Adjungované funktory

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 8. března 2020; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Adjungované funktory jsou dvojice funktorů , které jsou ve vzájemném vztahu. S adjungovanými funktory se často setkáváme v různých oblastech matematiky.

Neformálně jsou funktory F a G konjugované, pokud splňují vztah . Potom se F nazývá levý adjungovaný funktor a G se nazývá pravý. $\mathrm {Hom} (F(X),Y)\simeq \mathrm {Hom} (X,G(Y))$

Motivace

Adjungované funktory jsou jedním z klíčových nástrojů teorie kategorií , mnoho pozoruhodných matematických konstrukcí lze označit jako adjungované funktory. Důkazy mnoha zajímavých výsledků tak mohou okamžitě vyplynout z obecných vět o adjungovaných funktorech, jako je ekvivalence různých definic, a ze skutečnosti, že pravé adjungované funktory komutují s limitami (a levé s colimitami).

Řešení optimalizačního problému

Můžeme říci, že adjungovaný funktor je způsob, jak standardní metodou specifikovat nejúčinnější řešení nějakého problému. Například základním problémem z teorie prstenů je, jak změnit pseudokruh (tj. prsten, který nemusí mít multiplikativní jednotku) na prsten . Nejúčinnějším způsobem, jak toho dosáhnout, je přidat do prstenu jeden, všechny prvky nezbytné pro splnění axiomů prstenu (například prvky typu r +1 , kde r je prvek prstenu), a nepředpokládat jakékoli vztahy v novém kruhu, které nejsou nutné ke splnění axiomů. Tato konstrukce je standardní v tom smyslu, že funguje pro jakýkoli pseudoring.

Výše uvedený popis je velmi vágní, ale lze jej upřesnit jazykem teorie kategorií: konstrukce je „ nejefektivnější “, pokud splňuje univerzální vlastnost , a „ standardní “ v tom smyslu, že definuje funktor. Univerzální vlastnosti jsou rozděleny na počáteční a koncové, protože tyto pojmy jsou duální , stačí vzít v úvahu jednu z nich.

Myšlenka použití vlastnosti initial je formulovat problém z hlediska takové pomocné kategorie E , že zbývá pouze najít počáteční objekt E . Tato formulace má tu výhodu, že problém „nalezení nejúčinnějšího řešení“ se stává poměrně rigorózním a v jistém smyslu podobným problému hledání extrému . Pro výběr správné kategorie E je někdy nutné zvolit složité triky: v případě semiringu R je požadovanou kategorií kategorie, jejíž objekty jsou homomorfismy semiringů R → S , kde S je nějaký kruh s identitou. Morfismy v E mezi R → S 1 a R → S 2 jsou komutativní trojúhelníky tvaru ( R → S 1 , R → S 2 , S 1 → S 2 ) , kde S 1 → S 2 je kruhový homomorfismus. Existence morfismu mezi R → S 1 a R → S 2 znamená, že S 1 není o nic méně efektivním řešením problému než S 2 : S 2 má více přidaných prvků a/nebo více vztahů mezi nimi než S 1 .

Říci, že tato metoda definuje " nejefektivnější " a " standardní " řešení problému, je totéž jako říci, že definuje přidružené funktory.

Formální definice

Existuje několik ekvivalentních definic adjungovaných funktorů. Jejich ekvivalence je elementární, ale ne triviální.

Univerzální definice šipky se snadno formuluje a je také nejblíže naší intuici o „problému optimalizace“.

Definice jednotek a jednotek je vhodná pro funktory často se vyskytující v algebře, protože poskytuje vzorce, které lze přímo kontrolovat.

Definice množiny Hom činí definici symetrickou a objasňuje důvody pro volání funktorů "adjungované".

Univerzální šíp

Funktor F : C ← D je levý adjungovaný funktor , jestliže pro každý objekt X kategorie C existuje koncová šipka ε X od F do X . Pokud pro každé X v C zvolíme objekt G 0 X v D , pro který je definována koncová šipka ε X : F ( G 0 X ) → X , pak existuje jednoznačný funktor G : C → D takový , že GX = G 0 X a pro jakýkoli morfismus v kategorii C f : X → Xʹ máme ε Xʹ ∘ FG ( f ) = f ∘ ε X ; F se pak nazývá levý adjunkt funktoru G .

Funktor G : C → D je funktor zprava , jestliže pro každý objekt Y kategorie D existuje počáteční šipka z Y do G . Pokud pro každé Y v D zvolíme objekt F 0 Y v C tak , aby byla definována počáteční šipka η Y : Y → G ( F 0 Y ) z Y do G , pak existuje jednoznačný funktor F : C ← D takový že FY = F 0 Y a GF ( g ) ∘ η Y = η Yʹ ∘ g pro g : Y → Yʹ je morfismus v D ; G se pak nazývá pravý adjunkt funktoru F .

Jak terminologie napovídá, platí, že F je levý duál G právě tehdy, když G je pravý duál F . To však není zřejmé z definice z hlediska univerzálního šípu, ale je zřejmé z definice z hlediska jednotky a počtu.

Jednotka a jednotka

Abychom mohli definovat jednotku a counit v kategoriích C a D , potřebujeme stanovit dva funktory F : C ← D , G : C → D a dvě přirozené transformace :

{\begin{aligned}\varepsilon &:FG\to 1_{{{\mathcal C}}}\\\eta &:1_{{{\mathcal D}}}\to GF\end{aligned}}

nazývaná kojednotka a jednotka konjugace, v tomto pořadí, takže kompozice

F{\xarrowarrow {\;F\eta \;}}FGF{\xarrowarrow {\;\varepsilon F\,}}F

G{\xšipka doprava {\;\eta G\;}}GFG{\xšipka doprava {\;G\varepsilon \,}}G

jsou shodné transformace 1 F a 1 G funktorů F a G .

V takové situaci je F levý konjugát G a G pravý konjugát F. Někdy je tento vztah označen nebo jednoduše . $(\varepsilon,\eta):F\dashv G$ $F\dashv G$

Ve formě rovnic se výše uvedené podmínky na (ε,η) nazývají counitové a jednotkové rovnice :

{\begin{aligned}1_{F}&=\varepsilon F\circ F\eta \\1_{G}&=G\varepsilon \circ \eta G\end{aligned}}

Definice přes funktor Hom

Uvažujme dva funktory F : C ← D a G : C → D . Nechť existuje přirozený izomorfismus :

\Phi :{\mathrm {hom}}_{C}(F-,-)\to {\mathrm {hom}}_{D}(-,G-)

To definuje rodinu bijekcí:

\Phi _{{Y,X}}:{\mathrm {hom}}_{C}(FY,X)\to {\mathrm {hom}}_{D}(Y,GX)

pro všechny objekty X v C a Y v D .

Zde se F nazývá levý konjugát pro G a G se nazývá pravý konjugát pro F .

Abychom pochopili, co znamená přirozenost Φ , je nutné vysvětlit, jak jsou funktory hom C ( F -, -) a hom D ( -, G -) . Ve skutečnosti jsou oba bifunktory od D op × C po Set . Explicitně přirozenost Φ znamená, že pro všechny morfismy f : X → X ′ v C a morfismy g : Y ′ → Y v D , následující diagram komutuje:

Příklady

Volné skupiny

Konstrukce volné skupiny je vhodným příkladem pro objasnění podstaty definic. Nechť F : Grp ← Set je funktor, který asociuje s množinou Y volnou grupu generovanou prvky Y , a G : Grp → Set je funktor zapomínání , který asociuje grupu X s její podpůrnou množinou. Pak F je levý adjunkt G :

Koncové šipky: pro každou skupinu X je skupina FGX volnou skupinou generovanou prvky X jako množinou. Dovolit být homomorfismus skupiny, který vezme generátory FGX k odpovídajícím prvkům X . Pak je terminální morfismus od F do X , protože jakýkoli homomorfismus z volné grupy FZ do X lze přenést pomocí jediné funkce z množiny Z do množiny X . To znamená, že ( F , G ) je dvojice adjungovaných funktorů. $\varepsilon _{X}:FGX\to X$ $(GX,\varepsilon _{X})$ $\varepsilon _{X}:FGX\to X$

Sady Hom: zobrazení z volné skupiny FY do skupiny X jednoznačně odpovídají zobrazením z množiny Y do množiny GX : každý homomorfismus je jednoznačně určen svými hodnotami na generátorech volné skupiny. Přímým výpočtem lze ověřit, že tato korespondence je přirozenou transformací, a proto je pár ( F , G ) konjugovaný.

Další příklady z algebry

Všechny volné objekty jsou výsledkem aplikace volného funktoru, který je levým adjunktem zapomnětlivého funktoru .
Produkty , jádra a ekvalizéry jsou příklady kategorických limitů . Všechny limitní funktory jsou přímo adjunktní k diagonálnímu funktoru . Podobně koprodukty , cokernels a koekvalizéry jsou colimity a funktor colimit je levým adjunktem diagonálního funktoru.
Přidání jednotky do pseudokroužku (příklad ze sekce "Motivace"). Pokud dostaneme pseudokruh R , pak odpovídající kruh je součin R × Z , na kterém je Z - bilineární součin definován vzorcem (r,0)(0,1) = (0,1)(r, 0) = (r ,0), (r,0) (s,0) = (rs,0), (0,1) (0,1) = (0,1) . Sestrojený funktor je ponechán konjugovaný se zapomínacím funktorem posílajícím kruh do odpovídajícího pseudokruhu.
Prodloužení prstenů. Nechť R a S jsou kruhy a ρ : R → S je kruhový homomorfismus. Pak lze na S nahlížet jako na (levý) R -modul a tenzorový součin s S definuje funktor F : R - Mod → S - Mod . Zde je F ponecháno konjugované se zapomnětlivým funktorem G : S - Mod → R - Mod .
Produkty Tensor . Jestliže R je kruh a M je pravý R - modul, pak tenzorový součin s M definuje funktor F : R - Mod → Ab . Funktor G : Ab → R - Mod definovaný jako G ( A ) = hom Z ( M , A ) je správně konjugovaný s F .
Soukromé pole . Pro kategorii Dom m integrálních okruhů a injektivních homomorfismů má zapomnětlivý funktor Pole → Dom m levé adjunkt, který každému integrálnímu okruhu asociuje jeho pole kvocientů .
Polynomiální kruhy '. Pro Ring * , kategorii komutativních kruhů s rozlišujícím prvkem a homomorfismy, které zachovávají rozlišovací prvek, zapomnětlivý funktor G: Ring * → Ring má levý duál — spojuje dvojici ( R [ x ], x ) s R [ x ] , kde R [ x ] je kruhový polynom s koeficienty z R .
Abelizace. Zapomnětlivý funktor G : Ab → Grp má levé adjunkt, zvaný abelizační funktor, který přiřazuje každé grupě G podílovou grupu komutantem : G ab = G /[ G , G ] .

Příklady topologie

Funktor se dvěma konjugáty. Nechť G je funktor, který spojuje topologický prostor s jeho podpůrnou množinou (to znamená, že zapomíná na topologii). G má levé duální F , které množinám dodává diskrétní topologii , a pravé duální H , které množinám dodává triviální topologii .
Nástavbové a smyčkové prostory . Dané topologické prostory X a Y , jeden může konstruovat prostor [ SX , Y ] homotopy tříd zobrazení od zastavení SX k Y. Je přirozeně izomorfní k prostoru [ X , Ω Y ] homotopických tříd zobrazení z X do smyčkového prostoru Ω Y , takže funktory suspenzního a smyčkového prostoru jsou konjugované v homotopické kategorii topologických prostorů.
Vložení G : KHaus → Top z kategorie kompaktních Hausdorffových prostorů do kategorie topologických prostorů má levý adjungovaný funktor F : Top → KHaus , Stone-Cechovo zhutnění . Součet této dvojice definuje spojité zobrazení od libovolného topologického prostoru X až po jeho zhutnění. Toto mapování je vložením tehdy a jen tehdy, když X je zcela regulérní prostor .

Vlastnosti

Existence

Ne každý funktor G : C → D má levé nebo pravé adjunkt. Je-li C plná kategorie , pak má podle věty o adjungovaném funktoru Petera Freuda G levý adjoint tehdy a jen tehdy, když pro jakékoli Y z kategorie D existuje rodina morfismů:

f i : Y → G ( X i ) ,

kde indexy i procházejí množinou I tak, že jakýkoli morfismus:

h : Y → G ( X )

lze napsat jako:

h = G ( t ) o f i

pro některé i v I a některé morfismus:

t : Xi → X v C. _ _

Podobný výrok charakterizuje funktory, které mají pravé adjunkt.

Jedinečnost

Pokud má funktor F : C ← D dva pravé konjugáty G a G ′ , pak G a G ′ jsou přirozeně izomorfní .

Na druhé straně, pokud je F ponechána konjugovaná s G a G je přirozeně izomorfní s G ' , pak F je také ponechána konjugovaná s G ' .

Složení

Konjugační kompozice mohou být užívány přirozeným způsobem. Jestliže 〈F , G , ε, η〉 je konjugace mezi C a D a 〈F ′, G ′, ε′, η′〉 je konjugace mezi D a E , pak funktor

F'\circ F:{\mathcal {C}}\leftarrow {\mathcal {E}}

levý konjugovaný s funktorem

G\circ G':{\mathcal {C}}\to {\mathcal {E}}

Lze vytvořit kategorii, jejíž objekty jsou všechny malé kategorie a jejíž morfismy jsou konjugace.

Dojíždění s limity

Nejdůležitější vlastností adjungovaných funktorů je jejich spojitost: každý funktor, který má levé adjunkt (tj. je pravý adjunkt), v kategorickém smyslu komutuje s limitami . V souladu s tím je funktor, který má pravé adjunkt , konečně spojitý , tedy komutuje s colimitami . Vzhledem k tomu, že mnohé konstrukce jsou limity nebo colimity, okamžitě z toho vyplývá několik důsledků. Například:

Použitím správného adjungovaného funktoru na součin získáme součin obrázků.
Aplikací levého adjungovaného funktoru na koprodukt vznikne koprodukt obrázků.
Každý pravý konjugovaný a aditivní funktor mezi abelovskými kategoriemi je vlevo exaktní .
Každý levý konjugovaný a aditivní funktor mezi abelovskými kategoriemi je pravý exaktní .

Literatura

McLane S. Kapitola 4. Adjungované funktory // Kategorie pro pracujícího matematika / Per. z angličtiny. vyd. V. A. Artamonová. - M .: Fizmatlit, 2004. - S. 95-128. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

F. Borceux. Příručka kategorické algebry 1. Základní teorie kategorií. — Encyklopedie matematiky a jejích aplikací. - Cambridge: Cambridge University Press, 1994. - 345 s. — ISBN 0 521 44178 1 .
Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. Abstraktní a konkrétní kategorie. Radost koček (anglicky) . - John Wiley & Sons , 1990. - ISBN 0-471-60922-6 .

Slovníky a encyklopedie	Britannica (online)