Speciální funkce
Speciální funkce jsou funkce vyskytující se v různých aplikacích matematiky (nejčastěji v různých úlohách matematické fyziky), které nejsou vyjádřeny pomocí elementárních funkcí . Speciální funkce jsou reprezentovány jako řady nebo integrály .
Speciální funkce obvykle vyplývají z následujících úkolů:
- "nepřevzaté" integrály;
- řešení transcendentálních rovnic , které nejsou vyjádřeny v elementárních funkcích;
- řešení diferenciálních rovnic , které nejsou vyjádřeny v elementárních funkcích;
- řady , které nekonvergují k elementárním funkcím;
- matematické vyjádření vlastností čísel;
- potřeba specifikovat funkci s neobvyklými vlastnostmi.
Toto dělení není striktní, protože například většina neelementárních řešení diferenciálních rovnic byla vyjádřena v termínech nepochopeného integrálu nebo jako řada. Proto neexistuje žádná přísná klasifikace transcendentálních funkcí
Většina speciálních funkcí je transcendentální .
Integrální funkce
Mezi takové speciální funkce patří: funkce beta , funkce gama , integrální logaritmus , integrální exponent , integrál pravděpodobnosti , integrál sinus , integrální kosinus , eliptické funkce , Fresnelovy integrály .
Funkce řady
Mezi takové funkce patří hypergeometrické funkce , zeta funkce , polylogaritmy .
Neelementární řešení diferenciálních rovnic
Mezi tyto speciální funkce patří: sférické funkce , cylindrické funkce , Airy funkce , parabolické funkce válce , Mathieuovy funkce , Besselovy funkce .
Neobvyklé vlastnosti
Existuje mnoho funkcí s neobvyklým chováním, navržených pro různé účely. Toto je Dirichletova funkce , Heavisideova funkce .
Funkce vyjadřující vlastnosti čísel
Tyto funkce obvykle souvisí s nejjednoduššími vlastnostmi čísel. Především to zahrnuje speciální aritmetické funkce , znaménko čísla , faktoriál .
Viz také
- The Bateman Project je projekt na vytvoření vícesvazkové encyklopedie o teorii speciálních funkcí
Literatura
- Matematický encyklopedický slovník, - libovolné vydání.
- Olver F. Úvod do asymptotických metod a speciálních funkcí, - M.: Nauka, 1978.
- Bateman G., Erdeyi A. Vyšší transcendentální funkce: Hypergeometrické funkce. Funkce Legendre. — M.: Nauka, 1965. Per. red.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Vyšší transcendentální funkce. sv. 1 - 1953.
- Bateman G., Erdelyi A. Vyšší transcendentální funkce: Besselovy funkce, funkce parabolického válce, ortogonální polynomy. — M.: Nauka, 1966. Per. red.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Vyšší transcendentální funkce. sv. 2 - 1953.
- Bateman G., Erdeyi A. Vyšší transcendentální funkce: Eliptické a automorfní funkce. Funkce Lame a Mathieu. — M.: Nauka, 1967. Per. red.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Vyšší transcendentální funkce. sv. 3 - 1955.
- Bateman G., Erdeyi A. Tabulky integrálních transformací: Fourierova, Laplaceova, Mellinova transformace. — M.: Nauka, 1969. Per. red.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Tabulky integrálních transformací. sv. 1 - 1954.
- Bateman G., Erdeyi A. Tabulky integrálních transformací: Besselovy transformace. Integrály speciálních funkcí. — M.: Nauka, 1970. Per. red.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Tabulky integrálních transformací. sv. 2 - 1954.
- Luke Yu. Speciální matematické funkce a jejich aproximace. — M.: Mir, 1980.
Odkazy