Centrální čára

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 20. ledna 2022; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Středové čáry jsou některé speciální čáry spojené s trojúhelníkem a ležící v rovině trojúhelníku. Speciální vlastnost, která rozlišuje přímky jako středové přímky , se projevuje prostřednictvím rovnice přímky v trilineárních souřadnicích . Tato speciální vlastnost také souvisí s konceptem středu trojúhelníku . Koncept centrální linie představil Clark Kimberling v článku publikovaném v roce 1994 [1] [2] .

Definice

Nechť ABC  je trojúhelník a nechť ( x  : y  : z ) jsou trilineární souřadnice libovolného bodu v rovině trojúhelníku ABC . Přímka v rovině trojúhelníku ABC bude střednicí trojúhelníku ABC , pokud její rovnice v trilineárních souřadnicích je

f ( a , b , c ) x + g ( a , b , c ) y + h ( a , b , c ) z = 0

kde bod s trilineárními souřadnicemi ( f ( a , b , c ) : g ( a , b , c ) : h ( a , b , c )) je střed rovinného trojúhelníku ABC. [3] [4] [2]

Středové čáry jako trilineární poláry

Geometricky lze vztah mezi centrální linií a jejím přidruženým středem vyjádřit pomocí termínu trilineární polární a izogonální konjugace . Nechť X = ( u ( a , b , c ) : v ( a , b , c ) : w ( a , b , c )) je střed trojúhelníku. Pak rovnice trilineární poláry trojúhelníkového středu X je [5] [2]

x / u ( a , b , c ) + y / v ( a , b , c ) y + z / w ( a , b , c ) = 0.

Podobně Y = (1 / u ( a , b , c ) : 1 / v ( a , b , c ) : 1 / w ( a , b , c )) je izogonální konjugace středu X .

Tedy středová čára popsaná rovnicí

f ( a , b , c ) x + g ( a , b , c ) y + h ( a , b , c ) z = 0,

je trilineární polární pod izogonální konjugací středu ( f ( a , b , c ): g ( a , b , c ): h ( a , b , c )).

Výstavba centrálních vedení

Nechť X  je libovolný střed trojúhelníku ABC .

• Narýsujme úsečky AX , BX a CX a sestrojme jejich odrazy vzhledem k osám úhlu trojúhelníku ve vrcholech A , B , C , resp .
• Odražené čáry se budou protínat a jejich průsečík bude izogonální konjugací Y bodu X .
• Nechť ceviany AY , BY , CY protínají opačné strany trojúhelníku ABC v bodech A' , B' , C' . Potom trojúhelník A'B'C' je cevický trojúhelník bodu Y .
• Trojúhelník ABC a cevian trojúhelník A'B'C' jsou v perspektivě a přímka DEF  je perspektivní osou těchto dvou trojúhelníků. Přímka DEF je trilineární polární bod Y . Čára DEF  je středová čára spojená se středem X .

Některé nominální středové čáry

Nechť X n  je n-tý střed trojúhelníku v Encyklopedii středisek trojúhelníků Clarka Kimberlinga . Středová čára spojená s Xn je označena jako Ln. Některé nominální středové čáry jsou uvedeny níže.

Středová čára spojená s X 1 , tedy se středem vepsané kružnice: anti-orth osa

Středová čára spojená se středem X 1 = (1 : 1 : 1) (také označovaná jako I ) je dána rovnicí

x + y + z = 0.

Tato přímka je protisměrnou osou trojúhelníku ABC . [6]

• Střed izogonálně konjugovaný se středem trojúhelníku ABC je samotný střed . Takže antiortální osa, která je středovou linií spojenou se středem , je perspektivní osou trojúhelníku ABC a ceviánským trojúhelníkem středu trojúhelníku ABC .
• Antiortální osa trojúhelníku ABC je perspektivní osou trojúhelníku ABC a trojúhelníku středů tří kružnic ( trojúhelník tří vnějších os ) I 1 I 2 I 3 trojúhelníku ABC . [7]
• Trojúhelník, jehož strany se externě dotýkají tří středů excircles trojúhelníku ABC , je externě tangenciální trojúhelník ( extangens trojúhelník ) trojúhelníku ABC . Trojúhelník ABC a jeho externě tangenciální trojúhelník jsou v perspektivě a jejich perspektivní osa je antiortální osa trojúhelníku ABC .

Centrální čára spojená s X 2 , tj. těžiště : osa Lemoine

Trilineární souřadnice těžiště X 2 (označované také jako G ) trojúhelníku ABC jsou (1 / a  : 1 / b  : 1 / c ). Středová čára spojená s těžištěm (těžištěm) v trilineárních souřadnicích je tedy dána rovnicí

x/a + y/b + z/c = 0.

Tato přímka je Lemoinovou osou trojúhelníku ABC .

• Bod izogonálně konjugovaný s těžištěm X 2 je Lemoinův bod X 6 (průsečík tří symetrických trojúhelníků) (také označovaný jako K ), který má trilineární souřadnice ( a  : b  : c ). Tak Lemoine osa trojúhelníku ABC je trilineární polára průsečíku symmedians trojúhelníku ABC .
• Tangenciální trojúhelník trojúhelníku ABC je trojúhelník T A T B T C , tvořený tečnami kružnice trojúhelníku ABC v jejích vrcholech. Trojúhelník ABC a jeho tečný trojúhelník jsou v perspektivě a jejich perspektivní osa je Lemoinova osa trojúhelníku ABC .

Středová čára spojená s X 3 , tj. se středem opsané kružnice: Ortická osa

Trilineární souřadnice středu kružnice opsané X 3 (označované také jako O ) trojúhelníku ABC jsou (cos A  : cos B  : cos C ). Tedy středová čára spojená se středem opsané kružnice v trilineárních souřadnicích je dána rovnicí

x cos A + y cos B + z cos C = 0.

Tato přímka je výškovou osou trojúhelníku ABC . [osm]

• Izogonální konjugace středu opsané kružnice X 6 je ortocentrum X 4 (označované také jako H ), které má trilineární souřadnice (sec A  : sec B  : sec C ). Výšková osa trojúhelníku ABC je tedy trilineární polára ortocentra pro trojúhelník ABC . Výšková osa trojúhelníku ABC je perspektivní osou trojúhelníku ABC a jeho orto trojúhelníku H A H B H C .

Centrální čára spojená s X 4 , tedy s ortocentrem

Trilineární souřadnice ortocentra X 4 ((také označované jako H ) trojúhelníku ABC jsou (sec A  : sec B  : sec C ). rovnice

x sek A + y sek B + z sek C = 0.

• Izogonální konjugace ortocentra trojúhelníku je středem kružnice opsané trojúhelníku. Centrální čára spojená s ortocentrem je tedy trilineární polára středu opsané kružnice.

Středová čára spojená s X 5 , to znamená se středem kruhu devíti bodů

Trilineární souřadnice středu kružnice devíti bodů X 5 (také N ) trojúhelníku ABC jsou (cos ( B − C ) : cos ( C − A ) : cos ( A − B )). [9] . Středová čára spojená se středem kružnice devíti bodů v trilineárních souřadnicích je tedy dána rovnicí

x cos ( B − C ) + y cos ( C − A ) + z cos ( A − B ) = 0.

• Izogonální konjugace devítibodového středu kruhu trojúhelníku ABC je Kosnitův bod X 54 trojúhelníku ABC . [10] [11] . Centrální čára spojená se středem devítibodového kruhu je tedy trilineární polární pro bod Kosnite.
• Bod Kosnite je konstruován následovně. Nechť O  je střed kružnice opsané trojúhelníku ABC . Nechť O A , O B , O C jsou středy opsaných kružnic  trojúhelníků BOC , COA , AOB . _ _ _ _ _ _ _ Jeho jméno je spojeno s J. Rigbym. [12]

Středová čára spojená s X 6 , to jest s průsečíkem symmediánů: čára v nekonečnu

Trilineární souřadnice průsečíku tří symediánů ( Lemoine point ) X 6 (označované také jako K ) trojúhelníku ABC je ( a  : b  : c ). Tedy středová přímka spojená s průsečíkem tří symediánů v trilineárních souřadnicích je dána rovnicí

a x + b y + cz = 0.

• Tato přímka je přímka v nekonečnu v rovině trojúhelníku ABC .
• Izogonální konjugát symediánu trojúhelníku ABC je těžištěm trojúhelníku ABC . Centrální čára spojená s průsečíkem symmediánů je tedy trilineární polární centroid. Je to perspektivní osa trojúhelníku ABC a jeho dalšího trojúhelníku (je to také střední trojúhelník = střední trojúhelník).

Některé další nominální středové čáry

Eulerova linie

Eulerova přímka trojúhelníku ABC je přímka procházející těžištěm, ortocentrem a středem kružnice opsané trojúhelníku ABC . Jeho rovnice v trilineárních souřadnicích je

x sin 2 A sin ( B − C ) + y sin 2 B sin ( C − A ) + z sin 2 C sin ( C − A ) = 0.

Toto je středová čára spojená s bodem X 647 .

Brocardova osa

Brocardova osa trojúhelníku ABC je přímka procházející středem kružnice opsané trojúhelníku a průsečíkem tří symetrických bodů trojúhelníku ABC . Jeho rovnice v trilineárních souřadnicích je

x sin ( B  - C ) + y sin ( C  - A ) + z sin ( A  - B ) = 0.

Tato centrální linka je napojena na střed X 523 .

Viz také

• Trilineární trojúhelníkové poláry
• Polární a polární

Poznámky

1. ↑ Kimberling, Clark. Centrální body a centrální přímky v rovině trojúhelníku  // Magazín Matematika  : časopis  . - 1994. - Červen ( roč. 67 , č. 3 ). - S. 163-187 . - doi : 10.2307/2690608 .
2. ↑ 1 2 3 Kimberling, Clark. Středy trojúhelníků a střední trojúhelníky  (neopr.) . - Winnipeg, Kanada: Utilitas Mathematica Publishing, Inc., 1998. - S. 285.
3. ↑ Weisstein, Eric W. Centrální linka . Z MathWorld – webový zdroj Wolfram . Staženo: 24. června 2012. (neurčitý)
4. ↑ Kimberling, Clark Glossary : Encyclopedia of Triangle Centers . Staženo: 24. června 2012. (neurčitý)
5. ↑ Weisstein, Eric W. Trilineární polární . Z MathWorld – webový zdroj Wolfram. . Staženo: 28. června 2012. (neurčitý)
6. ↑ Weisstein, Eric W. Antiorthic Axis . Z MathWorld – webový zdroj Wolfram. . Staženo: 28. června 2012. (neurčitý)
7. ↑ Weisstein, Eric W. Antiorthic Axis . Z MathWorld – webový zdroj Wolfram . Staženo: 26. června 2012. (neurčitý)
8. ↑ Weisstein, Eric W. Orthic Axis . Z MathWorld – webový zdroj Wolfram. . (neurčitý)
9. ↑ Weisstein, Eric W. Nine-Point Center . Z MathWorld – webový zdroj Wolfram. . Staženo: 29. června 2012. (neurčitý)
10. ↑ Weisstein, Eric W. Kosnita Point . Z MathWorld – webový zdroj Wolfram . Staženo: 29. června 2012. (neurčitý)
11. ↑ Darij Grinberg. O bodu Kosnita a trojúhelníku odrazu  // Forum  Geometricorum : deník. - 2003. - Sv. 3 . - str. 105-111 .
12. ↑ J. Rigby. Stručné poznámky k některým zapomenutým geometrickým  teorémům (neopr.)  // Mathematics & Informatics Quarterly. - 1997. - T. 7 . - S. 156-158 .