Hilbertův šestnáctý problém

Hilbertův šestnáctý problém  je jedním z 23 problémů , které David Hilbert navrhl 8. srpna 1900 na II. mezinárodním kongresu matematiků .

Zpočátku se problém jmenoval „Problém topologie algebraických křivek a ploch“ ( německy:  Problem der Topologie algebraischer Kurven und Flächen ).

Nyní se považuje za dělitelné na dva podobné problémy v různých oblastech matematiky:

Původní nastavení

První (algebraická) část

Maximální počet uzavřených a samostatně umístěných větví, které může mít algebraická křivka řádu n , určil Harnack {Math. Ann. 10 (1876), 189-192}. <...> Za zajímavé považuji důkladné prostudování vzájemného uspořádání maximálního počtu jednotlivých větví a také odpovídající studium počtu, povahy a uspořádání jednotlivých dutin algebraické plochy v prostoru ; ostatně ještě nebylo stanoveno, jaký je vlastně maximální počet dutin povrchu čtvrtého stupně v trojrozměrném prostoru. [1] .

Původní text  (německy)[ zobrazitskrýt] 16. Problém topologie algebraischer Curven und Flachen. Die Maximalzahl der geschlossenen und getrennt liegenden Züge, welche eine ebene algebraische Curve n -ter Ordnung haben kann, ist von Harnack {Mathematische Annalen, Bd. 10} bestimmt worden; es entsteht die weitere Frage nach der gegenseitigen Lage der Curvenzüge in der Ebene. Was die Curven 6ter Ordnung angeht, so habe ich mich - freilich auf einem recht umständlichen Wege - davon überzeugt, daß die 11 Züge, die sie nach Harnack haben kann, keinesfalls sämtlich von,ßefeneugenderlände existenssen und in dessen Aeußerem neun Züge verlaufen oder umgekehrt. Eine gründliche Untersuchung der gegenseitigen Lage bei der Maximalzahl von getrennten Zügen scheint mir ebenso sehr von Interesse zu sein, wie die entsprechende Untersuchung über die Anzahl, Gestalt und Lage der Mäntel einch einer der Mäntel einch eint die im Rainhme- algebrain entsprechende eine Fläche 4ter Ordnung des dreidimensionalen Raumes im Maximum wirklich besitzt. {Vgl. Rohn, Flächen vierter Ordnung, Preisschriften der Fürstlich Jablonowskischen Gesellschaft, Leipzig 1886} [2] .

Druhá (diferenciální) část

V souvislosti s touto čistě algebraickou otázkou se dotknu ještě jedné, která, jak se mi zdá, by měla být řešena zmíněnou metodou kontinuální změny koeficientů<...>, totiž otázka maximálního počtu resp. umístění Poincarého limitních cyklů pro diferenciální rovnici prvního stupně zobrazení

kde X , Y jsou celé racionální funkce n-tého stupně vzhledem k x ,  y , nebo v homogenním zápisu,

kde X , Y , Z  jsou celé racionální homogenní funkce n-tého stupně vzhledem k x , y , z , které musí být definovány jako funkce parametru t . [jeden]

Původní text  (německy)[ zobrazitskrýt] Im Anschluß an dieses rein algebraische Problem möchte ich eine Frage aufwerfen die sich, wie mir scheint, mittelst der nämlichen Methode der continuirlichen Coefficientenänderung in Angriff nehmen läßt, und fund derenage Beantchalder naturung ) für eine Differentialgleichung erster Ordnung und ersten Grades von der Form:

wo X , Y ganze zdůvodnění Funktionen nten Stupně v x , y sind, nebo v homogenizátoru Schreibweise

wo X , Y , Z ganze zdůvodnění homogenní Functionen nten Grades von x , y , z bedeuten und diese als Funktionen des Parameters t zu bestimmen sind. [2]

Historie prvního dílu

V době Hilbertovy zprávy získali Newton a Descartes [3] topologické popisy křivek stupně 3 a 4 a Harnackem dokázaná věta umožnila odhadnout počet spojených složek křivky: nesměla překročit , kde  je jeho rod .

Gilbert ve své zprávě řekl:

Pokud jde o křivky šestého řádu, ujistil jsem se - ale na poměrně obtížné cestě -, aby oněch 11 větví získaných podle Harnacka nikdy nebylo umístěno všechny mimo sebe; vždy je jedna větev, uvnitř které je další, a mimo ni zbývajících devět, nebo naopak.

Jak však zjistil [4] v 70. letech 20. století D. A. Gudkov, je možný i případ, kdy je uvnitř a vně jedné křivky 5 oválů, což Hilbert považoval za nemožné. Při analýze svých konstrukcí Gudkov vyslovil domněnku, která tvrdila pro M-polynomy sudého stupně srovnatelnost modulo 8 Eulerovy charakteristiky oblasti zkonstruované podle příkladu s daným číslem (jmenovitě s pro polynomy stupně 2 k ); konkrétně vysvětlil, že ve třech realizovaných variantách stupně 6 procházejí počty křivek uvnitř, 1, 5 a 9, přes 4.

Tuto hypotézu dokázal sám Gudkov. V obecném případě to dokázal V. I. Arnold [5] v oslabené formě kongruence modulo 4 a poté V. A. Rokhlin [6] [7] v plné obecnosti, při uvažování speciálně konstruovaných čtyřrozměrných variet [4] .

Konstrukce různých příkladů vedla také O. Ya Viro k vytvoření techniky patchworkingu , která umožňuje „slepovat algebraické křivky z kusů s daným chováním“.  

V roce 1972 dal Vjačeslav Kharlamov řešení první části, týkající se počtu komponent a topologií algebraických ploch čtvrtého řádu ve třech rozměrech, a v roce 1976 dokončil studii o Hilbertově problému.

Historie druhé části

Individuální věta o konečnosti

Prvním krokem ke studiu Hilbertova šestnáctého problému v plné obecnosti měl být individuální teorém o konečnosti : polynomické vektorové pole v rovině má pouze konečný počet limitních cyklů . Tuto větu publikoval v roce 1923 francouzský matematik Henri Dulac [8] a byla dlouho považována za prokázanou.

V 80. letech 20. století objevil Ju. S. Iljašenko významnou mezeru v Dulacově důkazu [9] [10] a otázka individuální konečnosti zůstala otevřená až do let 1991-92, kdy Iljašenko [11] a Ekal [12] současně a nezávisle, pomocí různých přístupů na ni odpověděl kladně (předložení úplného důkazu vyžadovalo, aby každý z nich napsal samostatnou knihu), viz také schéma nového důkazu [13] .

Strategie Petrovského-Landise

Kvadratická vektorová pole

Odlehčené verze problému

Viz také

Literatura

  1. ↑ 1 2 Překlad Hilbertovy zprávy z němčiny - M. G. Shestopal a A. V. Dorofeev , publikované v knize Hilbertovy problémy / ed. P. S. Alexandrova . - M. : Nauka, 1969. - S. 39. - 240 s. — 10 700 výtisků. Archivovaná kopie (nedostupný odkaz) . Datum přístupu: 3. ledna 2010. Archivováno z originálu 17. října 2011. 
  2. ↑ 12 David Hilbert . Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900 (německy) (nepřístupný odkaz) . — Text zprávy, kterou četl Hilbert 8. srpna 1900 na II. mezinárodním kongresu matematiků v Paříži. Získáno 27. srpna 2009. Archivováno z originálu dne 17. července 2009.   
  3. ↑ V. I. Arnold, Co je matematika? MTsNMO, 2002; S. 39.
  4. ↑ 1 2 V. I. Arnold, Co je matematika? MTsNMO, 2002; S. 43.
  5. ↑ V. I. Arnold, „O uspořádání oválů reálných rovinných algebraických křivek, involucích čtyřrozměrných hladkých variet a aritmetice integrálních kvadratických forem“, Funkts. analýza a její aplikace, 5:3 (1971), 1–9.
  6. ↑ V. A. Rokhlin, „Proof of the Gudkov Conjecture“, Funct. analýza a její aplikace, 6:2 (1972), 62–64.
  7. ↑ V. A. Rokhlin, „Srovnání modulu 16 v Hilbertově šestnáctém problému“, Funct. analýza a její aplikace, 6:4 (1972), 58–64.
  8. ↑ Dulac, H. Sur les meze cyklů. Býk. soc. Matematika. Francie , 51 : 45–188 (1923); // ruský překlad: Dulac A. On limit cycles. - M.: Nauka, 1980
  9. ↑ Iljašenko , Yu . _ _ 4, str. 127.
  10. ↑ Yu . S. Iljašenko . "Dulacovy monografie "O limitních cyklech" a související otázky lokální teorie diferenciálních rovnic", Uspekhi Mat. Nauk, 40 :6(246) (1985), 41-78
  11. ↑ Yu. Ilyashenko, Věty o konečnosti pro limitní cykly, American Mathematical Society, Providence, RI, 1991.
  12. ↑ J. Ecalle, Úvod aux fonctions analysables et preuve constructive de la conjecture de Dulac, Hermann, Paris, 1992.
  13. ↑ Yu. S. Iljašenko. Věty o konečnosti pro limitní cykly: nástin aktualizovaného důkazu. Izv. BĚŽEL. Ser. Mat., 80:1 (2016), 55–118
 Hilbertovy problémy