Hessenské funkce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. prosince 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Hessián funkce je symetrický kvadratický tvar [1] , který popisuje chování funkce druhého řádu.

Pro funkci dvakrát diferencovatelnou v bodě $F$ $x\in \mathbb{R} ^{n}$

H(x)=\součet _{{i=1}}^{n}\součet _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}x_{i}x_{j}

nebo

H(z)=\součet _{{i=1}}^{n}\součet _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}z_{i}\overline {z}_{ j}

kde (nebo ) a funkce je definována v - rozměrném reálném prostoru (nebo komplexním prostoru ) se souřadnicemi (nebo ). V obou případech je Hessian kvadratický tvar daný na prostoru tečny , který se při lineárních transformacích proměnných nemění . Hessián se také často nazývá determinant matice, viz níže. $a_{{ij}}=\částečné ^{2}f/\částečné x_{i}\částečné x_{j}$ $a_{{ij}}=\částečné ^{2}f/\částečné z_{i}\částečné \overline {z}_{j}$ $F$ $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb{C}^n$ $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $z_{1},\ldots ,z_{n}$ $(a_{ij}),$

Hessenská matice

Matici této kvadratické formy tvoří druhé parciální derivace funkce. Pokud existují všechny deriváty, pak

H(f)={\begin{bmatice}{\frac {\částečné ^{2}f}{\částečné x_{1}^{2))}&{\frac {\částečné ^{2}f}{ \partial x_{1}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{n}}}\ \\\{\frac {\částečné ^{2}f}{\částečné x_{2}\,\částečné x_{1))}&{\frac {\částečné ^{2}f}{\částečné x_{ 2}^{2))}&\ctečky &{\frac {\částečné ^{2}f}{\částečné x_{2}\,\částečné x_{n))}\\\\\vtečky &\vtečky &\ddots &\vdots \\\\{\frac {\částečné ^{2}f}{\částečné x_{n}\,\částečné x_{1))}&{\frac {\částečné ^{2} f}{\částečné x_{n}\,\částečné x_{2}}}&\cdots &{\frac {\částečné ^{2}f}{\částečné x_{n}^{2}}}\end {bmatrix}}

Determinant této matice se nazývá Hessian determinant nebo jednoduše Hessian .

Hessovské matice se používají v optimalizačních úlohách Newtonovou metodou . Úplný výpočet Hessovy matice může být obtížný, proto byly vyvinuty kvazi-newtonské algoritmy založené na přibližných výrazech pro Hessovu matici. Nejznámější z nich je algoritmus Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno .

Symetrie hessovské matice

Smíšené derivace funkce f jsou prvky Hessovy matice, které nejsou na hlavní diagonále . Pokud jsou spojité, pak pořadí diferenciace není důležité:

{\frac {\partial }{\partial x_{i))}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j))}\right)={\frac {\partial }{\partial x_{j))}\left({\frac {\částečné f}{\částečné x_{i))}\vpravo)

To lze také napsat jako

f_{{x_{i}x_{j}}}=f_{{x_{j}x_{i}}},\quad \forall i,j\in \{1,\ldots ,n\}.

V tomto případě je Hessova matice symetrická .

Kritické body funkce

Pokud je gradient (jeho vektorová derivace ) v určitém bodě nulový , pak se tento bod nazývá kritický . Postačující podmínkou pro existenci extrému v tomto bodě je znaménková určitost hessenského f (v tomto případě chápáno jako kvadratická forma), a to: $F$ $x_{0}$

pokud je Hessian kladně určitý, pak je lokální minimální bod funkce , $x_{0}$ $f(x)$
pokud je Hessián záporně definitní, pak je lokální maximální bod funkce , $x_{0}$ $f(x)$
pokud Hessian není znaménko-definitivní (nabývá kladných i záporných hodnot) a je nedegenerovaný , pak je sedlový bod funkce . $(\det H(f)\neq 0)$ $x_{0}$ $f(x)$

Variace a zobecnění

Vektorové funkce

Pokud je vektorová funkce , tj. $F$

f=(f_{1},f_{2},\tečky ,f_{n}),

pak jeho druhé parciální derivace netvoří matici, ale tenzor úrovně 3, který lze považovat za pole Hessových matic: $n$

H(f)=\left(H(f_{1}),\ldots ,H(f_{n})\right).

V , tento tenzor degeneruje do obvyklé hessovské matice. $n=1$

Páskovaný Hessian

Při řešení problému hledání podmíněného extrému funkce s omezeními $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$

\left\{{\begin{array}{c}g_{1}(x)=0,\\\vdots \\g_{m}(x)=0,\end{array}}\right .

kde , , pro kontrolu dostatečných podmínek pro extrém lze použít tzv. ohraničený Hessian Lagrangeovy funkce , který bude mít tvar [2] $x \in \mathbb{R}^n$ $m<n$ $L(x,\lambda )$

\left({\begin{array}{cc}{\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial x^{2))}&{\dfrac {\partial ^{2}L} {\partial x\partial \lambda }}\\\left({\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial x\partial \lambda }}\right)^{\mathrm {T} }&{ \dfrac {\částečné ^{2}L}{\částečné \lambda ^{2))}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cccccc}{\dfrac {\částečné ^{2}L}{\částečné x_{1}^{2))}&\ldots &{\dfrac {\částečné ^{2}L}{\částečné x_{1}\částečné x_{n))} &{\dfrac {\partial g_{1}}{\partial x_{1}}}&\ldots &{\dfrac {\partial g_{m}}{\partial x_{1}}}\\\vdots & \ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial x_{n}\partial x_{1))}&\ldots &{\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial x_{n}^{2}}}&{\dfrac {\partial g_{1}}{\partial x_{n}}}&\ldots &{\dfrac {\částečné g_{m)){\částečné x_{n))}\\{\dfrac {\částečné g_{1)){\částečné x_{1))}&\ldots &{\dfrac {\částečné g_ {1}}{\partial x_{n}}}&0&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial g_{m}}{ \partial x_{1))}&\ldots &{\dfrac {\partial g_{m)){  \partial x_{n}}}&0&\ldots &0\end{array}}\right).

Ověření dostatečných extrémních podmínek spočívá ve výpočtu znamének determinantů určité množiny podmatic ohraničeného hesiánství. Totiž, pokud existují takové , které a ${\displaystyle x^{*}\in \mathbb {R} ^{n))$ ${\displaystyle \lambda ^{*}\in \mathbb {R} ^{m))$ $\nabla L(x^{*},\lambda ^{*})=0$

(-1)^{m}{\mbox{det}}\left({\begin{array}{cccccc}{\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}^ {2}}}&\ldots &{\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}\partial x_{p}}}&{\dfrac {\partial g_{1}}{\ částečné x_{1))&\ldots &{\dfrac {\částečné g_{m)){\částečné x_{1))}\\\vdots &\dddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \ \{\dfrac {\částečné ^{2}L}{\částečné x_{p}\částečné x_{1))}&\ldots &{\dfrac {\částečné ^{2}L}{\částečné x_{ p }^{2}}}&{\dfrac {\částečné g_{1}}{\částečné x_{p}}}&\ldots &{\dfrac {\částečné g_{m}}{\částečné x_{p ) )}\\{\dfrac {\partial g_{1}}{\partial x_{1}}}&\ldots &{\dfrac {\partial g_{1}}{\partial x_{p}}}&0& \ ldots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\částečné g_{m)){\částečné x_{1))}&\ldots &{\ dfrac {\partial g_{m}}{\partial x_{p}}}&0&\ldots &0\end{array}}\right)>0

for , pak má funkce přísné podmíněné minimum v bodě . Li $p=m+1,\ldots ,n$ $x^{*}$ $F$

(-1)^{p}{\mbox{det}}\left({\begin{array}{cccccc}{\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}^ {2}}}&\ldots &{\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}\partial x_{p}}}&{\dfrac {\partial g_{1}}{\ částečné x_{1))&\ldots &{\dfrac {\částečné g_{m)){\částečné x_{1))}\\\vdots &\dddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \ \{\dfrac {\částečné ^{2}L}{\částečné x_{p}\částečné x_{1))}&\ldots &{\dfrac {\částečné ^{2}L}{\částečné x_{ p }^{2}}}&{\dfrac {\částečné g_{1}}{\částečné x_{p}}}&\ldots &{\dfrac {\částečné g_{m}}{\částečné x_{p ) )}\\{\dfrac {\partial g_{1}}{\partial x_{1}}}&\ldots &{\dfrac {\partial g_{1}}{\partial x_{p}}}&0& \ ldots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\částečné g_{m)){\částečné x_{1))}&\ldots &{\ dfrac {\partial g_{m}}{\partial x_{p}}}&0&\ldots &0\end{array}}\right)>0

for , pak v bodě má funkce striktní podmíněné maximum [3] . $p=m+1,\ldots ,n$ $x^{*}$ $F$

Historie

Koncept představil Ludwig Otto Hesse ( 1844 ), který používal jiné jméno. Termín "Hessian" byl vytvořen Jamesem Josephem Sylvesterem .

Viz také

jakobiánský
kritický bod (matematika)
Morse Lemma
Sylvesterovo kritérium je kritériem pro pozitivní nebo negativní určitost čtvercové matice.

Poznámky

↑ Hesian . Získáno 2. dubna 2016. Archivováno z originálu 15. dubna 2016. (neurčitý)
↑ Hallam, Arne Econ 500: Kvantitativní metody v ekonomické analýze I. stát Iowa (7. října 2004). Získáno 14. dubna 2021. Archivováno z originálu 19. dubna 2021. (neurčitý)
↑ Neudecker, Heinz. Maticový diferenciální počet s aplikacemi ve statistice a ekonometrii / Heinz Neudecker, Jan R. Magnus. - New York: John Wiley & Sons , 1988. - S. 136. - ISBN 978-0-471-91516-4 .

Odkazy

Kamynin L.I. Matematická analýza. T. 1, 2. - 2001.
Kudryavtsev L.D. „Krátký kurz matematické analýzy. T.2. Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných. Harmonická analýza“, FIZMATLIT, 2002, 424 s. — ISBN 5-9221-0185-4 . Nebo jakékoli jiné vydání.
Golubitsky M., Guillemin V. Stabilní zobrazení a jejich singularity, - M.: Mir, 1977.

Diferenciální počet

Hlavní

soukromé pohledy

Diferenční operátory
( v různých souřadnicích )

První objednávka	Operátor Nabla Spád Divergence Rotor Helmholtzian
druhá objednávka	Eliptický operátor Laplaceův operátor Laplaceův vektorový operátor Operátor D'Alembert Operátor Laplace-Beltrami
vyšší řády	Hypoeliptický operátor

související témata