Hilbertův pátý problém

Hilbertův pátý problém je jedním z problémů , které nastolil David Hilbert ve své zprávě [1] [2] na II. mezinárodním kongresu matematiků v Paříži v roce 1900. Hilbertův pátý problém se vztahuje k teorii topologických transformačních grup a Lieových grup . Řešení pro důležité speciální případy byly získány v roce 1933 a 1934, nakonec vyřešeny v roce 1952.

Prohlášení o problému

Topologická transformační skupina se skládá z topologické skupiny , topologického prostoru a spojitého působení skupiny na , což je spojité mapování . $G$ $X$ $G$ $X$

\varphi \colon G\times X\to X,\ (g,x)\to gx,

mající následující dvě vlastnosti:

$ex=x$ pro všechny , odkud je prvek identity , $x\in X$ $E$ $G$
$g(g'x)=(gg')x$ pro všechny a pro všechny . $g,g'\v G$ $x\in X$

Topologická grupa je Lieova grupa, pokud je skutečná analytická varieta a násobení je skutečná analytická mapa. Potom, podle věty o implicitní funkci, je zobrazení reálně-analytické. Jestliže je Lieova grupa, je skutečnou analytickou varietou a působení grupy na je skutečné analytické, pak máme skupinu skutečných analytických transformací. $G$ $G$ $\mu \colon G\times G\to G,\ (g,g')\to gg'$ ${\displaystyle \iota \colon G\to G,\ g\to g^{-1))$ $G$ $X$ $\varphi$ $G$ $X$

Nechť je lokálně euklidovská topologická grupa. Pak vyvstává otázka, zda je vždy možné vybavit takovou reálně analytickou strukturou, že násobení $G$ $G$

\mu \colon G\times G\to G

bude skutečně analytický? Tato otázka, která byla následně zodpovězena kladně, je dnes považována za Hilbertův pátý problém. [3]

Řešení problémů

Pro kompaktní skupiny byl pátý problém vyřešen von Neumannem [4] v roce 1933. Pro lokálně kompaktní komutativní skupiny a některé další konkrétní případy problém vyřešil Pontryagin [3] [5] [6] v roce 1934. Tyto důkazy byly získány pomocí výsledku maďarského matematika Alfreda Haara [7] , který zkonstruoval invariantní míru na lokálně kompaktní topologické grupě [8] .

Ústředním bodem obecného důkazu se ukázala být otázka existence „malých“ podskupin v libovolně malém okolí jednotky (kromě jednotky samotné). Lži grupy žádné takové podgrupy nemají. Významně k řešení přispěl Gleason (Gleason) [9] , který dokázal, že každá konečnorozměrná lokálně kompaktní topologická grupa , která nemá žádné malé podgrupy, je Lieovou grupou. $G$

Konečné řešení získali v roce 1952 Montgomery a Zippin , kteří dokázali, že lokálně propojená konečnorozměrná lokálně kompaktní topologická grupa nemá žádné malé podgrupy. [10] . Protože každá lokálně euklidovská topologická skupina je místně propojená, místně kompaktní a konečně-rozměrná, tyto dva výsledky implikují následující tvrzení.

Věta . Každá lokálně euklidovská skupina je Lieova grupa .

Jak Glushkov později ukázal , tato věta připouští zobecnění [11] .

Tento výsledek je často považován za řešení Hilbertova pátého problému, ale Hilbertova otázka byla širší a týkala se transformačních grup pro případ, kdy se varieta neshoduje s [3] [12] . $\varphi \colon G\times X\to X$ $X$ $G$

Odpověď na Hilbertovu obecnou otázku v případě topologických spojitých akcí se ukázala jako negativní i pro triviální grupu . Existují topologické variety, které nemají žádnou hladkou strukturu, a proto nemají reálně-analytickou strukturu [13] . $G=\{e\}$

Poznámky

↑ David Hilbert . Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900 (německy) (nepřístupný odkaz) . — Text zprávy, kterou četl Hilbert 8. srpna 1900 na II. mezinárodním kongresu matematiků v Paříži. Získáno 27. srpna 2009. Archivováno z originálu dne 8. dubna 2012.
↑ Překlad Hilbertovy zprávy z němčiny - M. G. Shestopal a A. V. Dorofeev , publikované v knize Hilbertovy problémy / ed. P. S. Alexandrova . - M .: Nauka, 1969. - S. 36-37. — 240 s. — 10 700 výtisků. Archivovaná kopie (nedostupný odkaz) . Získáno 26. října 2014. Archivováno z originálu 17. října 2011. (neurčitý)
↑ 1 2 3 Hilbertův pátý problém: Recenze .
↑ Neumann J. von Die Einfuhrung analytischer Parameter in topologischen Gruppen// Ann. Matematika. - 1933. - 34. - C. 170-190
↑ Hilbertovy úlohy a sovětská matematika (nepřístupný odkaz) . Získáno 26. října 2014. Archivováno z originálu 26. října 2014. (neurčitý)
↑ Pontryagin LS Topologické skupiny. Princeton: Univ. Tisk, 1939
↑ Der Maasbegriff in der Theorie der Kontinuerlichen Gruppen (Mértékfogalom a folytonos csoportok elméletében), 1933.
↑ Pontrjagin L. S. Životopis L. S. Pontrjagina, matematika, který sestavil sám. Narození 1908, Moskva . - M. : Prima V, 1998. - 340 s.
↑ Skupiny Gleason AM bez malých podskupin // Ann. Matematika. - 1952. - 56. - S. 193-212.
↑ Montgomery D., Zippin L. Malé podgrupy konečněrozměrných grup // Ann. Matematika. - 1952. - 56. - S. 213-241.
↑ V. M. Gluškov. Struktura lokálně kompaktních skupin a Hilbertův pátý problém , Uspekhi Mat. Nauk, 1957, svazek 12, číslo 2(74), 3-41.
↑ Montgomery D. Topologické transformační grupy // Proc. Int. Congr. Matematika. - 1954. - Sv. III. — Groningen-Amsterdam. - 1956. - S. 185-188 (RZhMat, 1958, 8602).
↑ Kervaire MA Varieta, která nepřipouští žádnou diferencovatelnou strukturu // Komentář. Matematika. Helv. - 1960. - 34. - S. 257-270.

Literatura

Hilbertovy problémy / ed. P. S. Alexandrova . — M .: Nauka, 1969. — 240 s. — 10 700 výtisků. Archivováno 17. října 2011 na Wayback Machine

Hilbertovy problémy
jeden 2 3 čtyři 5 6 7 osm 9 deset jedenáct 12 13 čtrnáct patnáct 16 17 osmnáct 19 dvacet 21 22 23 ( 24 )