Lognormální rozdělení

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 23. května 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

lognormální
μ=0Hustota pravděpodobnosti
μ=0distribuční funkce
Označení	$\ln N(\mu ,\sigma ^{2})$ , $LN(\mu ,\sigma ^{2})$
Možnosti	$\sigma >0$ $-\infty <\mu <\infty$
Dopravce	$x\in (0;+\infty )$
Hustota pravděpodobnosti	$\exp \left(-\left.\left[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma }}\right]^{2}\right/2\right)\left/\left( x\sigma {\sqrt {2\pi }}\right)\right.$
distribuční funkce	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {erf} \left[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma {\ sqrt {2}}}}\right]$
Očekávaná hodnota	$e^{{\mu +\sigma ^{2}/2}}$
Medián	$e^{{\mu ))$
Móda	$e^{{\mu -\sigma ^{2}}}$
Disperze	$(e^{{\sigma ^{2}}}\!\!-1)e^{{2\mu +\sigma ^{2}}}$
Koeficient asymetrie	$(e^{{\sigma ^{2))}\!\!+2){\sqrt {e^{{\sigma ^{2))}\!\!-1))$
Kurtózní koeficient	$e^{{4\sigma ^{2}}}\!\!+2e^{{3\sigma ^{2}}}\!\!+3e^{{2\sigma ^{2}}}\ !\!-6$
Diferenciální entropie	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi \sigma ^{2})+\mu$
Generující funkce momentů	$\operatorname {E}[X^{s}]=e^{{s\mu +{\tfrac {1}{2}}s^{2}\sigma ^{2}}}.$
charakteristická funkce	$\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(it)^{n}}{n!)}}e^{{n\mu +n^{2}\sigma ^ {2}/2}}$

Lognormální rozdělení v teorii pravděpodobnosti je dvouparametrová rodina absolutně spojitých rozdělení . Pokud má náhodná proměnná lognormální rozdělení, pak její logaritmus má normální rozdělení .

Definice

Nechť je rozdělení náhodné veličiny dáno hustotou pravděpodobnosti ve tvaru: $X$

F X ( X ) = jeden X σ 2 π E − ( ln ⁡ X − μ ) 2 / 2 σ 2 , {\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi ))))e^{-(\ln x-\mu )^{2}/2 \sigma ^{2}},}

f_{X}(x)={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{{-(\ln x-\mu )^{2}/ 2\sigma ^{2}}},

kde . Pak říkáme, že má logaritmicky normální rozdělení s parametry a . Napište: . $x>0,\;\sigma >0,\;\mu \in {\mathbb {R))$ $X$ $\mu$ $\sigma$ $X\sim {\mathrm {LogN}} (\mu ,\sigma ^{2})\$

Momenty

Vzorec pro tý moment lognormální náhodné proměnné je: $k$ $X$

{\mathbb {E}}\left[X^{k}\right]=e^{{k\mu +{\frac {k^{2}\sigma ^{2}}{2}}}}, \;k\in {\mathbb {N}),

odkud konkrétně:

{\mathbb {E}}[X]=e^{{\mu +{\sigma ^{2} \over 2}}}

{\mathrm {D}}[X]=\left(e^{{\sigma ^{2}}}-1\right)e^{{2\mu +\sigma ^{2}}}

Jakékoli mimostředové momenty n-rozměrného kloubového lognormálního rozdělení lze vypočítat pomocí jednoduchého vzorce:

\alpha _{{n}}=e^{{(\mu ,n)+{\frac {1}{2}}(n,\Sigma n)))

, kde a jsou parametry vícerozměrného společného rozdělení. je vektor, jehož složky definují pořadí okamžiku. (Například ve dvourozměrném případě - druhý necentrální moment první složky, - smíšený druhý moment). Závorky označují skalární součin.

\mu

\Sigma

n

n=(2,0)

n=(1,1)

Vlastnosti lognormálního rozdělení

Pokud jsou nezávislé lognormální náhodné proměnné takové, že , pak je jejich součin také lognormální: $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $X_{i}\sim {\mathrm {LogN}} (\mu ,\sigma _{i}^{2})$ $Y=\prod \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}\sim {\mathrm {LogN}}\left(n\mu ,\sum \limits _{{i=1}} ^{n}\sigma _{i}^{2}\right)$ .

Vztah s jinými distribucemi

Pokud , tak . $X\sim {\mathrm {LogN}} (\mu ,\sigma ^{2})\$ $Y=\ln(X)\sim {\mathrm {N}} (\mu ,\sigma ^{2})\$

Naopak pokud , tak . $Y\sim {\mathrm {N}} (\mu ,\sigma ^{2})\$ $X=\exp(Y)\sim {\mathrm {LogN}} (\mu ,\sigma ^{2})\$

Simulace lognormálních náhodných veličin

Běžně se pro modelování používá spojení s normálním rozdělením. Stačí tedy vygenerovat normálně rozloženou náhodnou veličinu např. pomocí Box-Mullerovy transformace a vypočítat její exponent.

Zobecnění variací

Lognormální rozdělení je speciálním případem tzv. kapitánova rozdělení. .

Aplikace

Lognormální rozložení uspokojivě popisuje rozložení frekvencí částic nad jejich velikostmi při náhodné fragmentaci, například kroupy v kroupách atd. Existují však výjimky, například velikost asteroidů ve sluneční soustavě má logaritmické rozložení .

Literatura

Crow, Edwin L. & Shimizu, Kunio (Editoři) (1988), Lognormal Distributions, Theory and Applications , sv. 88, Statistika: Učebnice a monografie, New York: Marcel Dekker, Inc. xvi+387, ISBN 0-8247-7803-0
Aitchison, J. a Brown, J.A.C. (1957) The Lognormal Distribution , Cambridge University Press .
Limpert, E; Stahel, W; Abbt, M. Lognormální distribuce napříč vědami: klíče a vodítka // BioScience : deník. - 2001. - Sv. 51 , č. 5 . - str. 341-352 . - doi : 10.1641/0006-3568(2001)051[0341:LNDATS]2.0.CO;2 .
Eric W. Weisstein a kol. Log Normal Distribution at MathWorld . Elektronický dokument, staženo 26. října 2006.
Holgate, P. Lognormální charakteristická funkce (neopr.) // Komunikace ve statistice - teorie a metody. - 1989. - T. 18 , č. 12 . - S. 4539-4548 . - doi : 10.1080/03610928908830173 .
Brooks, Robert; Corson, John; Donal, WalesOceňování indexových opcí, když všechna podkladová aktiva sledují lognormální difúzi // Advances in Futures and Options Research: journal. - 1994. - Sv. 7 .

Slovníky a encyklopedie	velká čínština Velký Rus
V bibliografických katalozích	GND : 4221613-8 J9U : 987007536256605171 LCCN : sh85078134

Rozdělení pravděpodobnosti
Oddělený	Bernoulli Binomický Geometrický hypergeometrické Logaritmické Negativní binom jed Diskrétní uniforma Multinomický
Absolutně kontinuální	Beta Weibulla gama- hyperexponenciální Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormální normální (gaussovský) Logistické Nakagami Pareto Pearson polokruhový kontinuální uniforma Rýže Rayleigh Student Tracey - Vidoma Rybář Chí-kvadrát Exponenciální Rozptyl-gama Vícerozměrný normální spona