Posvátné číslo

Nedotknutelné číslo je kladné celé číslo ,  které nelze vyjádřit jako součet všech správných dělitelů jakéhokoli kladného celého čísla (včetně samotného nedotknutelného čísla).

Například číslo 4 není nedotknutelné, protože se rovná součtu vlastních dělitelů čísla 9: 1 + 3 = 4. Číslo 5 je nedotknutelné, protože nemůže být vyjádřeno jako součet vlastních dělitelů. libovolného přirozeného čísla: 5 = 1 + 4 je jediný způsob, jak zapsat 5 jako součet různých přirozených čísel, včetně 1, ale pokud je 4 dělitel čísla, 2 je také jeho dělitel, takže 1 + 4 nemůže být součet všech vlastních dělitelů libovolného čísla (protože seznam dělitelů musí obsahovat jak 4, tak 2).

Prvních 53 posvátných čísel [1] :

_ 5 52 88 96 120 124 146 162 188 206 210 216 238 246 248 262 268 262 268 276 288 290 292 302 302 302 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 324 , 326 , 336 , 342 , 372 , 406 , 408 , 426 , 430 , 448 , 472 , 474 , 498 , 516 , 518 , 520 , 530 , 540 , 552 , 556 , 562 , 576 , 584 , 612 , 624 , 612, 624, 612, 624, 612, 624, 612, 624, 612, 624, 624, 624, 624, 624, 624, 624, 624, 624, 624, 624, 624, 624, 624, 624, 624, 624, 624, 624, 624, 576, 584, 576, 584, 576, 584. 624, 624 , 624. 626 , 628 , 658

Předpokládá se, že 5 je jediné liché číslo nedotknutelné, ale to nebylo prokázáno. To by mělo vyplývat z mírně posílené verze Goldbachovy domněnky [2] . Zdá se tedy, že kromě 2 a 5 jsou všechna nedotknutelná čísla složená . Dokonalá čísla nemohou být nedotknutelná, protože mohou být vyjádřena jako součet jejich vlastních dělitelů .

Pal Erdős dokázal, že množina nedotknutelných čísel je nekonečná [3] .

Neexistují žádná nedotknutelná čísla, která by byla o jedničku větší než prvočíslo , protože pokud je p prvočíslo, pak součet správných dělitelů p 2 bude p + 1. Kromě toho neexistují žádná nedotknutelná čísla, s výjimkou z 5, rovno prvočíslu plus tři, protože pokud p je prvočíslo jiné než dva, pak součet správných dělitelů 2p je p + 3.

Poznámky

1. ↑ OEIS sekvence A005114 _
2. ↑ Silnější verze se získá přidáním do Goldbachovy domněnky dodatečným požadavkem, že tato dvě prvočísla jsou různá – viz Adams-Watters, Frank a Weisstein, Eric W. Untouchable Number  na webu Wolfram MathWorld .
3. ↑ P. Erdos, Ueber die Zahlen der Form sigma(n)-n und n-phi(n). Elemente der Math. 28 (1973), 83-86.

Odkazy

• Richard K. Guy , Nevyřešené problémy v teorii čísel (3. vydání), Springer Verlag , 2004 ISBN 0-387-20860-7 ; sekce B10.

Čísla podle charakteristik dělitelnosti
Obecná informace	Faktorizace celých čísel Dělitelnost unitární dělitel Funkce děliče prvočíslo Základní teorém aritmetiky Aritmetické číslo
Faktorizační formy	prvočíslo Složené číslo Semiprime obdélníkové číslo Sfénické číslo Číslo bez čtverců Plný násobek Perfektní stupeň Achillovo číslo hladké číslo Běžné číslo hrubé číslo neobvyklé číslo
S omezenými děliteli	dokonalé číslo Poněkud nedostatečná čísla Trochu nadbytečná čísla Multiperfektní číslo Hemiperfektní čísla hyperdokonalé číslo super dokonalé číslo unitární prvočíslo polodokonalé číslo pararytmické číslo Erdős-Nicolasovo číslo
Čísla s mnoha děliteli	Přebytečná čísla Primitivní nadbytečná čísla Vysoce nadbytečná čísla Super redundantní čísla Velmi nadbytečná čísla superkompozitní číslo Vysoce superkompozitní číslo podivné číslo
Souvisí s alikvotními sekvencemi	posvátné číslo přátelská čísla veřejná čísla Kvazi přátelská čísla
jiný	Nedostatek čísel čísla kamarádů sublimovaná čísla Rudná čísla skromné ​​číslo Stejné číslice extravagantní číslo