Bernoulliho distribuce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 1. října 2021; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Bernoulliho distribuce
Pravděpodobnostní funkce
distribuční funkce
Možnosti	$p\in(0,1)$ $q\ekviv 1-p$
Dopravce	$k=\{0,1\}$
Pravděpodobnostní funkce	${\begin{matrix}q&k=0\\p~~&k=1\end{matrix}}$
distribuční funkce	${\begin{matrix}0&k<0\\q&0\leq k<1\\1&k\geq 1\end{matrix))$
Očekávaná hodnota	$p$
Móda	${\begin{cases}0,&q>p\\0,1,&q=p\\1,&q<p\end{cases}}$
Disperze	$pq$
Koeficient asymetrie	${\frac {qp}{{\sqrt {pq))))$
Kurtózní koeficient	${\frac {6p^{2}-6p+1}{p(1-p)))$
Diferenciální entropie	$-q\ln qp\ln p$
Generující funkce momentů	${\displaystyle q+pe^{t))$
charakteristická funkce	$q+pe^{it}$

Bernoulliho rozdělení v teorii pravděpodobnosti a matematické statistice je diskrétní rozdělení pravděpodobnosti , které modeluje náhodný experiment libovolné povahy s předem určenou pravděpodobností úspěchu nebo neúspěchu.

Definice

Náhodná proměnná má Bernoulliho rozdělení, pokud nabývá pouze dvou hodnot: a s pravděpodobnostmi resp . Takto: $X$ $jeden$ $0$ $p$ $q\ekviv 1-p$

{\mathbb {P}} (X=1)=p

{\mathbb {P}} (X=0)=q

Je obvyklé říkat, že událost odpovídá „úspěchu“ a událost odpovídá „neúspěchu“. Tato jména jsou podmíněná a v závislosti na konkrétní úloze je lze nahradit opačnými. $\{X=1\}$ $\{X=0\}$

Vlastnosti

Limit vlastnost

Vlastnost limit je popsána Poissonovou větou :

Nechť existuje posloupnost série Bernoulliho pokusů, kde je pravděpodobnost „úspěchu“, je počet „úspěchů“. $p_n$ $\mu _{n}$

Pak pokud

$\lim _{{n\to \infty }}p_{n}=0;$
$\lim _{{n\to \infty }}np_{n}=\lambda ;$
$\lambda >0,$

pak

\lim _{{n\to \infty }}P(\omega :\mu _{n}(\omega )=m)=e^{{-\lambda }}{\cfrac {\lambda ^{m} }{m!}}.

Momenty distribuce Bernoulli

{\mathbb {E}}[X]=p

\operatorname {D}[X]=p(1-p)=pq

, protože: .

\operatorname {E} X^{2}-\left(\operatorname {E} X\right)^{2}=pp^{2}=p\cdot (1-p)=pq

Obecně je to snadné vidět

\mathbb {E} \left[X^{n}\right]=\Pr(X=1)\cdot 1^{n}+\Pr(X=0)\cdot 0^{n}= p\cdot 1^{n}+q\cdot 0^{n}=p=\mathbb {E} [X],\forall n\in \mathbb {N}

Poznámka

Pokud nezávislé náhodné proměnné mají Bernoulliho rozdělení s pravděpodobností úspěchu , pak $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $p$

Y=\součet \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}

má binomické rozdělení se stupni volnosti. $n$

Viz také

Problém zničení hráče #Bernoulliho schéma .

Literatura

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Binomiální distribuce", Encyklopedie matematiky, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

Rozdělení pravděpodobnosti
Oddělený	Bernoulli Binomický Geometrický hypergeometrické Logaritmické Negativní binom jed Diskrétní uniforma Multinomický
Absolutně kontinuální	Beta Weibulla gama- hyperexponenciální Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormální normální (gaussovský) Logistické Nakagami Pareto Pearson polokruhový kontinuální uniforma Rýže Rayleigh Student Tracey - Vidoma Rybář Chí-kvadrát Exponenciální Rozptyl-gama Vícerozměrný normální spona