Model Poincaré v horní polorovině

Poincarého model v horní polorovině je horní polovina roviny , níže označovaná jako H , spolu s metrikou ( Poincarého metric ), která z něj dělá model dvourozměrné hyperbolické geometrie (Lobachevského geometrie). ${\displaystyle \{(x,y)\mid y>0;x,y\in \mathbb {R} \))$

Ekvivalentně je Poincarého model v horní polorovině někdy popisován jako komplexní rovina , ve které je imaginární složka ( souřadnice y zmíněná výše) kladná.

Poincarého model v horní polorovině je pojmenován po Henri Poincarém , ale vytvořil ho Eugenio Beltrami , který jej použil spolu s Kleinovým modelem a Poincarého modelem v kruhu , aby ukázal, že hyperbolická geometrie je stejně konzistentní jako Euklidovská geometrie je .

Tento model je konformní , což znamená, že úhly naměřené v bodě modelu se rovnají úhlům v hyperbolické rovině.

Cayleyho transformace udává izometrii mezi modelem v polorovině a Poincarého modelem v kruhu .

Tento model lze zobecnit na model ( n + 1)-rozměrného hyperbolického prostoru nahrazením reálného čísla x vektorem v n - rozměrném euklidovském vektorovém prostoru.

Metrické

Metrika modelu v polorovině má tvar ${\displaystyle \{\langle x,y\rangle |y>0\))$

(ds)^{2}={\frac {(dx)^{2}+(dy)^{2}}{y^{2}}}\,

kde s měří délku podél (případně zakřivené) čáry. Čáry na hyperbolické rovině ( geodetika tohoto metrického tenzoru, tj. křivky minimalizující vzdálenost) jsou na tomto modelu reprezentovány oblouky kružnic kolmých k ose x ( půlkruhy se středem na ose x ) a svislými paprsky kolmo k ose x .

Výpočet vzdálenosti

Obecně se vzdálenost mezi dvěma body měří v této metrice podél geodetických prvků a je rovna:

dist ⁡ ( ⟨ X jeden , y jeden ⟩ , ⟨ X 2 , y 2 ⟩ ) = oblouk ⁡ ( jeden + ( X 2 − X jeden ) 2 + ( y 2 − y jeden ) 2 2 y jeden y 2 ) = 2 arsh ⁡ jeden 2 ( X 2 − X jeden ) 2 + ( y 2 − y jeden ) 2 y jeden y 2 = 2 ln ⁡ ( X 2 − X jeden ) 2 + ( y 2 − y jeden ) 2 + ( X 2 − X jeden ) 2 + ( y 2 + y jeden ) 2 2 y jeden y 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {dist} (\langle x_{1},y_{1}\rangle ,\langle x_{2},y_{2}\rangle )&=\operatorname {arch} (1+{\frac {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1})}^{2}}{2y_{1}y_{ 2}}})\\&=2\operatorname {arsh} {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+ {(y_{2}-y_{1})}^{2}}{y_{1}y_{2))))\\&=2\ln {\frac {{\sqrt {{(x_{2) }-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1})}^{2))}+{\sqrt {{(x_{2}-x_{1})} ^{2}+{(y_{2}+y_{1})}^{2)))){2{\sqrt {y_{1}y_{2))))},\end{aligned}} }

{\begin{aligned}\operatorname {dist} (\langle x_{1},y_{1}\rangle ,\langle x_{2},y_{2}\rangle )&=\operatorname {arch} (1+{\frac {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1})}^{2}}{2y_{1}y_{ 2}}})\\&=2\operatorname {arsh} {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+ {(y_{2}-y_{1})}^{2}}{y_{1}y_{2))))\\&=2\ln {\frac {{\sqrt {{(x_{2) }-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1})}^{2))}+{\sqrt {{(x_{2}-x_{1})} ^{2}+{(y_{2}+y_{1})}^{2)))){2{\sqrt {y_{1}y_{2))))},\end{aligned}}

kde oblouk a arsh jsou inverzní hyperbolické funkce

\operatorname {arsh} {x}=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\ ,\ \operatorname {arch} {x}=\ln \left (x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1\,.

Některé speciální případy lze zjednodušit:

\operatorname {dist} (\langle x,y_{1}\rangle ,\langle x,y_{2}\rangle )=\left|\ln {\frac {y_{2}}{y_{1 }}}\right|=|\ln(y_{2})-\ln(y_{1})|

[1] .

\operatorname {dist} (\langle x_{1},y\rangle ,\langle x_{2},y\rangle )=\operatorname {arch} (1+{\frac {(x_{2}-) x_{1})^{2}}{2y^{2}}})=2\jméno operátora {arsh} ({\frac {|x_{2}-x_{1}|}{2y}})

\operatorname {dist} (\langle x,r\rangle ,\langle x\pm r\sin \phi ,r\cos \phi \rangle )=\operatorname {arsh} (\tan \phi )=\ operatorname {arch} ({\frac {1}{\cos \phi )))=\ln({\frac {1+\sin \phi }{\cos \phi )))

Dalším způsobem, jak vypočítat vzdálenost mezi dvěma body, je délka oblouku podél (euklidovského) půlkruhu:

\operatorname {dist} (AB)=\left|\ln \left({\frac {|BA_{\infty }|\ |AB_{\infty }|}{|AA_{\infty }|\ | BB_{\infty }|}}\right)\right|.

kde jsou body půlkruhu (konce) ležící na hraniční čáře a je euklidovská délka segmentu kružnice spojující body P a Q v tomto modelu. $A_{\infty },B_{\infty }$ $|PQ|$

Speciální body a křivky

Nekonečně vzdálené body v Poincarého modelu v horní polorovině jsou dvou typů:

body na ose x
jeden imaginární bod na , což je bod v nekonečnu , kterým procházejí všechny ortogonální přímky osy x . $y=\infty$

Modelují se přímky , geodetika (nejkratší cesty mezi body na nich).

půlkruhy, jejichž konce jsou na ose x
Svislé nosníky kolmé na osu x

Modelují se kruhy (křivky ve stejné vzdálenosti od středu) se středem v bodě a s poloměrem : $(x,y)$ $r$

kružnice se středem a poloměrem

(x,y\cosh(r))

y\sinh(r)

Je modelován hypercyklus (nebo ekvidistanta, křivka odstraněná z hyperbolické čáry, její osy nebo základny).

nebo oblouk kruhu, který protíná osu x ve stejných dvou bodech v nekonečnu jako půlkruh, který je základnou, ale s osou x má ostrý nebo tupý (ne pravý) úhel .
nebo přímka, která protíná osu x ve stejném bodě jako svislý paprsek, který modeluje základnu, ale není kolmá na osu x .

Modeluje se horocyklus (hranice rodiny kružnic se společnou tečnou procházející pevným bodem a ležící na jedné straně této tečny, vzniklá, když poloměr těchto kružnic má tendenci k nekonečnu).

nebo kružnice tečné k ose x (bez průsečíku nekonečna , což je střed)
nebo kružnice rovnoběžná s x , pokud střed je nekonečně vzdálený bod s . $y=\infty$

Stručný přehled euklidovských kruhů

Nechť je dána euklidovská kružnice se středem a poloměrem . $(x_{e},y_{e})$ ${\displaystyle r_{e))$

Pokud je euklidovská kružnice celá v horní polorovině, jedná se o hyperbolickou kružnici se středem a poloměrem . $(x_{e},{\sqrt {y_{e}^{2}-r_{e}^{2))})$ ${\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {y_{e}+r_{e}}{y_{e}-r_{e}}}\right)$
Pokud je euklidovský kruh celý v horní polorovině a dotýká se hranice, představuje horocyklus se středem v nekonečnu c . $(x_{e},0)$
Pokud kružnice protíná hranici ortogonálně ( ), představuje hyperbolickou čáru. $y_{e}=0$
Pokud kružnice protíná hranici neortogonálně, představuje hypercyklus.

Konstrukce pomocí kružítka a pravítka

To ukazuje, jak konstruovat pomocí kružítka a pravítka v Poincarého modelu [2] . Například jak sestrojit půlkruh v euklidovské polorovině, který modeluje hyperbolickou přímku procházející dvěma body.

Konstrukce hyperbolické přímky procházející dvěma body

Sestrojíme úsečku spojující dva body. Sestrojíme kolmici procházející středem úsečky. Najděte průsečík této kolmice s osou x . Postavíme kružnici se středem v průsečíku, procházející danými body (pouze horní část nad x ).

Leží-li tyto dva body na svislém paprsku, postavíme jej (z osy x ), tento paprsek bude požadovanou přímkou.

Konstrukce kružnice s daným středem procházející bodem

Postavíme hyperbolickou kružnici se středem A procházející bodem B .

Pokud body A a B neleží na svislé čáře:

Postavíme hyperbolickou přímku (půlkruh) procházející dvěma danými body, jako v předchozím případě. K tomuto půlkruhu v bodě B postavíme tečnu . Bodem A vedeme kolmici k ose x . Najděte průsečík těchto dvou čar, abyste získali střed D modelovací kružnice. Sestrojíme modelovací kružnici se středem v D procházející daným bodem B .

Pokud body A a B leží na svislé čáře a bod A leží nad bodem B :

Kolem průsečíku svislice a osy x postavíme kružnici, která prochází bodem A. Bodem B postavíme vodorovnou čáru . V průsečíku s touto vodorovnou přímkou sestrojíme tečnu ke kružnici.

Střed segmentu mezi průsečíkem tečny se svislou čárou a B je středem modelovací kružnice. Kolem středu postavíme modelovací kruh, procházející bodem B .

Pokud body A a B leží na svislé ose a střed A leží pod bodem B :

Kolem průsečíku svislice a osy x postavíme kružnici, která prochází daným středem A. Sestrojíme tečnu ke kružnici procházející bodem B . Postavíme vodorovnou čáru procházející bodem dotyku a najdeme její průsečík se svislou čárou.

Střed mezi výsledným průsečíkem a bodem je středem modelovací kružnice. Stavíme modelovací kruh s novým středem a procházející bodem B .

Najděte střed daného (hyperbolického) kruhu

Snížíme kolmici p z euklidovského středu kruhu na osu x .

Nechť bod q je základem této kolmice k ose x .

Sestrojíme přímku tečnou ke kružnici procházející bodem q .

Sestrojíme půlkruh h se středem v bodě q procházejícím bodem dotyku.

Hyperbolický střed je bod, kde se h a p protínají [3] .

Skupiny symetrie

Projektivní lineární grupa PGL(2, C ) působí na Riemannovu sféru Möbiovými transformacemi . Podgrupa, která do sebe mapuje horní polovinu roviny H , je PSL(2, R ), skládající se z transformací s reálnými koeficienty, která působí tranzitivně a izometricky na horní polovinu roviny a tvoří tak homogenní prostor .

Existují čtyři blízce příbuzné Lieovy grupy , které působí na horní polovinu roviny lineárně zlomkovými transformacemi, které zachovávají hyperbolickou vzdálenost.

Speciální lineární grupa SL(2, R ) , která se skládá z 2×2 matic s reálnými prvky a determinantem +1. Všimněte si, že mnoho textů (včetně Wikipedie) často zmiňuje SL(2, R ), což znamená PSL(2, R ).
Grupa S*L(2, R ) sestávající z 2×2 matic s reálnými prvky s determinantem +1 nebo −1. Všimněte si, že SL(2, R ) je podskupina této skupiny.
Projektivní speciální lineární grupa PSL(2, R ) = SL(2, R )/{± E } sestávající z matic z SL(2, R ) modulo ± matice identity (tj. je to kvocientová grupa skupinou sestávající z + E a -E ).
Skupina PS * L(2, R ) = S * L(2, R )/{± E }=PGL(2, R ) je opět projektivní grupa a opět modulo ± E . PSL(2, R ) je v něm obsažena jako normální podskupina s indexem dva; druhá množina se skládá z matic 2×2 s reálnými vstupy a determinantem −1, opět modulo ± E .

Spojení těchto skupin s Poincarého modelem je následující:

Skupina všech pohybů H , někdy označovaná jako Isom( H ), je izomorfní k PS * L(2, R ). Zahrnuje jak orientační, tak orientaci měnící pohyby. Displej měnící orientaci (zrcadlení) je . $z\rightarrow -{\overline {z))$
Skupina pohybů zachovávajících orientaci H , někdy označovaná jako Isom + ( H ), je izomorfní k PSL(2, R ).

Důležité podgrupy skupiny izometrie jsou fuchsovské grupy .

Často se uvažuje o modulární skupině SL(2, Z ) , která je důležitá ze dvou hledisek. Za prvé je to skupina lineárních transformací roviny, které zachovávají mřížku bodů. Funkce, které jsou periodické na čtvercové mřížce, jako jsou modulární formy a eliptické funkce , tedy dědí symetrii mřížky SL(2, Z ). Za druhé, SL(2, Z ) je samozřejmě podgrupou SL(2, R ), a proto má hyperbolické chování, které je v něm vlastní. Konkrétně SL(2, Z ) lze použít k mozaikování hyperbolické roviny s buňkami o stejné ploše.

Izometrická symetrie

Působení projektivní speciální lineární grupy PSL(2, R ) na H je definováno jako

\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}}\right)\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}={(ac| z|^{2}+bd+(ad+bc)\Re (z))+i(ad-bc)\Im (z) \over |cz+d|^{2}}.

Všimněte si, že akce je tranzitivní , protože pro any existuje prvek takový, že . Také platí, že pokud pro všechna z z H , pak g = e . $z_{1},z_{2}\in \mathbb {H}$ $g\in {\rm {PSL}} (2,\mathbb {R} )$ ${\displaystyle gz_{1}=z_{2))$ $gz=z$

Stabilizátor nebo stacionární podgrupa prvku z z H je množina , která ponechává z nezměněné - gz = z . Stabilizátor i - rotační skupina $g\in {\rm {PSL}} (2,\mathbb {R} )$

{\rm {SO}} (2)=\left\{\left({\begin{matrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\ \end{matrix}}\right)\,:\,\theta \in {\mathbf {R} }\right\}.

Protože libovolný prvek z H mapuje na i nějaký prvek PSL(2, R ), znamená to, že stacionární grupa libovolného prvku z je izomorfní k SO(2). H = PSL(2, R ) /SO(2). Také svazek tečných vektorů jednotkové délky v horní polovině roviny, nazývaný jednotkový tečný svazek , je izomorfní k PSL(2, R ).

Horní polovina roviny je obložena volnými pravidelnými sadami modulární skupinou SL(2, Z ).

Geodetické

Geodetiky pro metrický tenzor jsou půlkruhy se středem na ose x a vertikální paprsky vycházející z osy x .

Geodetika s rychlostí jedna, procházející vertikálně bodem i , je dána výrazem

\gamma (t)=\left({\begin{matrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\\\end{matrix}}\right)\cdot i =ie^{t}.

Protože PSL(2, R ) působí tranzitivně na horní polovinu roviny pomocí izometrií , je tato geodetika mapována na jiné geodetiky působením PSL(2, R ). Obecná geodetika s jednotkovou rychlostí je tedy dána pomocí

\gamma (t)=\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}e^{t/2}&0 \\0&e^{-t/2}\\\end{matrix}}\right)\cdot i={\frac {aie^{t}+b}{cie^{t}+d)).

To poskytuje úplný popis geodetického toku tečného svazku jednotkové délky (komplexní svazek čar ) v horní polovině roviny.

Model ve třech rozměrech

Metrika modelu v poloprostoru

\{\langle x,y,z\rangle |z>0\}\,

daný výrazem

(ds)^{2}={\frac {(dx)^{2}+(dy)^{2}+(dz)^{2}}{z^{2}}}\,

kde s měří vzdálenost podél (možná) zakřivené čáry. Přímky v hyperbolickém prostoru ( geodesika pro tento metrický tenzor, tedy křivky minimalizující vzdálenost) jsou v tomto modelu reprezentovány oblouky kružnic vycházejících kolmo z roviny z=0 (půlkruhy, jejichž středy jsou v rovině z=0 ) a paprsky, vycházející kolmo z roviny z = 0 .

Vzdálenost mezi dvěma body se měří v této metrice podél geodézy a je rovna

\operatorname {dist} (\langle x_{1},y_{1},z_{1}\rangle ,\langle x_{2},y_{2},z_{2}\rangle )=\název operátora {arch} \left(1+{\frac {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1})}^{2}+{( z_{2}-z_{1})}^{2}}{2z_{1}z_{2}}}\right)=

=2\operatorname {arsh} \left({\frac {\sqrt {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1}) }^{2}+{(z_{2}-z_{1})}^{2}}}{2{\sqrt {z_{1}z_{2}}}}}\right)\,.

Model v n - rozměrném prostoru

Model lze zobecnit na model ( n +1)-rozměrného Lobachevského prostoru nahrazením reálných čísel x vektory v n -rozměrném euklidovském prostoru.

Viz také

Poznámky

↑ výměna zásobníků matematiky . Datum přístupu: 19. září 2015. (neurčitý)
↑ Bochaca, Judit Abardia Nástroje pro práci s modelem Half-Plane . Nástroje pro práci s režimem Half-Plane . Získáno 25. června 2015. Archivováno z originálu 22. února 2018. (neurčitý)
↑ Cannon, Floyd, Kenyon, Parry, 1997 , str. 87.

Literatura

Cannon JW, Floyd WJ, Kenyon R., Parry WR Obrázek 19. Konstrukce hyperbolického středu kruhu // Hyperbolická geometrie. - MSRI Publications, 1997. - T. Volume 31. - (Flavours of Geometry).
Eugenio Beltrami. Teoria fondamentale degli spazi di curvatura konstantní // Annali. di Mat.. - 1868. - T. 2 . — S. 232–255 .
Henri Poincare. Théorie des Groupes Fuchsiens // Acta Mathematica. - 1882. - T. 1 . - S. 1 . První článek legendární série o modelu v horní polorovině.
Hershel M. Farkas, Irwin Kra. Riemannovy povrchy. - New York: Springer-Verlag, 1980. - ISBN 0-387-90465-4 .
Jurgen Jost. Sekce 2.3 // Kompaktní Riemannovy povrchy. - New York: Springer-Verlag, 2002. - ISBN 3-540-43299-X .
Saul Stahl. Polorovina Poincare . — Jones a Bartlett, 1993. — ISBN 0-86720-298-X .
John Stillwell. Čísla a geometrie . - NY: Springer-Verlag, 1998. - S. 100-104 . — ISBN 0-387-98289-2 . . Základní úvod do modelu Poincare.