Gaussova metoda (určení orbity)

Gaussova metoda v nebeské mechanice a astrodynamice slouží k prvotnímu určení parametrů oběžné dráhy nebeského tělesa ze tří pozorování.

V praxi se pro zvýšení přesnosti používá více pozorování, ale teoreticky stačí tři. Nezbytnou informací jsou kromě nebeských souřadnic objektu i časy pozorování a pozemské souřadnice pozorovacích bodů.

Historie

V roce 1801 byla objevena Ceres , ale nějakou dobu byla její pozorování obtížná kvůli její blízkosti ke Slunci, poté bylo obtížné ji znovu najít na obloze. Carl Friedrich Gauss si dal za úkol z dostupných pozorování určit jeho oběžnou dráhu, díky čemuž získal celosvětovou slávu [1] . Níže popsaná metoda je však vhodná pouze pro určování drah s ohniskem v tělese, ze kterého se pozorování provádějí, takže Gaussův problém byl obtížnější.

Polohový vektor pozorovatele

Vektor polohy pozorovatele (v rovníkovém souřadnicovém systému ) lze vypočítat se znalostí zeměpisné šířky místa pozorování a místního hvězdného času :

\mathbf {R_{n}} =\left[{R_{e} \over {\sqrt {1-(2f-f^{2})\sin ^{2}\phi _{n}} ))+H_{n}\right]\cos \phi _{n}(\cos \theta _{n}\ \mathbf {\hat {I)) +\sin \theta _{n}\ \mathbf { \hat {J}} )+\left[{R_{e}(1-f)^{2} \over {\sqrt {1-(2f-f^{2})\sin ^{2}\phi _{n))))+H_{n}\right]\sin \phi _{n}\ \mathbf {\hat {K))

nebo:

\mathbf {R_{n)) =R_{e}\cos \phi '_{n}\cos \theta _{n}\ \mathbf {\hat {I)) +R_{e}\cos \phi '_{n}\sin \theta _{n}\ \mathbf {\hat {J)) +R_{e}\sin \phi '_{n}\ \mathbf {\hat {K)) ,

kde:

$\mathbf {R_{n}}$ je polohový vektor pozorovatele;
$Re}$ je rovníkový poloměr tělesa, na kterém se nachází pozorovatel;
$F$ - zploštělost těla na pólech (například pro Zemi - 0,003353);
$\phi _{n}$ — geodetická zeměpisná šířka;
${\displaystyle \phi '_{n))$ — geocentrická zeměpisná šířka;
$H_n$ - výška;
$\Opalování$ - místní hvězdný čas.

Směr vektoru k objektu

Směrový vektor k objektu lze vypočítat pomocí deklinace a rektascenzi :

\mathbf {{\hat {\rho }}_{n}}=\cos \delta _{n}\cos \alpha _{n}\ \mathbf {\hat {I}} +\cos \ delta _{n}\sin \alpha _{n}\ \mathbf {\hat {J)) +\sin \delta _{n}\ \mathbf {\hat {K))

kde:

$\mathbf {{\hat {\rho ))_{n))$ je jednotkový směrový vektor k objektu;
$\delta _{n}$ - deklinace;
$\alpha_{n}$ - rektascenzi.

Definice oběžné dráhy

Dále musíte získat vektor vzdálenosti k objektu a ne pouze jednotkový směrový vektor k němu.

Krok 1

Intervaly mezi pozorováními se počítají:

{\displaystyle \tau _{1}=t_{1}-t_{2))

{\displaystyle \tau _{3}=t_{3}-t_{2))

\tau =t_{3}-t_{1},

kde jsou pozorovací časy. $t_{n}$

Krok 2

Vektorové produkty se počítají :

\mathbf {p_{1}} =\mathbf ({\hat {\rho }}_{2}} \times \mathbf {{\hat {\rho }}_{3}}

\mathbf {p_{2}} =\mathbf ({\hat {\rho }}_{1}} \times \mathbf {{\hat {\rho }}_{3}}

\mathbf {p_{3}} =\mathbf ({\hat {\rho }}_{1}} \times \mathbf {{\hat {\rho }}_{2}}

Krok 3

Smíšené produkty se počítají :

D_{0}=\mathbf {{\hat {\rho }}_{1}} \cdot \mathbf {p_{1}}=\mathbf {{\hat {\rho }}_{1} } \cdot (\mathbf {{\hat {\rho }}_{2}} \times \mathbf {{\hat {\rho }}_{3}} )

D_{11}=\mathbf {R_{1}} \cdot \mathbf {p_{1}} \qquad D_{12}=\mathbf {R_{1}} \cdot \mathbf {p_{2} } \qquad D_{13}=\mathbf {R_{1}} \cdot \mathbf {p_{3}}

D_{21}=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {p_{1}} \qquad D_{22}=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {p_{2} } \qquad D_{23}=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {p_{3}}

D_{31}=\mathbf {R_{3}} \cdot \mathbf {p_{1}} \qquad D_{32}=\mathbf {R_{3}} \cdot \mathbf {p_{2} } \qquad D_{33}=\mathbf {R_{3}} \cdot \mathbf {p_{3}}

Krok 4

Polohové koeficienty se vypočítají:

A={\frac {1}{D_{0}}}\left(-D_{12}{\frac {\tau _{3}}{\tau }}+D_{22}+D_{ 32}{\frac {\tau _{1}}{\tau }}\right)

B={\frac {1}{6D_{0}}}\left[D_{12}\left(\tau _{3}^{2}-\tau ^{2}\right){\ frac {\tau _{3}}{\tau }}+D_{32}\left(\tau ^{2}-\tau _{1}^{2}\right){\frac {\tau _{ 1}}{\tau}}\right]

E=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {{\hat {\rho }}_{2}}

Krok 5

Modul vektoru polohy pozorovatele v době druhého pozorování se vypočítá:

{R_{2}}^{2}=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {R_{2}}

Krok 6

Polynomiální koeficienty se vypočítají, aby se zjistila vzdálenost:

a=-\left(A^{2}+2AE+{R_{2}}^{2}\right)

b=-2\mu B(A+E)

c=-\mu ^{2}B^{2},

kde je gravitační parametr tělesa, kolem kterého rotace probíhá. $\mu$

Krok 7

Hledáme řešení rovnice:

{r_{2}}^{8}+a{r_{2}}^{6}+b{r_{2}}^{3}+c=0,

kde je vzdálenost k objektu v době druhého pozorování. $r_{2}$

Kubická rovnice může mít až tři skutečné kořeny. Pokud jich je více, je třeba zkontrolovat každou z nich.

Krok 8

Vzdálenosti od pozorovacích bodů k objektu se počítají v každém okamžiku pozorování:

\rho _{1}={\frac {1}{D_{0}}}\left[{\frac {6\left(D_{31}{\dfrac {\tau _{1}}{ \tau _{3}}}+D_{21}{\dfrac {\tau }{\tau _{3}}}\right){r_{2}}^{3}+\mu D_{31}\ vlevo(\tau ^{2}-{\tau _{1}}^{2}\right){\dfrac {\tau _{1}}{\tau _{3}}}}{6{r_{ 2}}^{3}+\mu \left(\tau ^{2}-{\tau _{3}}^{2}\right)}}-D_{11}\right]

{\displaystyle \rho _{2}=A+{\frac {\mu B}{{r_{2}}^{3))))

\rho _{3}={\frac {1}{D_{0}}}\left[{\frac {6\left(D_{13}{\dfrac {\tau _{3}}{ \tau _{1))}-D_{23}{\dfrac {\tau }{\tau _{1))}\right){r_{2))^{3}+\mu D_{13}\ vlevo(\tau ^{2}-{\tau _{3}}^{2}\right){\dfrac {\tau _{3}}{\tau _{1}}}}{6{r_{ 2}}^{3}+\mu \left(\tau ^{2}-{\tau _{1}}^{2}\right)}}-D_{33}\right]

Krok 9

Polohové vektory objektu se vypočítají (v rovníkovém souřadnicovém systému ):

\mathbf {r_{1}} =\mathbf {R_{1}} +\rho _{1}\mathbf {{\hat {\rho }}_{1}}

\mathbf {r_{2}} =\mathbf {R_{2}} +\rho _{2}\mathbf {{\hat {\rho }}_{2}}

\mathbf {r_{3}} =\mathbf {R_{3}} +\rho _{3}\mathbf {{\hat {\rho }}_{3}}

Krok 10

Vypočítají se Lagrangeovy koeficienty . Z tohoto důvodu se definice oběžných drah stává nepřesnou:

f_{1}\cca 1-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu }{{r_{2}}^{3}}}{\tau _{1}}^ {2}

f_{3}\cca 1-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu }{{r_{2}}^{3}}}{\tau _{3}}^ {2}

g_{1}\approx \tau _{1}-{\frac {1}{6}}{\frac {\mu }{{r_{2}}^{3}}}{\tau _ {1}}^{3}

g_{3}\approx \tau _{3}-{\frac {1}{6}}{\frac {\mu }{{r_{2}}^{3}}}{\tau _ {3}}^{3}

Krok 11

Vektor rychlosti objektu se vypočítá v době druhého pozorování (v rovníkové soustavě souřadnic):

\mathbf {v_{2}} ={\frac {1}{f_{1}g_{3}-f_{3}g_{1}}}\left(-f_{3}\mathbf {r_ {1}} +f_{1}\mathbf {r_{3}} \right)

Krok 12

Nyní známe polohu a rychlost objektu v jednom časovém okamžiku. Je tedy možné určit parametry oběžné dráhy [2] .

Poznámky

↑ Gauss . Získáno 11. března 2020. Archivováno z originálu 15. května 2012. (neurčitý)
↑ Orbitální mechanika pro studenty inženýrství . Získáno 11. března 2020. Archivováno z originálu dne 10. listopadu 2020. (neurčitý)

Literatura

Der, Gim J.. "Nové algoritmy pouze pro úhly pro určování počáteční dráhy." Konference Advanced Maui Optical and Space Surveillance Technologies Conference. (2012). tisknout _

Nebeská mechanika

Zákony a úkoly	Newtonovy zákony Zákon gravitace Keplerovy zákony Problém dvou těl Problém tří těl Problém gravitačního N-tělesa Bertrandův problém Keplerova rovnice
Nebeská sféra	Nebeský souřadnicový systém galaktický horizontální rovníkový ekliptický Mezinárodní nebeský souřadnicový systém Sférický souřadnicový systém světová osa Nebeský rovník rektascenzi deklinace Ekliptický Rovnodennost Slunovrat základní rovina
Parametry oběžné dráhy	Kepleriánské prvky oběžné dráhy excentricita hlavní poloosa střední anomálie zeměpisná délka vzestupného uzlu argument periapse Apocentrum a periapse Orbitální rychlost Orbitální uzel Epocha
Pohyb nebeských těles	Pohyb Slunce a planet v nebeské sféře Ephemeris Konfigurace planet konfrontace sloučenina kvadratura prodloužení přehlídka planet Zatmění zatmění Slunce zatmění měsíce saros Metonický cyklus Povlak Návod vyvrcholení hvězdné období synodické období Období střídání orbitální rezonance Předehra rovnodennosti Sblížení librace Rozsah gravitace Kozaiův efekt Yarkovského efekt Džanibekovův efekt

Astrodynamika

Vesmírný let	vesmírná rychlost první (kruhový) druhý (parabolický) Třetí Čtvrtý Ciolkovského vzorec Gravitační manévr Hohmannova trajektorie Metoda oskulačních elementů Slapové zrychlení Změna sklonu oběžné dráhy Meziplanetární dopravní síť Dokování Lagrangeovy body Pionýrský efekt
SC oběžné dráhy	geostacionární oběžná dráha Heliocentrická oběžná dráha geosynchronní oběžná dráha geocentrická dráha geotransferová dráha Nízká oběžná dráha Země polární oběžná dráha Orbit "Tundra" Slunečně synchronní oběžná dráha Orbit "blesk" Oskulační oběžná dráha