Fázový prostor

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 11. února 2017; kontroly vyžadují 26 úprav .

Fázový prostor v matematice a fyzice  je prostor , jehož každý bod odpovídá jednomu a pouze jednomu stavu z množiny všech možných stavů soustavy . Bod v prostoru odpovídající stavu systému se pro něj nazývá „ zobrazující “ nebo „ reprezentující “. Změnu stavů systému, tj. jeho dynamiku  , lze tedy srovnat s pohybem reprezentujícího bodu; trajektorie tohoto bodu se nazývá fázová trajektorie (je třeba poznamenat, že není totožná se skutečnou trajektorií pohybu) a rychlost takového zobrazovacího bodu se nazývá fázová rychlost . [A:1] [1]

Koncept fázového prostoru byl vyvinut na konci 19. století Ludwigem Boltzmannem , Henri Poincaré a Willardem Gibbsem . [A:2]

Obecná ustanovení

Zpravidla se volí prostory s euklidovskou metrikou s použitím kartézských nebo polárních souřadnicových systémů.

U systémů s jedním stupněm volnosti se fázový prostor degeneruje do fázové roviny .

Fázové trajektorie

Pomocí rovnic trajektorie ve fázovém prostoru (fázová rovina) se sestaví integrální křivky pro studovaný systém , tj. křivky ve fázovém prostoru tak, že v každém bodě má tečna sklon daný rovnicí trajektorie. Geometrické konstrukce integrálních křivek se nazývá „ kvalitativní integrace rovnic “. [2]

Pojmy " integrální křivka " a " fázové trajektorie " by měly být obecně rozlišovány, " protože se může stát, že jedna integrální křivka sestává nikoli z jedné, ale z několika fázových trajektorií najednou ." [3]

Vzor křivek ve fázovém prostoru (ve fázové rovině) lze popsat takto:

Potřebu rozlišovat mezi těmito dvěma způsoby reprezentace stejné rodiny křivek lze demonstrovat na příkladu nejjednoduššího konzervativního systému popsaného formou rovnice . [čtyři]

Celá fázová trajektorie je křivka ve fázovém prostoru, která je popsána reprezentujícím bodem po celou dobu jejího pohybu (od do ). [3]

Fázový portrét

Fázový portrét studovaného systému je soubor fázových trajektorií pro všechny možné počáteční podmínky . [3] Lze na ni nahlížet jako na integrální varietu . [A:3]

Protože se při studiu chování systému zajímají především stacionární pohyby v systému, [2] lze fázový portrét považovat také za rozdělení fázového prostoru do oblastí přitažlivosti stacionárních řešení. [A:1]

Klasifikace povahy singulárních bodů soustavy rovnic může být provedena na základě znaků fázového portrétu, protože alespoň pro některé soustavy je každý singulární bod soustavy diferenciálních rovnic také singulárním bodem v smysl používaný v diferenciální geometrii . [čtyři]

F.p. obvykle se nějak deformuje při změně parametrů systému . Kvalitativní změna v f.p. odpovídá zániku stávajících a zrodu nových stacionárních řešení a taková změna f.p. se nazývá bifurkační situace . [A:1]

Pro usnadnění je studium fázového portrétu systému rozděleno [4] na studium povahy pohybů systému:

Při studiu fázového portrétu je především zajímavý obecný topologický obraz pohybů ve fázové rovině . [čtyři]

Fázová rychlost

Fázová rychlost  je rychlost, kterou se mění stav systému; odpovídá rychlosti pohybu reprezentujícího bodu ve fázovém prostoru. [čtyři]

Pro výpočet velikosti fázové rychlosti se zavádí pojem „ vektor fázového poloměru “, jak se to dělá v klasické mechanice. [3]

Například pro nejjednodušší konzervativní systém popsaný rovnicí se rychlost reprezentujícího bodu vypočítá jako:

a bude všude jednoznačně definován a zmizí pouze v singulárním bodě. [4] Modul fázové rychlosti bude v tomto případě vypočítán jako:

,

kde:

 a  .

Výpočet fázové rychlosti umožňuje přesněji sledovat změny v systému. Takže například v případě bifurkace sedlového uzlu lze najít oblast stavů systému, ve které dochází k významnému poklesu modulu fázové rychlosti. [A:1]

Vlastnosti systémů různých typů

Mechanické systémy

V klasické mechanice , hladké manifolds slouží jako fázové prostory . V případě mechanických systémů se jedná o sudý prostor, jehož souřadnice jsou obvyklé prostorové souřadnice (nebo zobecněné souřadnice ) částic systému a jejich hybnost (nebo zobecněná hybnost ). Navíc v mechanice je pohyb reprezentativního bodu určen relativně jednoduchými Hamiltonovými rovnicemi , jejichž analýza umožňuje vyvodit závěry o chování složitých mechanických systémů. [5]

Například fázový prostor pro systém sestávající z jednoho volného hmotného bodu má 6 rozměrů, z nichž tři jsou tři běžné souřadnice a tři další jsou složky hybnosti. V souladu s tím bude fázový prostor pro systém dvou volných hmotných bodů obsahovat 12 dimenzí a tak dále.

Termodynamika a statistická mechanika

V termodynamice a statistické mechanice má termín „fázový prostor“ dva významy: 1) používá se ve stejném smyslu jako v klasické mechanice; 2) může také odkazovat na prostor, který je parametrizován makroskopickými stavy systému, jako je tlak, teplota atd.

Dynamické systémy

V teorii dynamických systémů a teorii diferenciálních rovnic je fázový prostor obecnějším pojmem. Není nutně sudá a dynamika v ní nemusí být nutně dána Hamiltonovými rovnicemi .

Případ více systémů

Pokud vezmeme v úvahu několik stejných systémů, musíme určit několik bodů ve fázovém prostoru. Úhrn těchto systémů se nazývá statistický soubor . Podle Liouvilleovy věty se uzavřená křivka (nebo plocha) skládající se z bodů ve fázovém prostoru hamiltonovského systému vyvíjí tak, že plocha (nebo objem) v ní obsaženého fázového prostoru je zachována v čase.

Příklady

Koncept fázového prostoru je široce používán v různých oblastech fyziky. [B: 1] [B: 2] Ukázalo se, že je to velmi užitečné pro studium jevů bifurkační paměti . [A:1]

Interpretace stavu pohybujícího se objektu jako bodu ve fázovém prostoru řeší Zenónův paradox . (Paradoxem je, že pokud popíšeme stav objektu jeho polohou v konfiguračním prostoru, pak se objekt nemůže pohybovat.)

Harmonický oscilátor

Nejjednodušší autonomní oscilační systém se nazýval „ harmonický oscilátor “; jeho dynamika je popsána lineární diferenciální rovnicí ve tvaru:

Takový systém dělá periodické sinusové (harmonické) pohyby; kmitavý pohyb nenastává pouze v případě a , tedy když je oscilátor v počátečním okamžiku v rovnovážném stavu  - v tomto případě v něm dále setrvává. Souřadnicová rovnice fázové trajektorie takového systému definuje integrální křivky ve formě rodiny podobných (s konstantním poměrem os) elips a přes každý bod f.p. prochází jedinou elipsou. Uvedený rovnovážný stav je singulárním bodem tohoto systému, konkrétně středem . [3]

Kvantový oscilátor

Fázový prostor stavů kvantového oscilátoru umožňuje popsat kvantový šum zesilovače z hlediska nejistot hermitovských a antihermitovských složek pole; v tomto případě není vyžadován předpoklad linearity transformace fázového prostoru prováděného zesilovačem. [A:4] Derivace přenosové funkce zesilovače definují spodní hranici úrovně kvantového šumu. Zhruba řečeno, čím složitější transformace, tím větší je kvantový šum.

Fázový prostor umožňuje sestrojit jednotný formalismus pro klasickou a kvantovou mechaniku. [A:5] Evoluční operátor je formulován v podmínkách Poissonovy závorky; v kvantovém případě je tato závorka obyčejný komutátor. V tomto případě jsou klasická a kvantová mechanika postaveny na stejných axiomech; jsou formulovány termíny, které dávají smysl jak v klasické, tak v kvantové mechanice.

Teorie chaosu

Klasické příklady fázových diagramů z teorie chaosu jsou:

Optika

Fázový prostor je široce používán v nezobrazovací optice , [B: 3]  je odvětví optiky věnované osvětlení a solárním panelům. Je to také důležitý pojem v hamiltonovské optice .

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Andronov, 1981 , str. 38-41.
  2. ↑ 1 2 Andronov, 1981 , Úvod, s. 15-34.
  3. ↑ 1 2 3 4 5 Andronov, 1981 , Kapitola I. Lineární systémy, str. 35-102.
  4. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 Andronov, 1981 , kapitola II. Konzervativní nelineární systémy, str. 103-167.
  5. ↑ V. I. Arnold , V. V. Kozlov , A. I. Neishtadt , Matematické aspekty klasické a nebeské mechaniky , Dynamické systémy - 3, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Moderní prob. rohož. Fundam. směry, 3, VINITI, M., 1985, 5-290.

Literatura

  1. ↑ Andronov A. A. , Witt A. A. , Khaikin S. E. Teorie oscilací. - 2. vyd., přepracováno. a opraveno - M .: Nauka , 1981. - 918 s.
  2. ↑ Lichtenberg A. Dynamika částic ve fázovém prostoru. — M .: Atomizdat , 1972. — 304 s.
  3. ↑ Julio Chaves. Úvod do nezobrazovací  optiky . - Druhé vydání. - CRC Press , 2015. - 786 s. — ISBN 978-1482206739 . Archivováno 18. února 2016 na Wayback Machine
  1. ↑ 1 2 3 4 5 Feigin M.I. Projev bifurkačních paměťových efektů v chování dynamického systému  // Soros Educational Journal  : Journal. - 2001. - T. 7 , č. 3 . - S. 121-127 . Archivováno z originálu 30. listopadu 2007.
  2. ↑ Nolte, DD Zamotaný příběh fázového prostoru  //  Physics Today: Journal. - 2010. - Sv. 63 , č. 4 . — S. 31–33 . - doi : 10.1063/1.3397041 .
  3. ↑ Neishtadt, Anatoly. Zpoždění ztráty stability pro dynamickou bifurkaci  (anglicky)  // Diskrétní a spojité Dymanické systémy - Série S: Journal. - 2009. - Sv. 2 , ne. 4 . - S. 897-909 . — ISSN 1937-1632 . - doi : 10.3934/dcdss.2009.2.897 .
  4. ↑ Kuznetsov D. , Roilich D. Kvantový šum v mapování fázového prostoru  // Optics and Spectroscopy  : journal. - 1997. - T. 82 , č. 6 . - S. 990-995 .
  5. ↑ Shirokov Yu.M. Kvantová a klasická mechanika v reprezentaci fázového prostoru  // ECHAYA  : journal. - 1979. - T. 10 , č. 1 . — S. 5–50 .

Odkazy