Stupně volnosti (fyzika)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 23. září 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Stupně volnosti - charakteristika pohybu mechanické soustavy . Počet stupňů volnosti určuje minimální počet nezávislých proměnných (zobecněných souřadnic) potřebných k úplnému popisu stavu mechanického systému. Přísná teoretická a mechanická definice: počet stupňů volnosti mechanického systému je rozměr prostoru jeho stavů , s přihlédnutím k uloženým omezením.

Počet stupňů volnosti se také rovná celkovému počtu nezávislých rovnic druhého řádu (jako jsou Lagrangeovy rovnice ) nebo polovině počtu rovnic prvního řádu (jako jsou kanonické Hamiltonovy rovnice ), které zcela popisují [1] dynamiku systému.

Stav fyzického systému

Naprostá většina fyzikálních systémů může být ne v jednom, ale v mnoha stavech, popsaných jak spojitými (například souřadnicemi těla ), tak diskrétními (například kvantová čísla elektronu v atomu ) proměnnými. Nezávislé "směry", proměnné, které charakterizují stavy systému, se nazývají stupně volnosti .

Počet stupňů volnosti se rovná minimálnímu počtu takových proměnných nutných pro úplný popis stavu systému. Například polohu matematického kyvadla lze charakterizovat jak úhlem jeho natočení kolem osy, tak dvěma souřadnicemi polohy hmotného bodu vzhledem k ose. Takové kyvadlo má však pouze jeden stupeň volnosti, a nikoli dva (jak by se mohlo zdát v druhém případě), neboť k popisu polohy tohoto systému v každém okamžiku stačí úhel natočení sám o sobě.

Příklady

Nejjednodušší mechanický systém - hmotný bod v trojrozměrném prostoru - má tři stupně volnosti, protože jeho stav je kompletně popsán třemi prostorovými souřadnicemi.
Absolutně tuhé těleso má šest stupňů volnosti , protože k úplnému popisu polohy takového tělesa stačí nastavit tři souřadnice těžiště a tři úhly, které popisují orientaci tělesa (tyto veličiny známe v každodenním životě život jako „naklánění, zvedání, otáčení“, v letectví se jim říká „naklánění, náklon , vybočení “ ) . Říká se jim také Eulerovy úhly (precese, nutace a správná rotace).
Skutečná tělesa mají obrovský počet stupňů volnosti (řádově podle počtu částic, které tvoří těleso). Ve většině situací se však ukazuje, že nejdůležitějších je jen několik „kolektivních“ stupňů volnosti, charakterizujících pohyb těžiště tělesa, rotaci tělesa, jeho deformaci , jeho makroskopické kmitání. Zbytek, mikroskopické stupně volnosti, jsou nepostřehnutelné odděleně, ale jsou vnímány všechny najednou, jako například teplota a tlak .

Zobecněné souřadnice

Pojem míry svobody je spojen s takovým pojmem, jako je dimenze. V matematice je dimenze počet nezávislých proměnných potřebných k popisu stavu objektu nebo jinými slovy k určení jeho polohy v nějakém abstraktním prostoru.

V matematickém popisu stavu fyzikálního systému N stupňů volnosti odpovídá N nezávislým proměnným, nazývaným zobecněné souřadnice .

V případě spojitých stupňů volnosti nabývají příslušné zobecněné souřadnice souvislou řadu hodnot. Lze však uvažovat i o diskrétních stupních volnosti.

Příklady

K popisu polohy kružnice v rovině stačí tři parametry: dvě souřadnice středu a poloměr, tedy prostor kružnic v rovině je trojrozměrný. Kružnici lze posouvat do libovolného bodu v rovině a měnit její poloměr, má tedy tři stupně volnosti.
Chcete-li určit souřadnice objektu na geografické mapě, musíte zadat zeměpisnou šířku a délku . Odpovídající prostor se proto nazývá dvourozměrný. Objekt může být umístěn kdekoli, takže každý objekt na mapě má dva stupně volnosti.
Chcete-li nastavit polohu letadla , musíte zadat tři souřadnice - kromě zeměpisné šířky a délky musíte znát výšku, ve které se nachází. Proto je prostor, ve kterém se letadlo nachází, trojrozměrný. K těmto třem souřadnicím lze přidat čtvrtou (čas), která popisuje nejen aktuální polohu letadla, ale také časový okamžik. Pokud k modelu přidáte orientaci ( roll , pitch , yaw ) letadla, pak se přidají další tři souřadnice a odpovídající abstraktní prostor modelu se stane sedmirozměrným.

Stupně volnosti ve statistické fyzice a termodynamice

Ve statistické fyzice a termodynamice , když mluvíme o stupních volnosti, mají někdy na mysli koncept, který je úzce spjat s výše popsaným, ale poněkud modifikovaný.

Jde o to, že v tomto případě je v první řadě zajímavá celková energie na stupeň volnosti. A každý vibrační stupeň volnosti má jak kinetickou, tak potenciální energii.

Klasická věta o rozložení energie ve stupních volnosti [2] říká: při termodynamické rovnováze je kinetická energie v průměru rovnoměrně rozložena ve všech stupních volnosti, kT /2 pro každý stupeň volnosti. V tomto případě se pro každý stupeň volnosti, který má také potenciální energii (v závislosti na dané souřadnici), přičte potenciální energie také k celkové energii systému a pro vibrační stupně volnosti se připočítává průměrná kinetická a průměrná energie. potenciální energie jsou stejné (toto tvrzení je přesné pro harmonické oscilátory, ale je to dobrá aproximace as určitou anharmonicitou).

Ukazuje se tedy, že při výpočtu vnitřní energie systému se každý vibrační stupeň volnosti bere v úvahu dvakrát. Proto se někdy pro usnadnění výpočtu používá vzorec

kTN_{f}/2,

kde se rozumí počet stupňů volnosti nikoli v obvyklém smyslu, ale ve smyslu rozložení celkové energie, to znamená, že každý vibrační stupeň volnosti se bere v úvahu dvakrát (jako „vibrační kinetický“ plus jako „ vibrační potenciál"), tedy v tomto smyslu můžeme říci, že každý vibrační stupeň volnosti odpovídá dvěma stupňům volnosti v termodynamickém smyslu. Zbývající stupně volnosti (translační a rotační) se zohledňují jednoduše, bez zdvojování (protože tyto typy pohybu odpovídají nulové - přesněji zanedbatelné - potenciální energii). $N_{f}$

Ve statistické fyzice jsou tak stupně volnosti často chápány jako souřadnice nikoli v konfiguračním prostoru , ale ve fázovém prostoru , tj. považujte zobecněné souřadnice a zobecněné hybnosti za různé stupně volnosti. V tomto případě se při klasické aproximaci (tedy s určitými výhradami - právě při dostatečně vysokých teplotách) přispívají k celkové energii - pro každou - pouze ty, které vstupují do výrazu pro energii kvadraticky. $kT/2$

Mrazivé stupně volnosti

Kvantově mechanická úvaha ukazuje, že různé stupně volnosti mohou být aktivní nebo neaktivní v následujícím smyslu: pokud má nějaký pohyb diskrétní spektrum (a diskrétní spektrum odpovídá libovolnému vázanému stavu), pak může být vybuzen (systém přejde do vyššího energetická hladina) pouze při absorbované energii větší, než je energetický rozdíl mezi prvním excitovaným stavem a základním stavem (excitační energie). Pokud je tedy systém (molekula, atom) zpočátku v základním stavu a dojde k interakci s částicí, která může vydat pouze energii menší než je excitační energie (například s fotonem o nižší energii nebo s molekulou, jejíž energie pohybu je menší než tento práh), tento stupeň volnosti se nijak neprojevuje (pohyb s tím spojený nemůže vzniknout, přesněji řečeno se nemůže změnit, tento stupeň volnosti zůstává v základním stavu). Tomu se říká stupeň volnosti zmrazení (samozřejmě i ve stejném systému mohou mít různé stupně volnosti stejné nebo různé excitační energie, a proto mohou být zmrazeny nebo nezmrazeny, aby interagovaly s částicemi různých energií).

To plně platí pro projev různých stupňů volnosti při různých teplotách.

Energie pohybu částic má totiž při určité teplotě průměrnou hodnotu řádu k T , takže všechny stupně volnosti, jejichž excitační energie je mnohem vyšší, budou zmrazeny (ve statistikách je lze ignorovat ). V tomto ohledu je pro každý konkrétní stupeň volnosti každého systému (atomu, molekuly, krystalu atd.) zaveden koncept teploty tuhnutí (rovnající se excitační energii dělené Boltzmannovou konstantou ) . Při teplotách mnohem nižších než je teplota mrazu se stupeň volnosti neprojevuje (je v základním stavu a lze jej většinou jednoduše jakkoli ignorovat), při mnohem vyšších teplotách je stupeň volnosti zcela „zapnutý“ a pohyb po ní lze považovat za klasický, při teplotách řádově teploty mrazu, postupné [3] zařazování stupně volnosti při vzestupu teploty nebo postupné vypínání při jejím poklesu.

Popsané vysvětluje změnu tepelné kapacity různých látek s teplotou. Klasická statistická fyzika hovoří o rovnoměrném rozložení energie ve stupních volnosti (zde je pojem stupeň volnosti chápán v termodynamickém smyslu, viz výše ). Je však zřejmé, že ve skutečnosti (s přihlédnutím ke kvantově mechanické korekci) by se toto tvrzení mělo vztahovat pouze na „zapnuté“ stupně volnosti, tedy s výjimkou těch zmrazených. Proto bude molární tepelná kapacita

c={\frac {1}{2}}kN_{f},

kde k je Boltzmannova konstanta, N f je počet stupňů volnosti daného typu v uvažovaném systému (zejména, pokud mluvíme o množině molekul, kde N je počet molekul, i je počet stupňů volnosti jedné molekuly). $N_{f}=Ni,$

Stupně volnosti molekuly

Vzorec pro vnitřní energii ideálního plynu [4] :

U={\frac {i}{2}}\cdot {\frac {m}{\mu }}RT

a přímo související vzorec pro průměrnou energii molekuly ideálního plynu

U_{1}={\frac {i}{2}}kT

kde

i

je počet stupňů volnosti molekuly plynu,

\nu ={\frac {m}{\mu ))

- množství plynu ( - hmotnost , - molární hmotnost plynu),

m

\mu

R

je univerzální plynová konstanta ,

k

je Boltzmannova konstanta ,

T

je absolutní teplota plynu.

Stupně volnosti molekuly jsou zmrazeny, jak je popsáno v odstavci výše, což znamená, že efektivní i ve vzorci závisí na teplotě a obecně řečeno nelze jednoduše vypočítat klasickým mechanickým způsobem.

Všechny rotační stupně volnosti pro monatomické molekuly a rotační stupeň volnosti odpovídající rotaci kolem podélné osy pro lineární (ve skutečném geometrickém smyslu) molekuly jsou zmrazeny (to znamená, že by neměly být brány v úvahu v i ) vždy, protože jejich teploty mrazu jsou tak vysoké, že k disociaci molekul dochází mnohem dříve, než je těchto teplot dosaženo.

Viz také

Poznámky

↑ Implikujíce klasickou dynamiku, zde znamenají pohybové rovnice . Nicméně alespoň v principu lze pro kvantový popis použít operátorové rovnice, které se ve formě prakticky shodují.
↑ Ve své čisté podobě je pravdivá pouze v klasické (tedy nekvantové) aproximaci a při snaze ji zcela důsledně aplikovat vede k nesouladu se zkušeností a dokonce i paradoxům, jako je ultrafialová katastrofa ; nicméně zůstává důležitý i pro kvantový případ, i když pak by se jeho formulace měla výrazně změnit. Viz také dále v tomto článku (z něhož vyplývá, že s přiměřenou rezervou na kvantové korekce lze použít i čistě klasickou větu.
↑ Postupné díky plynulosti rozvodu tepla.
↑ Nikerov. V. A. Fyzika: učebnice a workshop pro akademické pregraduální studenty. - Yurayt, 2015. - S. 127-129. - 415 s. - ISBN 978-5-9916-4820-2 .

Slovníky a encyklopedie	Skvělý norský Britannica (online)
V bibliografických katalozích	J9U : 987007545601105171 LCCN : sh85036480