Jacobiho pole

Jacobiho pole je vektorové pole podél geodézy v Riemannově varietě popisující rozdíl mezi touto geodetickou a geodetickou geodesicou "nekonečně blízko" k ní. Dá se říci, že všechna Jacobiho pole podél geodetiky k ní tvoří tečný prostor v prostoru všech geodetik . $\gamma$

Pojmenován po Carlu Gustafovi Jacobimu .

Definice

Nechť existuje hladká jednoparametrová rodina geodetek s , pak pole $\gamma _{\tau }$ $\gamma _{0}=\gamma$

J(t)=\left.{\frac {\partial \gamma _{\tau }(t)}{\partial \tau }}\right|_{\tau =0}

se nazývá Jacobiho pole.

Vlastnosti

Jacobiho pole J splňuje Jacobiho rovnici : $J''(t)+R(J(t),T(t))T(t)=0,$

kde je kovariantní derivace s ohledem na Levi-Civita spojení , je tenzor zakřivení a je vektor tečny k .

J''(t)={\frac {D^{2}}{dt^{2}}}J

R

T(t)=d\gamma (t)/dt

\gamma

Na úplných Riemannových varietách je každé pole, které splňuje Jacobiho rovnici, Jacobiho pole, to znamená, že podle definice má k tomuto poli přiřazenou skupinu geodetik. $\gamma _{\tau }$

Jacobiho rovnice je lineární obyčejná diferenciální rovnice druhého řádu .
- Zejména a v určitém okamžiku jednoznačně definovat Jacobiho pole. $J$ ${\frac {D}{dt}}J$ $\gamma$
- Kromě toho množina Jacobiho polí podél geodézy tvoří skutečný vektorový prostor, jehož rozměr je dvojnásobkem rozměru manifoldu.

Jakékoli Jacobiho pole může být reprezentováno jednoznačně jako součet , kde je lineární kombinace triviálních Jacobiho polí, a ortogonálně pro všechny . $J$ $T+I$ $T=a{\tečka {\gamma }}(t)+bt{\tečka {\gamma }}(t)$ $To)$ ${\tečka {\gamma }}(t)$ $t$
- V tomto případě pole odpovídá stejné rodině geodetek, pouze s upravenou parametrizací. $já$

Pro libovolná dvě Jacobiho pole a množství $To)$ $J(t)$ $\langle I'(t),J(t)\rangle -\langle I(t),J'(t)\rangle$

nezávisí na .

t

Příklad

Na sféře jsou geodetiky přes severní pól velké kruhy . Uvažujme dvě takové geodetiky as přirozenou parametrizací , oddělené úhlem . Geodetická vzdálenost je $\gamma _{0}$ $\gamma _{\tau }$ $t\in [0,\pi ]$ $\tau$ $d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))$

d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))=\jméno operátora {arcsin} {\bigg (}\sin t\sin \tau {\sqrt {1+ \cos ^{2}t\jméno operátora {tg} ^{2}(\tau /2))){\bigg )}.

Abyste získali tento výraz, musíte znát geodetiku. Nejzajímavější výsledek je tento:

d(\gamma _{0}(\pi ),\gamma _{\tau }(\pi ))=0

pro jakýkoli .

\tau

Místo toho můžeme uvažovat o derivátech s ohledem na : $\tau$ $\tau=0$

{\frac {\partial }{\partial \tau }}{\bigg |}_{\tau =0}d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t ))=|J(t)|=\sin t.

Opět získáme průsečík geodetik v . Všimněte si však, že pro výpočet této derivace není nutné znát ; vše, co musíte udělat, je vyřešit rovnici $t=\pi$ $d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))$

y''+y=0

pro některé dané počáteční podmínky.

Jacobiho pole dávají přirozené zobecnění tohoto jevu pro libovolné Riemannovy variety .

Řešení Jacobiho rovnice

Nechat ; přidejte k tomuto vektoru další, abyste získali ortonormální základ v . Pojďme to přesunout paralelním překladem , abychom získali základ v libovolném bodě . To dává ortonormální základ s . Jacobiho pole lze zapsat v souřadnicích spojených s tímto základem: , odkud: $e_{1}(0)={\tečka {\gamma }}(0)/|{\tečka {\gamma }}(0)|$ ${\big \{}e_{i}(0){\big \))$ $T_{\gamma (0)}M$ $\{e_{i}(t)\}$ $\gamma$ $e_{1}(t)={\tečka {\gamma }}(t)/|{\tečka {\gamma }}(t)|$ $J(t)=y^{k}(t)e_{k}(t)$

{\frac {D}{dt}}J=\sum _{k}{\frac {dy^{k}}{dt}}e_{k}(t),\quad {\frac {D ^{2}}{dt^{2}}}J=\součet _{k}{\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}e_{k}(t ),

a Jacobiho rovnici lze přepsat jako systém

{\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}+|{\dot {\gamma }}|^{2}\sum _{j}y^{ j}(t)\langle R(e_{j}(t),e_{1}(t))e_{1}(t),e_{k}(t)\rangle =0

pro všechny . Dostáváme tak lineární obyčejné diferenciální rovnice. Protože rovnice má hladké koeficienty , máme, že řešení existují pro všechny a jsou jedinečná, pokud a jsou dána pro všechny . $k$ $t$ $y^{k}(0)$ ${\frac {dy^{k}}{dt}}(0)$ $k$

Příklady

Uvažujme geodetiku s paralelním ortonormálním rámem , zkonstruovanou tak, jak je popsáno výše. $\gamma (t)$ $e_{i}(t)$ $e_{1}(t)={\tečka {\gamma }}(t)/|{\tečka {\gamma }}|$

Vektorová pole podél , daná a , jsou Jacobiho pole. $\gamma$ ${\tečka {\gamma }}(t)$ $t{\tečka {\gamma }}(t)$
V euklidovském prostoru (a také pro prostory s konstantní nulovou průřezovou křivostí) jsou Jacobiho pole ta pole, která jsou lineární v . $t$
Pro Riemannovy variety konstantní negativní sekční křivosti je jakékoli Jacobiho pole lineární kombinací , a , kde . ${\displaystyle -k^{2))$ ${\tečka {\gamma }}(t)$ $t{\tečka {\gamma }}(t)$ $\exp(\pm kt)e_{i}(t)$ $i>1$
Pro Riemannovy variety konstantní pozitivní sekční křivosti je jakékoli Jacobiho pole lineární kombinací , , a , kde . $k^{2}$ ${\tečka {\gamma }}(t)$ $t{\tečka {\gamma }}(t)$ $\sin(kt)e_{i}(t)$ $\cos(kt)e_{i}(t)$ $i>1$
Omezení vražedného pole na geodetiku je Jacobiho pole v jakémkoli Riemannově manifoldu.
Jacobiho pole odpovídají geodetice na tečném svazku (s ohledem na metriku indukovanou metrikou na ). $TM$ $M$

Viz také

Literatura

Gromol D., Klingenberg V., Meyer V., Riemannovská geometrie obecně, Mir, 1971, str. 343.
Burago Yu.D., Zalgaller V.A. Úvod do Riemannovy geometrie. - Petrohrad: Nauka, 1994. - ISBN 5-02-024606-9 .