Diferenciální rovnice

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. ledna 2022; kontroly vyžadují 6 úprav .

Diferenciální rovnice  je rovnice , která kromě funkce obsahuje její derivace . Pořadí derivací zahrnutých v rovnici může být různé (formálně není ničím omezeno). Deriváty, funkce, nezávislé proměnné a parametry mohou být v rovnici zahrnuty v různých kombinacích nebo mohou zcela chybět, s výjimkou alespoň jedné derivace. Žádná rovnice obsahující derivace neznámé funkce není diferenciální. Například není diferenciální rovnice [1] .

Na rozdíl od algebraických rovnic , v jejichž důsledku se hledá číslo (několik čísel), při řešení diferenciálních rovnic se hledá funkce (skupina funkcí).

Diferenciální rovnice řádu vyššího než první může být transformována do systému rovnic prvního řádu, ve kterém je počet rovnic roven řádu původní diferenciální rovnice.

Moderní vysokorychlostní počítače efektivně poskytují numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic, aniž by vyžadovaly jejich řešení v analytické formě. To umožňuje některým výzkumníkům tvrdit, že řešení problému bylo získáno, pokud bylo možné jej zredukovat na řešení obyčejné diferenciální rovnice .

Zobecněním pojmu diferenciální rovnice na případ nekonečné množiny proměnných je rovnice ve funkčních derivacích .

Terminologie a klasifikace

Řád diferenciální rovnice  je nejvyšším řádem jejích derivací.

Je-li diferenciální rovnice polynomem vzhledem k nejvyšší derivaci, pak se stupeň tohoto polynomu nazývá stupeň diferenciální rovnice . Takže například rovniceje rovnice druhého řádu, čtvrtého stupně[2].

Řešení ( integrál ) diferenciální rovnice řádu je funkce , která má derivace až do řádu včetně na určitém intervalu a splňuje tuto rovnici. Proces řešení diferenciální rovnice se nazývá integrace . Problém integrace diferenciální rovnice se považuje za vyřešený, pokud lze nalezení neznámé funkce přivést do kvadratury (tj. do tvaru , kde  je elementární funkce), bez ohledu na to, zda je výsledný integrál vyjádřen v konečném tvaru v jednotkách známých funkcí nebo ne.

Všechny diferenciální rovnice lze rozdělit na obyčejné diferenciální rovnice (ODR), které zahrnují pouze funkce (a jejich deriváty) jednoho argumentu , a parciální diferenciální rovnice (PDE ), ve kterých vstupní funkce závisí na mnoha proměnných. Existují také stochastické diferenciální rovnice (SDE) zahrnující stochastické procesy .

V závislosti na kombinacích derivací, funkcí, nezávislých proměnných se diferenciální rovnice dělí na lineární a nelineární, s konstantními nebo proměnnými koeficienty, homogenní nebo nehomogenní. Vzhledem k důležitosti aplikací jsou kvazilineární (lineární vzhledem k vyšším derivacím) parciální diferenciální rovnice vyčleněny do samostatné třídy [3] .

Nejdůležitější otázkou pro diferenciální rovnice je existence a jednoznačnost jejich řešení. Řešení této otázky je dáno větami o existenci a jednoznačnosti, které k tomu udávají nutné a postačující podmínky. Pro obyčejné diferenciální rovnice takové podmínky formuloval Rudolf Lipschitz (1864). Pro parciální diferenciální rovnice byla odpovídající věta prokázána Sophií Kovalevskou (1874).

Řešení diferenciálních rovnic se dělí na obecná a partikulární řešení. Obecná řešení zahrnují nedefinované konstanty a pro parciální diferenciální rovnice libovolné funkce nezávislých proměnných, které lze zpřesnit z dalších integračních podmínek (počáteční podmínky pro obyčejné diferenciální rovnice, počáteční a okrajové podmínky pro parciální diferenciální rovnice). Po určení tvaru indikovaných konstantních a neurčitých funkcí se řešení stávají partikulárními.

Hledání řešení obyčejných diferenciálních rovnic vedlo k ustavení třídy speciálních funkcí  – funkcí, které se často vyskytují v aplikacích a nelze je vyjádřit pomocí známých elementárních funkcí. Detailně se studovaly jejich vlastnosti, sestavovaly se tabulky hodnot, určovaly se vzájemné vztahy a tak dále.

Rozvoj teorie diferenciálních rovnic umožnil v řadě případů opustit požadavek na spojitost zkoumaných funkcí a zavést zobecněná řešení diferenciálních rovnic.

Historie

Zpočátku diferenciální rovnice vznikly z problémů mechaniky , ve kterých bylo požadováno určit souřadnice těles , jejich rychlosti a zrychlení , považované za funkce času pod různými vlivy. Některé z tehdy uvažovaných geometrických problémů vedly také k diferenciálním rovnicím.

Základem teorie diferenciálních rovnic byl diferenciální počet vytvořený Leibnizem a Newtonem (1642-1727). Samotný termín „diferenciální rovnice“ navrhl v roce 1676 Leibniz.

Z obrovského množství prací 18. století o diferenciálních rovnicích vynikají práce Eulera (1707-1783) a Lagrangeho (1736-1813). V těchto pracích byla nejprve vyvinuta teorie malých kmitů a následně teorie lineárních systémů diferenciálních rovnic; podél cesty vznikly základní pojmy lineární algebry (vlastní čísla a vektory v n - rozměrném případě). Po Newtonovi , Laplaceovi a Lagrangeovi a později Gaussovi (1777-1855) také vyvinuli metody perturbační teorie.

Když byla prokázána neřešitelnost algebraických rovnic v radikálech, Joseph Liouville (1809-1882) zkonstruoval podobnou teorii pro diferenciální rovnice, čímž stanovil nemožnost řešení řady rovnic (zejména takových klasických, jako jsou lineární rovnice druhého řádu). elementární funkce a kvadratura. Později Sophus Lie (1842-1899), analyzující otázku integrace rovnic v kvadraturách, dospěl k potřebě podrobně studovat skupiny difeomorfismů (později nazývané Lieovy grupy ) - tak vznikla jedna z nejplodnějších oblastí moderní matematiky. v teorii diferenciálních rovnic, jejíž další vývoj úzce souvisí se zcela odlišnými otázkami (Lieovými algebrami se zabývali ještě dříve Simeon-Denis Poisson (1781-1840) a zejména Carl Gustav Jacobi (1804-1851) ).

Nová etapa ve vývoji teorie diferenciálních rovnic začíná dílem Henriho Poincareho (1854-1912), „kvalitativní teorie diferenciálních rovnic“, kterou vytvořil, spolu s teorií funkcí komplexních proměnných tvoří základ moderní topologie . Kvalitativní teorie diferenciálních rovnic nebo, jak se nyní běžněji nazývá, teorie dynamických systémů , se nyní aktivně rozvíjí a má důležité aplikace v přírodních vědách.

Obyčejné diferenciální rovnice

Obyčejné diferenciální rovnice (ODR) jsou rovnice, které závisí na jedné nezávisle proměnné; vypadají jako

nebo

kde  je neznámá funkce (případně vektorová funkce ; v tomto případě se často mluví o soustavě diferenciálních rovnic), v závislosti na nezávisle proměnné prvočíslo znamená derivaci vzhledem k Číslo se nazývá řád diferenciální rovnice. Nejdůležitější v praxi jsou diferenciální rovnice prvního a druhého řádu.

Nejjednodušší diferenciální rovnice prvního řádu

Nejjednodušší diferenciální rovnice prvního řádu  jsou třídou diferenciálních rovnic prvního řádu, které lze nejsnáze řešit a studovat. Zahrnuje rovnice totálních diferenciálů , rovnice se separovatelnými proměnnými, homogenní rovnice prvního řádu a lineární rovnice prvního řádu. Všechny tyto rovnice lze integrovat do konečné podoby.

Východiskem prezentace bude diferenciální rovnice prvního řádu, napsaná v tzv. symetrický tvar:

kde funkce a jsou definovány a spojité v nějaké doméně .

Parciální diferenciální rovnice

Parciální diferenciální rovnice (PDE) jsou rovnice obsahující neznámé funkce více proměnných a jejich parciální derivace . Obecný tvar takových rovnic může být reprezentován jako:

kde  jsou nezávislé proměnné a  je funkcí těchto proměnných. Pořadí parciálních diferenciálních rovnic lze určit stejným způsobem jako u obyčejných diferenciálních rovnic. Další důležitou klasifikací parciálních diferenciálních rovnic je jejich rozdělení na rovnice eliptického, parabolického a hyperbolického typu, zejména pro rovnice druhého řádu.

Lineární a nelineární diferenciální rovnice

Jak obyčejné diferenciální rovnice, tak parciální diferenciální rovnice lze rozdělit na lineární a nelineární . Diferenciální rovnice je lineární, pokud neznámá funkce a její derivace vstupují do rovnice pouze s první mocninou (a vzájemně se nenásobí). Pro takové rovnice tvoří řešení afinní podprostor prostoru funkcí. Teorie lineárních diferenciálních rovnic byla vyvinuta mnohem hlouběji než teorie nelineárních rovnic. Obecný tvar lineární diferenciální rovnice n-tého řádu:

kde p i ( x )  jsou známé funkce nezávisle proměnné, nazývané koeficienty rovnice. Funkce r ( x ) na pravé straně se nazývá průsečík (jediný člen, který nezávisí na neznámé funkci). Důležitou zvláštní třídou lineárních rovnic jsou lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty .

Podtřídou lineárních rovnic jsou homogenní diferenciální rovnice  - rovnice, které neobsahují volný člen: r ( x ) = 0 . Pro homogenní diferenciální rovnice platí princip superpozice : lineární kombinace parciálních řešení takové rovnice bude také jejím řešením. Všechny ostatní lineární diferenciální rovnice se nazývají nehomogenní diferenciální rovnice .

Nelineární diferenciální rovnice v obecném případě nemají vyvinuté metody řešení, s výjimkou některých konkrétních tříd. V některých případech (s použitím určitých aproximací) mohou být redukovány na lineární. Například nelineární rovnici matematického kyvadla v případě malých amplitud, kdy sin yy , lze považovat za lineární rovnici harmonického oscilátoru

Příklady

V následující skupině příkladů neznámá funkce u závisí na dvou proměnných x a t nebo x a y .

Nejdůležitější diferenciální rovnice

Obyčejné diferenciální rovnice

Parciální diferenciální rovnice

Viz také

Software

Poznámky

  1. Arnold V. I.  Obyčejné diferenciální rovnice. - M .: Nauka, 1971, s. 16
  2. Alibekov  I. Yu . Numerické metody, U/P . - MGIU, 2008. - S. 180. - 221 s. — ISBN 9785276014623 .
  3. Rožděstvensky B. L., Yanenko N. N. Systémy kvazilineárních rovnic a jejich aplikace na dynamiku plynů. — M.: Nauka, 1988. — 686 s.
  4. Nápověda k programování dsolve - Maple . www.maplesoft.com. Získáno 12. května 2020. Archivováno z originálu dne 23. listopadu 2013.
  5. Základní algebra a počet – výukový program Sage v9.0 . doc.sagemath.org. Staženo 12. května 2020. Archivováno z originálu dne 14. ledna 2020.
  6. [Symbolická algebra a matematika s Xcas http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf ] .

Literatura

Encyklopedie a příručky

Návody

Sešity úkolů

Odkazy