýš spočetná jako množina nul celé funkce . [2]

\Delta(\lambda) \ne \equiv 0

Pro okrajový problém vlastních čísel jsou vyřešeny následující dva standardní problémy:

Problém hledání vlastních čísel . Za jakých předpokladů má okrajový problém vlastní čísla? V jakém případě je jejich počet nekonečný? Kdy jsou platné? Co lze říci o jejich velikosti?
Problém expanze ve vlastních funkcích . Jsou-li vlastní funkce okrajové úlohy, za jakých podmínek lze danou funkci rozšířit na konvergentní řadu $u_{\nu} (x)$ $F(x)$

F(x) = \sum c_{\nu} u_{\nu}(x)

podle funkce ? [3] [4] $u_{\nu} (x)$

Speciálním případem problému okrajových hodnot pro vlastní čísla je Sturmův-Liouvilleův problém :

\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right]-q(x)y + \lambda \rho(x) y = 0

{\begin{array}{l}\alpha _{1}y'(a)+\beta _{1}y(a)=0,\qquad \alpha _{1}^{2}+\beta _ {1}^{2}\neq 0;\\\alpha _{2}y'(b)+\beta _{2}y(b)=0,\qquad \alpha _{2}^{2} +\beta _{2}^{2}\neq 0;\\\end{array}}

Greenova funkce

Věta 1. Pokud má homogenní okrajová úloha pouze triviální (nulové) řešení, pak pro libovolnou funkci spojitou na segmentu existuje řešení semihomogenní okrajové úlohy dané vzorcem $L(y) = 0, \, U_{\mu}(y) = 0, \, \mu = 1, 2, \tečky, n$ $f(x)$ $[a,b]$ $L(y) = f, \, U_{\mu}(y) = 0, \, \mu = 1, 2, \tečky, n$

y(x) = \int_a^b G(x, \xi) f(\xi) d \xi,

kde je Greenova funkce homogenního okrajového problému. [5] $G(x, \xi)$

Z hlediska teorie operátorů okrajová úloha definuje lineární diferenciální operátor s definičním oborem sestávajícím z časů spojitě diferencovatelných na intervalu funkcí splňujících okrajové podmínky a působících podle pravidla . Za podmínek věty 1 má tento operátor inverzi, což je integrální operátor s jádrem . $n$ $[a,b]$ $y$ $U_{\mu}(y) = 0$ $L(y)$ $G(x, \xi)$

Greenova funkce homogenního okrajového problému je definována jako funkce, která splňuje následující podmínky: $G(x, \xi)$

$G(x, \xi)$ je spojitý a má spojité derivace s ohledem na -tý řád včetně všech hodnot a z intervalu . $X$ $(n-2)$ $X$ $\xi$ $[a,b]$
Pro jakýkoli pevný segment má funkce spojité derivace -tého a -tého řádu s ohledem na v každém z intervalů a a derivace -tého řádu má skok pro . $\xi$ $[a,b]$ $G(x, \xi)$ $(n-1)$ $n$ $X$ $[a,\xi)$ $(\xi,b]$ $(n-1)$ $x = \xi$ $\frac{1}{f_n(x)}$
V každém z intervalů a , uvažováno jako funkce , splňuje rovnici a okrajové podmínky . $[a,\xi)$ $(\xi,b]$ $G(x, \xi)$ $X$ $L(G) = 0$ $U_{\mu}(G) = 0, \, \mu = 1, 2, \tečky, n$

Věta 2. Pokud má homogenní okrajová úloha pouze triviální (nulové) řešení, pak má jedinečnou Greenovu funkci. [6]

Pomocí Greenovy funkce lze také vyřešit nehomogenní okrajový problém

L(y) = f(x), \quad U_{\mu}(y) = \gamma_{\mu}, \quad \mu = 1, 2, \tečky, n.

Řešení vypadá takto

y = \int_a^b G(x, \xi) f(\xi) d\xi + \sum_{k = 1}^n \gamma_k \psi_k(x),

kde jsou řešení okrajových úloh $\psi_k(x)$

L(y) = 0, \quad U_k(y) = 1, \quad U_{\mu}(y) = 0, \quad \mu \ne k, \quad \mu = 1, 2, \tečky, n .

[7]

Problém okrajové hodnoty s parametrem

L(y) = \lambda y + f(x), \quad U_{\mu}(y) = 0, \quad \mu = 1, 2, \dots, n,

je ekvivalentní Fredholmově integrální rovnici druhého druhu:

y(x) = \lambda \int_a^b G(x, \xi) y(\xi) d\xi + g(x),

kde

g(x) = \int_a^b G(x, \xi) f(\xi) d \xi.

Vlastní čísla a vlastní funkce odpovídajícího homogenního okrajového problému se shodují s charakteristickými čísly a vlastními funkcemi jádra . [osm] $G(x, \xi)$

Systémy lineárních diferenciálních rovnic

Okrajovým problémem je najít systém funkcí , který vyhovuje systému lineárních diferenciálních rovnic $u_1(x), u_2(x), \tečky, u_n(x)$

u'_{\mu} = \sum_{\nu = 1}^m f_{\mu, \nu}(x) u_{\nu} + f_{\mu}(x), \quad \mu = 1 , 2, \tečky, m,

a okrajové podmínky

U_{\mu}(u) = \gamma_{\mu}, \quad \mu = 1, 2, \tečky, n,

kde jsou funkce spojité na segmentu , $f_{\mu}, f_{\mu, \nu}$ $a \le x \le b$

U_{\mu}(u) = \sum_{k = 1}^n \left[ \alpha_{\mu, k} u_k(a) + \beta_{\mu, k} u_k(b)\vpravo],

matice

(\alpha ,\beta )=\left({\begin{array}{llllll}\alpha _{1,1}&\tečky &\alpha _{1,n}&\beta _{1, 1}&\tečky &\beta _{1,n}\\\tečky &\tečky &\tečky &\tečky &\tečky &\tečky \\\alfa _{n,1}&\tečky &\alpha _ {n,n}&\beta _{n,1}&\tečky &\beta _{n,n}\\\end{array}}\right)

má hodnost , jsou uvedena čísla. [9] $n$ $\gamma_{\mu}$

Numerické metody řešení

Většina numerických metod pro řešení okrajových úloh byla vyvinuta pro rovnice druhého řádu.

Způsob střelby (nulování) . Je vyřešen Cauchyho problém , ve kterém se jedna z počátečních podmínek shoduje s okrajovou podmínkou a druhá závisí na parametru. Hodnota parametru je zvolena tak, aby řešení splňovalo druhou okrajovou podmínku. Pro výběr parametru můžete použít například metodu půlení nebo Newtonovu metodu . [deset]
Metoda paralelního výpalu . Jde o zobecnění metody střelby.
Metoda konečných rozdílů . Je sestrojena konečná diferenční aproximace rovnice a okrajových podmínek a řešena soustava lineárních algebraických rovnic . [11] [12]
Variační metody ( Ritzova metoda , Galerkinova metoda ). [13] [14] [15]
Metoda integrálních rovnic . Okrajová úloha je nahrazena Greenovou funkcí integrální rovnicí , která je řešena pomocí kvadraturních vzorců . [16]
metoda superpozice . Řešení okrajového problému se nalézá jako lineární kombinace řešení několika Cauchyho problémů . [17]
Metoda rozmítání (nezaměňovat s metodou rozmítání pro řešení tridiagonálních systémů lineárních algebraických rovnic ). Řešení okrajové úlohy

y'' = p(x) y + q(x), \quad y'(a) = \alpha_0 y(a) + \alpha_1, \quad y'(b) = \beta_0 y(b) + \beta_1

vyhovuje diferenciální rovnici

y'(x) = \alpha_0(x) y(x) + \alpha_1(x) \quad (*)

kde jsou funkce nalezeny jako řešení Cauchyho problému $\alpha_0(x), \alpha_1(x)$

\alpha'_0(x) + \alpha_0^2(x) = p(x), \quad \alpha_0(a) = \alpha_0,

\alpha'_1(x) + \alpha_0(x) \alpha_1(x) = q(x), \quad \alpha_1(a) = \alpha_1.

Pak je nalezena jako řešení rovnice (*) splňující počáteční podmínku . [18] [19] $y(x)$ $y'(b) = \alpha_0(b) y(b) + \alpha_1(b)$

Aplikace

Problémy podélných a torzních kmitů pružné tyče vedou k okrajovým úlohám pro rovnici druhého řádu, zatímco problém příčných vibrací tyče vede k rovnici čtvrtého řádu. [1] Řešení parciálních diferenciálních rovnic pomocí Fourierovy metody vede k problému hledání vlastních čísel a vlastních funkcí okrajového problému a také k rozšíření libovolné funkce do řady z hlediska vlastních funkcí. [dvacet]

Parciální diferenciální rovnice

Notace

Dovolit být ohraničená doména v s po částech-hladká hranice , být normální vektor k hranici zaměřené mimo doménu , být derivace podél normální, . Funkce splňují podmínky: $G$ $\mathbb {R} ^{n}$ $S$ $n$ $S$ $G$ $\frac{\částečné u}{\částečné n}$ $Q_{\infty} = G \times (0, \infty)$ $p, q, \alpha, \beta, \rho$

p \in C^1(\bar G), \quad q \in C(\bar G), \quad p(x) > 0, \quad q(x) \ge 0, \quad x \in G,

\alpha \in C(S), \quad \beta \in C(S), \quad \alpha(x) \ge 0, \quad \beta(x) \ge 0, \quad \alpha(x) + \beta(x) > 0, \quad x \in S,

\rho \in C(\bar G), \quad \rho(x) > 0, \quad x \in \bar G.

Zde je uzavření domény , je množina funkcí , které jsou spojité v , a je množina funkcí , které jsou spojitě diferencovatelné v . $\bar G = G \cup S$ $G$ $C(\bar G)$ $\bar G$ $C^k(\bar G)$ $k$ $\bar G$

Rovnice hyperbolického typu

Smíšený (hraniční) problém pro rovnici hyperbolického typu je problém najít funkci , která splňuje rovnici $u(x, t) \in C^2(Q_{\infty}) \cap C^1(\bar Q_{\infty})$

\rho \frac{\partial^2 u}{\částečné t^2} = \mbox{div} \, (p \, \mbox{grad} \, u) - qu + F(x, t), \ quad (x, t) \in Q_{\infty},

počáteční podmínky

u_{|t = 0} = u_0(x), \quad \frac{\částečné u}{\částečné t}_{|t = 0} = u_1(x), \quad x \in \bar G,

a okrajová podmínka

\alpha u + \beta \frac{\částečné u}{\částečné n} |_{S} = 0.

Aby řešení existovalo, je nutné, aby byly splněny podmínky hladkosti

F \in C(Q_\infty), \quad u_0 \in C^1(\bar G), \quad u_1 \in C(\bar G)

a stav konzistence

\alpha u_0 + \beta \frac{\částečné u_0}{\částečné n} = 0

Řešení smíšeného problému je jedinečné a neustále závisí na . [21] $u_0, u_1, F$

Rovnice parabolického typu

Smíšený (hraniční) problém pro rovnici parabolického typu je najít funkci , která rovnici vyhovuje $u(x, t) \in C^2(Q_{\infty}) \cap C^1(\bar Q_{\infty}), \, \mbox{grad}_x\, u \in C(\bar Q_{\infty})$

\rho \frac{\partial u}{\partial t} = \mbox{div} \, (p \, \mbox{grad} \, u) - qu + F(x, t), \quad (x, t) \in Q_{\infty},

výchozí stav

u_{t = 0} = u_0(x), \quad x \in \bar G,

a okrajová podmínka

\alpha u_0 + \beta \frac{\částečné u}{\částečné n} = v(x, t), \quad (x, t) \in S \times [0, \infty).

Aby řešení existovalo, jsou nutné následující podmínky hladkosti

F \in C(Q_{\infty}, \quad u_0 \in C(\bar G), \quad v \in C(S \times [0, \infty)),

a stav konzistence

\alpha u_0 + \beta \frac{\částečné u_0}{\částečné n}|_S = v(x, 0).

Řešení smíšeného problému je jedinečné a neustále závisí na . [22] $F, u_0, v$

Rovnice eliptického typu

Studujeme následující okrajové úlohy pro trojrozměrnou Laplaceovu rovnici

\Delta u=0

Nechť je oblast taková, že . $G \in \mathbb{R}^3$ $G_1 = \mathbb{R}^3 \zpětné lomítko G$

Dirichletův vnitřní problém : najděte funkci , která je v definičním oboru harmonická a nabývá dané ( souvislé ) hodnoty na hranici . $G$ $u \in C(\bar G)$ $S$ $u_0^-$
Externí Dirichletův problém : najděte harmonickou funkci v doméně , která nabývá daných (souvislých) hodnot a mizí v nekonečnu. $G_{1}$ $u \in C(\bar G_1)$ $S$ $u_0^+$
Neumannův vnitřní problém : najít funkci , která je harmonická v definičním oboru a má pravidelnou normální derivaci na dané (spojité) . $G$ $u \in C(\bar G)$ $S$ $u_1^-$
Vnější Neumannův problém : najděte harmonickou funkci v oboru , která má danou (spojitou) pravidelnou normální derivaci a mizí v nekonečnu. $G_{1}$ $u \in C(\bar G_1)$ $S$ $u_1^+$

Podobné okrajové problémy jsou kladeny pro Poissonovu rovnici :

\Delta u = - f

Řešení vnitřních a vnějších Dirichletových problémů jednoznačně a nepřetržitě závisí na hraničních datech. Řešení vnitřní Neumannovy úlohy je určeno až do libovolné aditivní konstanty. Řešení vnějšího Neumannova problému je unikátní. [23]

Metody řešení

Metoda separace proměnných [24] [25]
Metoda šíření vln (pro rovnice hyperbolického typu ) [26]
Metoda Greenovy funkce (pro rovnice eliptického typu ) [27]
Diferenční metody . [28]
Variační metody . [29]
Metoda konečných prvků .

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, 1971 , str. 187.
↑ Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, 1971 , s. 193.
↑ Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, 1971 , část druhá, kapitola I, §2.
↑ Naimark M. A. Lineární diferenciální operátory, 1969 , Část první, kapitoly I, II.
↑ Naimark M. A. Lineární diferenciální operátory, 1969 , s. 40.
↑ Naimark M. A. Lineární diferenciální operátory, 1969 , s. 38-39.
↑ Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, 1971 , s. 190.
↑ Naimark M. A. Lineární diferenciální operátory, 1969 , s. 44.
↑ Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, 1971 , s. 249.
↑ Kalitkin N. N. Numerické metody, 1978 , s. 262.
↑ Kalitkin N. N. Numerické metody, 1978 , s. 268.
↑ Berezin I.S., Zhidkov N.P. Computational methods, 1959 , s. 372.
↑ Kalitkin N. N. Numerické metody, 1978 , s. 276.
↑ Berezin I.S., Zhidkov N.P. Computational methods, 1959 , s. 391.
↑ Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, 1971 , s. 222.
↑ Na Ts. Výpočtové metody pro řešení aplikovaných okrajových úloh, 1982 , kapitola 12.
↑ Na Ts. Výpočtové metody pro řešení aplikovaných okrajových úloh, 1982 , kapitola 2.
↑ Berezin I. S., Zhidkov N. P. Computational methods, 1959 , kapitola 9, §9.
↑ Na Ts. Výpočtové metody pro řešení aplikovaných okrajových úloh, 1982 , kapitola 3.
↑ Naimark M. A. Lineární diferenciální operátory, 1969 , s. 88.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V. V. Rovnice matematické fyziky, 2004 , §6.2.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V. V. Rovnice matematické fyziky, 2004 , §6.3.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V. V. Rovnice matematické fyziky, 2004 , §5.6.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Rovnice matematické fyziky, 2004 .
↑ Tichonov A. N., Samarsky A. A. Rovnice matematické fyziky, 1999 .
↑ Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Rovnice matematické fyziky, 1999 , s. 70.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Rovnice matematické fyziky, 2004 , §5.7.
↑ Samarsky A. A. Numerické metody, 1989 , část III.
↑ Berezin I.S., Zhidkov N.P. Computational methods, 1959 , kapitola 10, §9.

Literatura

Obyčejné diferenciální rovnice

Kamke E. Příručka obyčejných diferenciálních rovnic. Za. s tím .. - 4. vyd., opraveno .. - M . : Nauka, Ch. vyd. fyzika a matematika lit., 1971. - 576 s.
Naimark M. A. Lineární diferenciální operátory. - M .: Nauka, Ch. vyd. Fyzikální matematika lit., 1969.

Parciální diferenciální rovnice

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Rovnice matematické fyziky. - Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0310-X .
Tichonov A. N. , Samarsky A. A. Rovnice matematické fyziky: Učebnice .. - 6. vyd., Rev. a další .. - M . : Nakladatelství Moskevské státní univerzity, 1999. - 798 s. — ISBN 5-211-04138-0 .

Numerické metody

Na Ts Výpočtové metody pro řešení aplikovaných okrajových úloh. Za. z angličtiny. - M. : Mir, 1982. - 286 s.
Berezin I. S. , Zhidkov N. P. Výpočtové metody. Svazek II. - M .: Stát. Nakladatelství fyziky a matematiky, 1959.
Kalitkin N. N. Numerické metody. — M .: Nauka, 1978.
Gulin A. V. , Samarsky A. A. Numerické metody: učebnice pro vysoké školy. - M . : Věda, kap. vyd. Fyzikální matematika lit., 1989. - 432 s. — ISBN 5-02-013996-3 .