Smíšená rovnice

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 23. března 2016; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Smíšené rovnice (rovnice smíšeného typu) jsou třídou parciálních diferenciálních rovnic druhého řádu , které jsou hyperbolické v jedné oblasti proměnného prostoru a eliptické v jiné. Tyto oblasti jsou odděleny úsečkou (v případě dvou nezávislých proměnných) nebo plochou (v případě tří a více nezávislých proměnných), v jejichž bodech je rovnice parabolická nebo nedefinovaná. Tato čára (povrch) se nazývá čára změny typu (povrch) nebo degenerační čára (povrch) .

V případě dvou nezávislých proměnných je křivka degenerace diskriminační křivkou charakteristické rovnice. Široká třída těchto rovnic může být reprezentována jako: [1] $y{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2))}+ a(x,y){\frac {\částečné z}{\částečné x))+b(x,y){\frac {\částečné z}{\částečné y))+c(x,y)z+ d (x,y)=0.$

Ve srovnání s rovnicemi hyperbolického, eliptického a parabolického typu má teorie smíšených rovnic relativně krátkou historii. Smíšené rovnice se dvěma nezávislými proměnnými poprvé systematicky zkoumali italští matematici F. Tricomi a M. Cibrario . V SSSR rovnice smíšeného typu studovalo mnoho matematiků, zejména se jim dostalo velké pozornosti ve školách M. A. Lavrentieva a A. V. Bitsadzeho . Rovnice smíšeného typu našly četné aplikace, například v problémech souvisejících s transsonickou dynamikou plynů.

Tricomiho rovnice

Nejjednodušším příkladem smíšené rovnice je Tricomiho rovnice (někdy také nazývaná Euler-Tricomiho rovnice ):

${\displaystyle u_{xx}=xu_{yy))$ ,

souvisí s hyperbolickým typem v oblasti a s eliptickým typem v oblasti Linie změny typu Tricomiho rovnice se shoduje s osou y a rovnice charakteristik se shoduje s tzv. Cibrario normální formou . Charakteristiky tvoří rodinu semikubických parabol ležících v hyperbolické oblasti s vrcholovými body na linii změny typu. $x>0$ $x<0.$

Viz také

Gaz Trikomi

Poznámky

↑ Trikomi, 1947 , str. 6.

Literatura

Tricomi F. O lineárních parciálních diferenciálních rovnicích druhého řádu smíšeného typu. - M. : OGIZ, 1947. - 191 s.
Cibrario M. Sulla reduzione a forma canonica delle equazioni lineari alle derivát parzialy di secondo ordine di tipo misto, - Rend. Lombardo 65 (1932), str. 889-906.
Cinquini-Cibrario M. Una propriete degli integrationi delle equazioni ellitico-paraboliche del secondo tipo misto, - Reale Accad. D'Italia, Rendiconti Classe di Scienze, Fisiche, Mat. e Nat., ser. 7, 3:9 (1952).
Lavrentiev M. A., Bitsadze A. V. K problému rovnic smíšeného typu, Dokl. AN 70:3 (1950), 373–376.
Bitsadze A. V. Rovnice smíšeného typu, - Libovolné vydání.
Smirnov M. M. Rovnice smíšeného typu, - Libovolné vydání.
Kuzmin A. G. Neklasické rovnice smíšeného typu a jejich aplikace na dynamiku plynů, Izd. Leningradská státní univerzita, 1990.
FG Tricomi. Correnti fluide transoniche ed equazioni a derivate parziali di tipo misto, Univ. Politec. Turín, Rend. Sem. Rohož. 12 (1953), 37-52.
C. Ferrari, FG Tricomi. Transsonic Aerodynamics, Academic Press, New York, 1968.
Richard von Mises . Matematická teorie proudění stlačitelných tekutin, Moskva, 1961.
Lipman Bers . Matematické aspekty podzvukové a transsonické dynamiky plynů, Přehledy v aplikované matematice. 3. New York: John Wiley & Sons, Inc. XV, 278 s. (1958).

Odvětví matematiky

Portál "Věda"

Základy matematiky teorie množin matematická logika algebra logiky

Teorie čísel ( aritmetika )

Algebra
Elementární algebra	Řešení rovnice
Lineární algebra	Vektorový počet matrice Tenzorový počet Multilineární algebra
Obecná algebra	Komutativní algebra Teorie reprezentace Diferenciální algebra Homologická algebra Univerzální algebra Teorie kategorií

Analýza
Klasická analýza	Diferenciální počet Integrální počet
Teorie funkcí	Harmonická analýza Kvaternionová analýza Komplexní analýza teorie míry Teorie funkcí reálné proměnné funkční analýza Variační počet
Diferenciální a integrální rovnice	Dynamické systémy a ergodická teorie Diferenciální rovnice obyčejný v parciálních derivacích Integrální rovnice
Vektorová analýza Globální analýza Teorie katastrofy Vlastní analýza Hladká infinitezimální analýza

Geometrie a topologie
Geometrie	Algebraická geometrie Analytická geometrie Euklidovská geometrie Neeuklidovská geometrie Planimetrie Stereometrie
Topologie	Obecná topologie Algebraická topologie Diferenciální geometrie a topologie

Diskrétní matematika
Kombinatorika teorie grafů

Aplikovaná matematika
Matematická fyzika Matematická chemie matematická biologie Matematické statistiky Matematické modelování Teorie algoritmů Numerické metody matematická ekonomie finanční matematika Teorie pravděpodobnosti Operační výzkum Herní teorie

Portál "Matematika"
Kategorie "Matematika"