Gauss, Carl Friedrich

Carl Friedrich Gauss
Carl Friedrich Gauss
Jméno při narození Němec  Johann Carl Friedrich Gauss
Datum narození 30. dubna 1777( 1777-04-30 ) [1] [2] [3] […]
Místo narození
Datum úmrtí 23. února 1855( 1855-02-23 ) [1] [2] [3] […] (ve věku 77 let)
Místo smrti
Země
Vědecká sféra matematika , mechanika , fyzika , astronomie , geodézie
Místo výkonu práce
Alma mater Univerzita v Göttingenu
Akademický titul PhD [9] ( 1799 )
vědecký poradce Pfaff, Johann Friedrich [10]
Studenti Farkas Bolyai , August Ferdinand Möbius , Peter Gustav Lejeune Dirichlet , Gustav Robert Kirchhoff , Heinrich Christian Schumacher [9] a Gustav Swanberg [d] [9]
Ocenění a ceny Lalandova cena Pařížské akademie věd (1810)
Copleyova medaile (1838)
Autogram
Logo Wikisource Pracuje ve společnosti Wikisource
 Mediální soubory na Wikimedia Commons

Johann Karl Friedrich Gauss ( německy  Johann Carl Friedrich Gauß ; 30. dubna 1777 , Braunschweig  – 23. února 1855 , Göttingen ) byl německý matematik , mechanik , fyzik , astronom a zeměměřič [11] . Považován za jednoho z největších matematiků všech dob, za „krále matematiků“ [12] .

Nositel Copleyho medaile (1838), člen Royal Society of London (1804) [13] , zahraniční člen pařížské (1820) [14] a švédské (1821) akademie věd, zahraniční korespondent (1802) a zahraniční čestný člen (1824) Petrohradské akademie věd [15] .

Životopis

1777-1798

Narodil se v německém vévodství Brunswick . Gaussův dědeček byl chudý rolník; otec, Gebhard Dietrich Gauss, zahradník, zedník, správce kanálu; matka Dorothea Benzová, dcera zedníka. Jelikož byla matka negramotná, nezapsala si datum narození svého syna, pamatovala si pouze, že se narodil ve středu, osm dní před Dnem Nanebevstoupení Páně , který se slaví 40 dní po Velikonocích . V roce 1799 Gauss vypočítal přesné datum svého narození vyvinutím metody pro určení data Velikonoc pro kterýkoli rok [16] .

Již ve dvou letech se chlapec projevil jako zázračné dítě . Ve třech letech uměl číst a psát, dokonce i opravoval aritmetické chyby svého otce. Existuje příběh, ve kterém mladý Gauss provedl některé aritmetické výpočty mnohem rychleji než všichni jeho spolužáci; obvykle se při uvádění této epizody uvádí výpočet součtu čísel od 1 do 100 , ale původní zdroj tohoto není znám [17] . Až do vysokého věku prováděl většinu výpočtů v duchu.

Měl štěstí na učitele: M. Bartels (pozdější učitel Lobačevského ) ocenil výjimečný talent mladého Gausse a podařilo se mu získat stipendium od vévody z Brunswicku . To pomohlo Gaussovi vystudovat Collegium Carolinum v Braunschweigu (1792-1795).

Gauss nějakou dobu váhal mezi filologií a matematikou, ale dal přednost té druhé. Měl velmi rád latinský jazyk a podstatnou část svých děl psal latinsky; miloval anglickou a francouzskou literaturu, kterou četl v originále. Ve věku 62 let začal Gauss studovat ruštinu, aby se seznámil s díly Lobačevského , a v této věci docela uspěl.

Na vysoké škole Gauss studoval díla Newtona , Eulera , Lagrange . Již tam učinil několik objevů v teorii čísel, včetně prokázání zákona reciprocity kvadratických zbytků . Legendre , pravda, objevil tento nejdůležitější zákon již dříve, ale nedokázal jej důsledně dokázat; Euler také neuspěl. Kromě toho Gauss vytvořil „ metodu nejmenších čtverců “ (také nezávisle objevenou Legendrem ) a zahájil výzkum v oblasti „ normálního rozdělení chyb “.

V letech 17951798 studoval Gauss na univerzitě v Göttingenu , kde byl jeho učitelem A. G. Kestner [18] . Toto je nejplodnější období v Gaussově životě.

1796 : Gauss prokázal možnost konstrukce pravidelného sedmnáctiúhelníku pomocí kompasu a pravítka . Navíc vyřešil problém konstrukce pravidelných mnohoúhelníků až do konce a našel kritérium pro možnost konstrukce pravidelného n -úhelníku pomocí kružítka a pravítka:

Gauss si tohoto objevu velmi vážil a odkázal, aby na jeho hrobě zobrazil pravidelného sedmnáctistranného vepsaného do kruhu.

Od roku 1796 si Gauss o svých objevech vedl krátký deník. Stejně jako Newton mnoho nepublikoval, i když se jednalo o výsledky mimořádné důležitosti ( eliptické funkce , neeuklidovská geometrie atd.). Svým přátelům vysvětlil, že zveřejňuje pouze ty výsledky, se kterými je spokojen a považuje je za úplné. Mnoho myšlenek, které zavrhl nebo opustil, bylo později vzkříšeno v dílech Abela , Jacobiho , Cauchyho , Lobačevského aj. Také objevil kvaterniony 30 let před Hamiltonem (nazval je „mutace“).

Všechny četné Gaussovy publikované práce obsahují významné výsledky, nebylo jediné syrové a pomíjivé dílo.

1798: Dokončeno mistrovské dílo „ Aritmetická vyšetřování “ ( lat.  Disquisitiones Arithmeticae ), vytištěno až v roce 1801.

V této práci je teorie kongruencí podrobně popsána v moderní (jím zavedené) notaci, jsou řešena porovnávání libovolného řádu, hluboce studovány kvadratické formy , ke konstrukci pravidelných n-úhelníků jsou používány komplexní kořeny jednoty , vlastnosti kvadratických zbytků jsou uvedeny, je dán důkaz kvadratického zákona reciprocity atd. e. Gauss rád říkal, že matematika je královnou věd a teorie čísel  je královnou matematiky.

1798-1816

V roce 1798 se Gauss vrátil do Braunschweigu a žil tam až do roku 1807.

Vévoda nadále podporoval mladého génia. Zaplatil za tisk své doktorské práce ( 1799 ) a poskytl mu dobré stipendium. Ve své doktorské práci Gauss poprvé dokázal základní větu algebry . Před Gaussem o to bylo mnoho pokusů, d'Alembert se dostal nejblíže k cíli . Gauss se k této větě opakovaně vracel a podal její 4 různé důkazy.

Od roku 1799 byl Gauss Privatdozent na univerzitě v Braunschweigu.

1801: zvolen členem korespondentem Petrohradské akademie věd .

Po roce 1801, aniž by se rozcházel s teorií čísel, Gauss rozšířil okruh svých zájmů o přírodní vědy, především astronomii. Důvodem byl objev planetky Ceres ( 1801 ), ztracené krátce po objevení. 24letý Gauss provedl (během několika hodin) nejsložitější výpočty pomocí jím vyvinuté nové výpočetní metody [11] a s velkou přesností označil místo, kde „uprchlíka“ hledat; tam byla, ke všeobecné radosti, a byla brzy objevena.

Sláva Gausse se stává celoevropskou. Mnoho vědeckých společností v Evropě volí Gausse za svého člena, vévoda zvyšuje příspěvek a Gaussův zájem o astronomii roste ještě více.

1805: Gauss se oženil s Johannou Osthofovou. Měli tři děti, dvě přežily - syn Josef a dcera Minna.

1806: Jeho štědrý patron, vévoda, umírá na zranění, které utrpěl ve válce s Napoleonem . Několik zemí spolu soupeřilo o pozvání Gausse, aby sloužil (včetně Petrohradu ). Na doporučení Alexandra von Humboldta byl Gauss jmenován profesorem v Göttingenu a ředitelem observatoře v Göttingenu. Tuto funkci zastával až do své smrti.

1807: Napoleonské jednotky obsadily Göttingen . Všichni občané podléhají odškodnění, včetně obrovské částky – 2000 franků – požadované k zaplacení Gaussovi. Olbers a Laplace mu okamžitě přijdou na pomoc, ale Gauss jejich peníze odmítne; pak mu neznámý z Frankfurtu pošle 1000 zlatých a tento dar musí být přijat. Teprve mnohem později se dozvěděli, že neznámým byl mohučský kurfiřt, přítel Goetha (podle jiných zdrojů biskup z Frankfurtu ).

1809: nové mistrovské dílo, Teorie pohybu nebeských těles. Je prezentována kanonická teorie zohledňování poruch orbit.

Právě na čtvrté výročí svatby Johanna zemřela, krátce po narození svého třetího dítěte. Tento rok byl pro Gausse nejtěžší. Následující rok, v roce 1810, se znovu oženil - s Wilhelminou (" Minnou ") Waldeckovou, přítelkyní Johanny. Počet Gaussových dětí se brzy zvýšil na pět.

1810: nová vyznamenání. Gauss obdrží cenu od pařížské akademie věd a zlatou medaili od Královské společnosti v Londýně .

1811: Objevila se nová kometa . Gauss rychle a velmi přesně vypočítal svou dráhu. Začal pracovat na komplexní analýze , objevuje (ale nepublikuje) větu, kterou později znovu objevili Cauchy a Weierstrass : integrál analytické funkce přes uzavřený obrys je nulový.

1812: studium hypergeometrické řady, zobecňující rozšíření téměř všech tehdy známých funkcí.

Slavná kometa "Oheň Moskvy" (1812) je pozorována všude pomocí výpočtů Gauss.

1815: Zveřejňuje první rigorózní důkaz Základní věty algebry .

1816-1855

1820: Gauss je přidělen k průzkumu Hannoveru . K tomu vyvinul příslušné výpočetní metody (včetně metody praktické aplikace jeho metody nejmenších čtverců ), což vedlo k vytvoření nového vědeckého směru - vyšší geodézie , a organizoval průzkum terénu a sestavení mapy [11] .

1821: V souvislosti s prací na geodézii začíná Gauss historický cyklus prací na teorii povrchů . Koncept " Gaussova zakřivení " vstupuje do vědy . Počátek diferenciální geometrie je položen . Byly to výsledky Gausse, které inspirovaly Riemanna k napsání jeho klasické disertační práce na téma „ Riemannovská geometrie “.

Výsledkem Gaussova výzkumu byla práce „Investigations on Curved Surfaces“ ( 1822 ). Volně používal běžné křivočaré souřadnice na povrchu. Gauss vyvinul metodu konformního mapování far , která v kartografii zachovává úhly (ale deformuje vzdálenosti); používá se také v aerodynamice, hydrodynamice a elektrostatice.

1824: zvolen zahraničním čestným členem Petrohradské akademie věd .

1825: Objevuje Gaussova komplexní celá čísla , vytváří pro ně teorii dělitelnosti a kongruencí. Úspěšně je aplikuje na řešení srovnání vysokých stupňů.

1829: V pozoruhodné práci „O novém obecném zákonu mechaniky“ , sestávající z pouhých čtyř stran, Gauss zdůvodňuje [19] nový variační princip mechaniky  – princip nejmenšího omezení . Princip je aplikovatelný na mechanické soustavy s ideálními vazbami a Gauss jej formuloval takto: „pohyb soustavy hmotných bodů, vzájemně propojených libovolným způsobem a podléhajících jakýmkoliv vlivům, se v každém okamžiku děje tím nejdokonalejším možným způsobem, v v souladu s pohybem, který tyto body, pokud se všechny uvolnily, to znamená, že se tak stane s nejmenším možným nátlakem, pokud jako míru nátlaku aplikovaného během nekonečně malého okamžiku vezmeme součet součinů hmotnosti každého bod a čtverec jeho odchylky od polohy, kterou by zaujímal, kdyby byl volný“ [20] .

1831: Druhá žena umírá, Gauss trpí těžkou nespavostí. 27letý talentovaný fyzik Wilhelm Weber , se kterým se Gauss setkal v roce 1828 při návštěvě Humboldta, přijel do Göttingenu na pozvání Gausse . Oba příznivci vědy se i přes věkový rozdíl spřátelili a započali cyklus výzkumu elektromagnetismu.

1832: "Teorie bikvadratických zbytků" . Pomocí stejných komplexních celých Gaussových čísel jsou dokázány důležité aritmetické věty nejen pro komplexní čísla, ale také pro čísla reálná. Gauss zde podává geometrickou interpretaci komplexních čísel, která se od té chvíle stává obecně uznávanou.

1833: Gauss vynalezl elektrický telegraf a (s Weberem ) sestavil jeho funkční model.

1837: Weber je vyhozen za to, že odmítl složit přísahu věrnosti novému králi Hannoveru. Gauss opět zůstává sám.

1839: 62letý Gauss ovládá ruský jazyk a v dopisech petrohradské akademii žádá o zaslání ruských časopisů a knih, zejména Puškinovy ​​Kapitánovy dcery. Předpokládá se, že je to kvůli Gaussovu zájmu o díla Lobachevského , který byl v roce 1842 na doporučení Gausse zvolen zahraničním dopisujícím členem Göttingenské královské společnosti.

Ve stejném roce 1839 Gauss ve své eseji „Obecná teorie přitažlivých a odpudivých sil působících nepřímo jako čtverec vzdálenosti“ nastínil základy teorie potenciálu , včetně řady základních ustanovení a teorémů – například základní věta elektrostatiky ( Gaussův teorém ) [21] .

1840: Gauss ve svých Dioptric Investigations vyvinul teorii zobrazování ve složitých optických systémech [21] .

Gauss zemřel 23. února 1855 v Göttingenu. Hannoverský král Jiří V. nařídil vyrazit na Gaussovu počest medaili, na níž byl vyryt Gaussův portrét a čestný titul " Mathematicorum Princeps " - "Král matematiků".

Vědecká činnost

Základní výzkum je spojován se jménem Gauss téměř ve všech hlavních oblastech matematiky: v algebře , teorii čísel , diferenciální a neeuklidovské geometrii , matematické analýze , teorii funkcí komplexní proměnné , teorii pravděpodobnosti a také v analytické a nebeská mechanika , astronomie , fyzika a geodézie [11] . „V každém oboru byla úžasná hloubka průniku do materiálu, smělost myšlenek a význam výsledku. Gauss byl nazýván "králem matematiků" [22] ( lat.  Princeps mathematicorum ).

Gauss byl na svá publikovaná díla extrémně přísný a nikdy nepublikoval ani vynikající výsledky, pokud svou práci na toto téma považoval za neúplnou. Jeho osobní pečeť ukazovala strom s několika plody pod heslem: „Pauca sed matura“ ( malý, ale zralý ) [23] . Studium Gaussova archivu ukázalo, že řadu svých objevů publikoval pomalu, a v důsledku toho ho ostatní matematici předběhli. Zde je neúplný seznam priorit, které minul.

Několik studentů, žáků Gausse, se stalo významnými matematiky, např.: Riemann , Dedekind , Bessel , Möbius .

Algebra

Gauss podal první rigorózní, dokonce i podle moderních kritérií, důkazy Základní věty algebry .

Objevil kruh komplexních Gaussových celých čísel , vytvořil pro ně teorii dělitelnosti as jejich pomocí vyřešil mnoho algebraických problémů. Poukázal na dnes již známý geometrický model komplexních čísel a operace s nimi.

Gauss dal klasickou teorii kongruencí , objevil konečné pole reziduí modulo prime, pronikl hluboko do vlastností reziduí.

Geometrie

Gauss nejprve začal studovat vnitřní geometrii povrchů . Objevil charakteristiku povrchu ( Gaussova křivost ), která se nemění pod ohybem, čímž položil základy Riemannovy geometrie . V roce 1827 publikoval kompletní teorii povrchů. Proved Theorema Egregium  , základní teorém povrchové teorie. Gaussovy práce o diferenciální geometrii daly silný impuls rozvoji této vědy po celé 19. století. Po cestě vytvořil novou vědu - vyšší geodézii .

Gauss jako první (podle některých zdrojů [11] , přibližně v roce 1818) postavil základy neeuklidovské geometrie a uvěřil v její možnou realitu [25] . Po celý svůj život však na toto téma nic nepublikoval, pravděpodobně se bál, že bude nepochopen, protože myšlenky, které rozvinul, šly proti dogmatu euklidovského prostoru v tehdy dominantní kantovské filozofii) [26] . Dochoval se však dopis od Gausse Lobačevskému , jasně vyjadřující jeho smysl pro solidaritu, a v osobních dopisech publikovaných po jeho smrti Gauss Lobačevského dílo obdivuje. V roce 1817 napsal astronomovi W. Olbersovi [27] :

Stále více jsem přesvědčen, že nutnost naší geometrie nelze dokázat, alespoň ne lidským rozumem a lidským rozumem. Možná v jiném životě dojdeme k názorům na povahu vesmíru, které jsou nám nyní nepřístupné. Doposud nebylo nutné klást geometrii na stejnou úroveň s aritmetikou, která existuje čistě a priori, ale spíše s mechanikou.

V jeho dokumentech byly nalezeny podstatné poznámky na téma, které bylo později nazváno topologie . Navíc předpověděl zásadní význam tohoto tématu.

Prastarý problém sestrojení pravidelných mnohoúhelníků pomocí kružítka a pravítka nakonec vyřešil Gauss (viz Gauss-Wanzelova věta ).

Matematická analýza

Gauss rozšířil teorii speciálních funkcí , řady, numerické metody, řešení problémů v matematické fyzice. Vytvořil matematickou teorii potenciálu .

Hodně a úspěšně se zabýval eliptickými funkcemi , i když z nějakého důvodu na toto téma nic nepublikoval.

Analytická mechanika

Gaussův hlavní příspěvek k analytické mechanice byl jeho princip nejmenšího omezení . Pro analytickou formulaci tohoto principu měla velký význam práce G. Schefflera (1820-1903) „O Gaussově základním zákonu mechaniky“ [29] , publikovaná v roce 1858 [28] , v níž Scheffler nově definoval [ 30] donucení ( německy: Zwang ) jako následující (v moderní notaci [31] ) výraz:  

,

kde  je počet bodů zahrnutých v systému,  je hmotnost tého bodu,  je výslednice aktivních sil, které na něj působí,  je povolené zrychlení daného bodu (ve skutečnosti Scheffler použil skalární zápis a neměl faktor před znakem součtu). „Přípustnými zrychleními“ zde [32] rozumíme taková zrychlení bodů systému, která lze v daném stavu systému realizovat bez přerušení spojení; skutečná zrychlení (vznikající působením sil skutečně působících na body systému) jsou zvláštním případem přípustných zrychlení.

Poté získal Gaussův princip podobu, která se používá při jeho prezentaci a v moderních kurzech teoretické mechaniky: „Ve skutečném pohybu mechanické soustavy s ideálními omezeními nabývá omezení hodnoty, která je nejmenší ze všech možných hodnot. ​​pro pohyby kompatibilní se superponovanými omezeními“ [33] . Tento princip odkazuje [34] na množství diferenciálních variačních principů mechaniky . Má velmi velkou obecnost, protože je použitelný pro širokou škálu mechanických systémů: konzervativní a nekonzervativní, holonomní a neholonomní. Proto se zejména často používá [35] jako výchozí bod pro odvození pohybových rovnic neholonomních systémů .

Astronomie

V astronomii se Gauss primárně zajímal o nebeskou mechaniku , studoval dráhy malých planet a jejich poruchy. Navrhl teorii poruchového účetnictví a opakovaně prokázal její účinnost v praxi.

V roce 1809 Gauss našel způsob, jak určit prvky oběžné dráhy ze tří úplných pozorování (pokud je pro tyto tři rozměry znám čas, rektascence a deklinace ).

Další úspěchy

Aby se minimalizoval vliv chyb měření, Gauss použil svou metodu nejmenších čtverců , která je nyní široce používána ve statistice . Ačkoli Gauss nebyl první, kdo objevil zákon normálního rozdělení běžný v přírodě , studoval ho tak důkladně, že se graf rozdělení od té doby často nazývá Gaussovský .

Ve fyzice Gauss vyvinul teorii kapilarity , teorii soustavy čoček. Položil základy matematické teorie elektromagnetismu a zároveň jako první zavedl pojem potenciálu elektrického pole a v roce 1845 dospěl k myšlence konečné rychlosti šíření elektromagnetických interakcí. V roce 1832 vytvořil absolutní systém měr, zavedl tři základní jednotky: jednotku délky - 1 mm, jednotku času - 1 s, jednotku hmotnosti - 1 mg; tento systém sloužil jako prototyp systému jednotek ČGS . Spolu s Weberem postavil Gauss první německý elektromagnetický telegraf . Při studiu pozemského magnetismu vynalezl Gauss v roce 1837 unipolární magnetometr a v roce 1838 bifilární magnetometr [21] .

Vzpomínka

Pojmenováno po Gaussovi:

S Gaussovým jménem je spojeno mnoho teorémů a vědeckých termínů v matematice, astronomii a fyzice, viz Seznam objektů pojmenovaných po Gaussovi . Někteří z nich:

V literatuře a filmu

Životu Gausse a Alexandra von Humboldta je věnován film " Měření světa " (" Die Vermessung der Welt ", 2012, Německo). Film je natočen podle stejnojmenného románu spisovatele Daniela Kelmana [37] .

Překlady děl do ruštiny

Poznámky

  1. 1 2 3 4 verschiedene Autoren Allgemeine Deutsche Biographie  (německy) / Hrsg.: Historische Commission bei der königl. Akademie der Wissenschaften - L : Duncker & Humblot , 1875.
  2. 1 2 Archiv historie matematiky MacTutor
  3. 1 2 Carl Friedrich Gauss // RKDartists  (holandština)
  4. 1 2 Gauss Karl Friedrich // Velká sovětská encyklopedie : [ve 30 svazcích] / ed. A. M. Prochorov - 3. vyd. - M .: Sovětská encyklopedie , 1971. - T. 6: Plynový výtah - Gogolevo. - S. 144-145.
  5. www.accademiadellescienze.it  (italsky)
  6. http://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00207160.2012.689826
  7. http://www.maa.org/publications/maa-reviews/50th-imo-50-years-of-international-mathematical-olympiads
  8. http://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2F978-3-642-14565-0_3.pdf
  9. 1 2 3 Matematická genealogie  (anglicky) - 1997.
  10. Matematická genealogie  (anglicky) - 1997.
  11. 1 2 3 4 5 Bogolyubov, 1983 , str. 121-123.
  12. Gindikin S. G. Příběhy o fyzicích a matematicích. Archivovaná kopie z 11. července 2020 na Wayback Machine  - M. : MTsNMO, 2001. Kapitola "Král matematiků".
  13. Gauss; Karl Friedrich (1777 - 1855) // Webové stránky Královské společnosti v Londýně  (anglicky)
  14. Les membres du passé dont le nom commence par G Archivováno 5. srpna 2020 na Wayback Machine  (FR)
  15. Gauss, Carl Friedrich na oficiálních stránkách Ruské akademie věd
  16. Mysl nad matematikou: Jak Gauss určil datum svého narození . Získáno 11. listopadu 2019. Archivováno z originálu 6. února 2022.
  17. Brian Hayes. Gaussův den zúčtování . Americký vědec (2006). doi : 10.1511/2006.59.200 . Získáno 15. října 2019. Archivováno z originálu 12. ledna 2012.
  18. Bogolyubov, 1983 , str. 219.
  19. Tyulina, 1979 , str. 178.
  20. Gauss K. O novém obecném principu mechaniky ( Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik ) / Journal für Reine und Angewandte Mathematik. 1829. Bd. IV. - S. 232-235.) // Variační principy mechaniky: Sat. články / Ed. L. S. Polák. - M. : Fizmatgiz, 1959. - 932 s. - S. 170-172.
  21. 1 2 3 Khramov, 1983 , str. 76.
  22. Kolmogorov A. N., Juškevič A. P. (ed.) Matematika 19. století. T. 1. - M. : Nauka, 1978. - S. 52.
  23. Derbyshire J. Jednoduchá posedlost. Bernhard Riemann a největší nevyřešený problém v matematice. - M .: Astrel, 2010. - ISBN 978-5-271-25422-2 . - S. 76-77.
  24. O základech geometrie. Sbírka klasických děl o Lobačevského geometrii a vývoji jejích myšlenek. Moskva: Gostechizdat, 1956, s. 119-120.
  25. Gauss C.F. Dopis a úryvky týkající se neeuklidovské geometrie Archivováno 5. března 2014 na Wayback Machine // Základy geometrie. — M. : GITTL, 1956.
  26. Obvykle se říká, že se bál nepochopení. V jednom dopise, který se dotýká otázky pátého postulátu a neeuklidovské geometrie, Gauss skutečně píše: „bojte se křiku Boiótů “<...> Možná však existuje jiné vysvětlení Gaussova mlčení: byl jedním z mála, kdo pochopil, že bez ohledu na to, kolik zajímavých teorémů neeuklidovské geometrie nebylo vydedukováno, stále to nic nedokazuje - vždy existuje teoretická možnost, že jako další důsledky bude získáno protichůdné tvrzení. Nebo možná Gauss pochopil (či cítil), že v té době (první polovina 19. století) ještě nebyly nalezeny matematické koncepty, které by umožnily tento problém přesně položit a vyřešit. // Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineární algebra a geometrie, kap. XII, odst. 2, - Fizmatlit, Moskva, 2009.
  27. O základech geometrie. Sbírka klasických děl o Lobačevského geometrii a vývoji jejích myšlenek. - M .: Gostekhizdat, 1956. - S. 103.
  28. Moiseev, 1961 , str. 334.
  29. Göttinger Digitalisierungszentrum: Seitenansicht
  30. Tyulina, 1979 , str. 179-180.
  31. Markeev, 1990 , s. 90.
  32. Golubev, 2000 , str. 417.
  33. Drong V.I., Dubinin V.V., Ilyin M.M. et al. Kurz teoretické mechaniky / Ed. K. S. Kolesníková. - M . : Vydavatelství MSTU im. N. E. Bauman, 2011. - 758 s. — ISBN 978-5-7038-3490-9 . - S. 526.
  34. Markeev, 1990 , s. 89.
  35. Golubev, 2000 , str. 427.
  36. Gaussův heliotrop . Datum přístupu: 17. ledna 2017. Archivováno z originálu 27. prosince 2016.
  37. Měření světa (nepřístupný odkaz) . Získáno 27. června 2013. Archivováno z originálu 8. ledna 2014. 

Literatura

Odkazy