Honeycomb (geometrie)

Voština  je výplň prostoru neprotínajícími se mnohostěny , ve kterých není žádný nevyplněný prostor. Jedná se o zobecnění matematického konceptu mozaiky nebo parket na jakoukoli dimenzi.

Voštiny se obvykle zvažují v obvyklém euklidovském („plochém“) prostoru. Mohou být také postaveny v neeuklidovských prostorech , jako je hyperbolická voština . Na jeho obvodovou kouli lze promítnout jakýkoli konečný jednotný mnohostěn , čímž vznikne jednotná plástev v kulovém prostoru.

Klasifikace

Buňek je nekonečně mnoho a lze je klasifikovat jen částečně. Největší zájem je o nejběžnější obklady , i když se znovu a znovu objevuje bohatá a široká škála dalších obkladů.

Nejjednodušší plástve jsou tvořeny vrstvami hranolů postavených z parket na rovině. Zejména kopie jakéhokoli rovnoběžnostěnu mohou vyplnit prostor, přičemž kubické plástve jsou zvláštním případem, protože samy tvoří pravidelné plástve v běžném (euklidovském) prostoru. Dalším zajímavým příkladem je Hillův čtyřstěn a jeho zobecnění, které také tvoří mozaiku ve vesmíru.

Homogenní 3D plástve

3D homogenní voština  je voština ve 3D prostoru složená z uniformních mnohostěnů se stejnými vrcholy (tj. skupina izometrií 3D prostoru, která zachovává mozaiku, je ve vrcholech tranzitivní ). Existuje 28 příkladů konvexních obkladů v trojrozměrném euklidovském prostoru [1] , nazývaných také Archimedovy plástve .

Voština se nazývá pravidelná , pokud skupina izometrií, která zachovává obklad, působí na vlajky přechodně , kde vlajka  je vrchol ležící na hraně, která patří k obličeji (vše dohromady). Jakýkoli běžný plást je automaticky homogenní. V euklidovském trojrozměrném prostoru však existuje pouze jeden typ pravidelných plástů – kubické plástve . Dvě buňky jsou kvazipravidelné (vyrobené ze dvou typů pravidelných buněk):

Tetraedrsko-oktaedrická voština a rotovaná tetraedrsko-oktaedrická voština se skládají z vrstev tvořených 3. nebo 2. pozicí tetraedrů a oktaedrů. Střídáním těchto vrstev různými způsoby lze získat nekonečné množství jedinečných buněk.

Mnohostěny vyplňující prostor

Trojrozměrné plástve, které mají všechny buňky identické, včetně symetrie, jsou označovány jako buněčně tranzitivní nebo izochorické . O buňce takových voštin se mluví jako o mnohostěnu vyplňujícím prostor [2] .

Pouze pět mnohostěnů vyplňujících prostor může vyplnit 3-rozměrný euklidovský prostor pouze pomocí paralelní translace. Říká se jim paralelostěny :

1. Krychlové plástve (nebo variace: kvádr , kosočtverečný šestiúhelník nebo kvádr );
2. Šestihranné hranolové plástve [3] ;
3. Kosočtverečné dvanáctistědné plástve ;
4. Protáhlé dvanáctistěnné plástve [4] ;
5. Plást z hluboce zkrácených kostek [5] .

Další pozoruhodné příklady:

• Trojhranné hranolové plástve .
• Jednotné rotované trojhranné hranolové plástve
• Zkrácené triakistetraedrické plástve . Buňky Voronoiovy mozaiky uhlíkových atomů v diamantu vypadají takto [6] .
• Lichoběžníkové kosočtverečné dodekaedrické plástve [7] .
• Jednoduché izoedrické obklady [8] .

Jiné plástve se dvěma nebo více polyedry

Někdy lze zkombinovat dva [9] nebo více různých polytopů, aby vyplnily prostor. Známým příkladem je Weir-Phelanova struktura , vypůjčená ze struktury krystalů hydrátu klatrátu [10] .

Weir-Phelanova struktura (se dvěma typy buněk)

Nekonvexní 3D plástve

Zdokumentované příklady jsou vzácné. Lze rozlišit dvě třídy:

• nekonvexní buňky nacpané bez překrytí, podobné konkávním polygonovým obkladům; zahrnují balení malé hvězdicovité kosočtverečné dvanáctistěny jako v Yoshimotově krychli ;
• mozaiky s překryvnými buňkami, ve kterých se kladné a záporné hustoty „ničí“ za vzniku kontinua rovnoměrné hustoty, podobně jako mozaiky s překrytím na rovinách.

Hyperbolické plástve

V trojrozměrném hyperbolickém prostoru závisí dihedrální úhel mnohostěnu na velikosti mnohostěnu. Pravidelné hyperbolické plástve zahrnují dva typy se čtyřmi nebo pěti dvanáctistěny , které sdílejí okraje. Jejich dihedrální úhly by pak byly π/2 a 2π/5, oba menší než u euklidovského dvanáctistěnu. Kromě tohoto efektu splňují hyperbolické plástve stejná omezení jako euklidovské plástve a mnohostěny.

Zkoumány jsou 4 typy kompaktních pravidelných hyperbolických voštin a mnoho homogenních hyperbolických voštin .

Dualita plástů ve třech rozměrech

Pro všechny články existují duální články, které lze vyměnit:

Pro správné buňky:

• Kubické plástve jsou samoduální.
• Voštiny sestávající z oktaedrů a čtyřstěnů jsou duální s plástvemi kosočtvercových dvanáctistěnů.
• Vrstvené voštiny získané z stejnoměrných plošných obkladů jsou dvojí než voštiny získané z dvojitých obkladů.
• Dvojité plástve ke zbytku archimédských plástů jsou buněčně tranzitivní a jsou popsány v Inchbaldově článku [11] .

Samodvojné plástve

Plásty mohou být samoduální . Všechny n - rozměrné hyperkubické plástve se Schläfliho symboly {4,3 n −2 ,4} jsou autoduální.

Viz také

• Seznam jednotných obkladů
• Seznam pravidelných vícerozměrných polytopů a sloučenin § Dlaždice euklidovského trojrozměrného prostoru

Poznámky

1. ↑ Grünbaum, 1994 .
2. ↑ Weisstein, Eric W. Mnohostěn vyplňující prostor  na webu Wolfram MathWorld .
3. ↑ [1] Archivováno 4. března 2016 na Wayback Machine Homogenní hranoly vyplňující prostor založené na trojúhelníku, čtverci a šestiúhelníku
4. ↑ [2] Archivováno 3. března 2016 na Wayback Machine Homogenní prostor vyplňující kosočtverečné-šestihranné dvanáctistěny
5. ↑ [3] Archivováno 14. ledna 2006 na Wayback Machine Homogenní komolý oktaedry vyplňující prostor
6. ↑ Voronoi mnohostěn
7. ↑ Qian, Strahs, Schlick, 2001 , str. 1843–1850
8. ↑ Delgado-Friedrichs, O'Keeffe, 2005 , s. 358-362.
9. ↑ Archivovaná kopie (odkaz není dostupný) . Získáno 16. 5. 2012. Archivováno z originálu 30. 6. 2015.  (neurčitý)  Gabbrielli, Ruggero. Třináctistěnný mnohostěn, který vyplňuje prostor svou chirální kopií.
10. ↑ Pauling, 1960 .
11. ↑ Inchbald, 1997 , s. 213–219.

Literatura

• HS M Coxeter . Kapitola 8: Transakce //Pravidelné polytopy . — 3. vydání. - New York: Dover Publications Inc., 1973. - S.  145-154 . — ISBN 0-486-61480-8 .
• Williams, R. Kapitola 5: Polyhedra packing and space fill // The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design . - New York: Dover Publications , 1979. - s  . 164-199 .
• K. Critchlow. Pořádek ve vesmíru. - New York: Thames & Hudson Inc., 1997. - ISBN 0-500-34033-1 .
• Branko Grunbaum. Jednotné obklady 3-prostoru // Geombinatorials . - 1994. - Vydání. 4(2) .
• P. Pearce. Struktura v přírodě je strategií designu. — Cambridge, Massachusetts, Londýn: MIT press, 1978.
• Xiaoliang Qian, Daniel Strahs, Tamar Schlick. Nový program pro optimalizaci modelů periodických hranic solvatovaných biomolekul (PBCAID). // Journal of Computational Chemistry. - 2001. - T. 22 , no. 15 .
• O. Delgado-Friedrichs, M. O'Keeffe. Izoedrické jednoduché obklady: binodální a po dlaždicích s <16 plochami  // Acta Cryst. - 2005. - Vydání. A61 .
• Linus Pauling. Povaha chemické vazby . - Cornell University Press, 1960. - ISBN 0-8014-0333-2 .
• G. Inchbald. The Archimedan Honeycomb duals // The Mathematical Gazette. - 1997. - Vydání. 81 , červenec .

Odkazy

• Slovník pro hyperprostor
• Pět mnohostěnů vyplňujících prostor , Guy Inchbald
• The Archimedean honeycomb duals , Guy Inchbald, The Mathematical Gazette 80 , listopad 1996, str. 466-475.
• Raumfueller (Space fill polyhedra) od TE Dorozinski

Základní konvexní pravidelné a jednotné plástve v prostorech dimenzí 2–10

Rodina / / Homogenní mozaika {3 [3] } δ3 _ hδ 3 qδ 3 Šestihranný Homogenní konvexní plástve {3 [4] } δ4 _ hδ 4 qδ 4 jednotná pětirozměrná plástev {3 [5] } δ5 _ hδ 5 qδ 5 Plástev o 24 buňkách jednotná šestirozměrná plástev {3 [6] } δ6 _ hδ 6 qδ 6 jednotná sedmirozměrná plástev {3 [7] } δ7 _ hδ 7 qδ 7 222 _ jednotná osmirozměrná plástev {3 [8] } δ8 _ hδ 8 qδ 8 1 33 • 3 31 jednotná devítirozměrná plástev {3 [9] } δ9 _ hδ 9 qδ 9 1 52 • 2 51 • 5 21 Jednotné n -rozměrné plástve {3 [n] } δn _ hδn _ qδn _ 1 k2 • 2 k1 • k 21