Řada Dirichlet

Blízko Dirichletu se nazývá řada formuláře

\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {a_{n}}{n^{s}}},

kde sa a n jsou komplexní čísla , n = 1, 2, 3, … .

Abscisa konvergence Dirichletovy řady je číslo takové, že když konverguje; úsečka absolutní konvergence je takové číslo , které pro řadu konverguje absolutně . Pro jakoukoli Dirichletovu řadu platí vztah (jestli a jsou konečné). $\sigma _{c}$ $\operatorname {Re}s>\sigma _{c}$ $\sigma _{a}$ $\operatorname {Re} s>\sigma _{a}$ $0\leqslant \sigma _{a}-\sigma _{c}\leqslant 1$ $\sigma _{c}$ $\sigma _{a}$

Tato řada hraje významnou roli v teorii čísel . Nejběžnější příklady Dirichletovy řady jsou Riemannova zeta funkce a Dirichletova L-funkce . Řada je pojmenována po Gustavu Dirichletovi .

Konvergence v různých bodech

Jestliže některá řada konverguje v komplexním bodě , pak stejná řada konverguje v libovolném bodě , pro který . Z toho vyplývá, že existuje nějaký bod takový, že pro , řada konverguje a pro , diverguje. Takový bod se nazývá úsečka konvergence. $s_{0}=\sigma _{0}+t_{0}i$ $s=\sigma +ti$ $\sigma >\sigma _{0}$ $\sigma=\sigma _{c}$ $\operatorname {Re}s>\sigma _{c}$ $\operatorname {Re}s<\sigma _{c}$

Abscisa absolutní konvergence pro řadu je takový bod , že v , řada konverguje absolutně. Je pravda, že . ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s))))$ $\sigma _{a}$ $\operatorname {Re} s>\sigma _{a}$ $0\leqslant \sigma _{a}-\sigma _{c}\leqslant 1$

Chování funkce at může být různé. Edmund Landau ukázal, že bod je pro některé Dirichletovy řady singulární, pokud je jeho úsečkou konvergence. $\operatorname {Re}s$ $s=\sigma _{c}$ $\sigma _{c}$

Příklady

\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s))},

kde je Riemannova funkce zeta . $\zeta (s)$

{\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}},

kde μ( n ) je Möbiova funkce .

{\frac {1}{L(\chi ,s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\chi (n)}{n ^{s}}},

kde je Dirichletova L-funkce . $L(\chi ,s)$

\operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{s}}},

kde Li s ( z ) je polylogaritmus .

harmonická řada

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}} +{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{k}}+\cdots

se rozchází.

Sekvence a řádky
Sekvence	Číselná posloupnost Základní posloupnost Lineární rekurentní sekvence Fibonacciho čísla složená čísla Faktorový Barkerova sekvence sekvence de bruijn
Řádky, základní	Součet řádků Zbytek řady Podmíněná konvergence Střídavé série Vícesekce řádků
Číselné řady ( operace s číselnými řadami )	harmonická řada série Leibniz Řada inverzních čtverců Série recipročních prvočísel Řada Dirichlet série Mercator Řada Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funkční řádky	Taylorova řada série Laurent Fourierova řada Trigonometrické Fourierovy řady trigonometrická řada série Wiener
Jiné typy řádků	Neumannovy řady Řada Puiseux