Fredholmská alternativa

Fredholmova alternativa je soubor Fredholmových teorémů o řešitelnosti Fredholmovy integrální rovnice druhého druhu.

Jsou uvedeny různé formulace alternativy. Z hlediska zdrojů je Fredholmova alternativa chápána pouze jako první Fredholmova věta, která říká, že buď nehomogenní rovnice má řešení pro libovolný volný člen, nebo adjungovaná (unionová) rovnice má řešení netriviální [1] . Fredholmova alternativa pro integrální rovnice je zobecněním nekonečněrozměrného případu podobných teorémů v konečněrozměrném prostoru (pro systémy lineárních algebraických rovnic ). Zobecněné F. Rissem na lineární operátorové rovnice se zcela spojitými operátory v Banachových prostorech [2] .

Konečně-dimenzionální prostor

Buď rovnice má řešení pro libovolnou pravou stranu , nebo rovnice k ní připojená má netriviální řešení $\mathcal Az = u$ $u \ve W$ $\mathcal A^*w=0$

Důkaz

Metoda 1

Nechte _ Existují dva případy: buď , nebo . Podmínka je ekvivalentní podmínce , což znamená, že rovnice má řešení pro libovolný . Navíc, protože , pak , a tedy, rovnice nemá nenulové řešení. Podmínka je ekvivalentní podmínce , což znamená existenci nenulového vektoru , tedy nenulového řešení . Navíc rovnice nemá řešení pro žádné . $r = \operatorname{rg} \mathcal A, ~m = \operatorname{dim} W$ $r=m$ $r<m$ $r=m$ $\operatorname {im} {\mathcal {A}}=W$ $\mathcal Az = u$ $u \ve W$ $\operatorname{rg} \mathcal A = \operatorname{rg} \mathcal A^*$ $\operatorname {ker} {\mathcal {A}}^{*}=0$ $\mathcal A^*w=0$ $r<m$ $\operatorname {dim} (\operatorname {ker} {\mathcal {A}}^{*})>0$ $w \in \operatorname{ker} \mathcal A^*$ $\mathcal A^*w=0$ $\operatorname{im} \mathcal A \ne W$ $\mathcal Az = u$ $u \ve W$

Metoda 2

Nechť systém (1), tj . má řešení pro libovolný . V tomto případě proto, že jinak by pro některé byla nižší než hodnost rozšířené matice a systém (1) by byl nekonzistentní kvůli Kronecker-Capelliho teorému . Protože se za těchto podmínek , tedy rovná počtu neznámých v soustavě (2) a tato soustava má pouze triviální řešení. $A\cdotX=B$ $B$ $\operatorname{rg} A = m$ $B$ $\operatorname{rg} A$ $\operatorname{rg} A^T= \operatorname{rg} A$ $\operatorname{rg} A^T = m$
Nyní ať je systém pro některé nekonzistentní . Tedy , , znamená a , tedy hodnost matice soustavy (2) je menší než počet neznámých a tato soustava má nenulové řešení. $A\cdotX=B$ $B$ $\operatorname{rg}A<m$ $\operatorname{rg}A^T<m$

V důkazu se používají následující zápisy: — hodnost matice , — rozměr prostoru , — obraz operátoru , — defekt operátoru , — jádro operátoru , — transponovaná matice . $\operatorname{rg} A$ $A$ $\operatorname{dim} W$ $W$ $\operatorname{im} \mathcal A$ ${\mathcal {A}}$ $\operatorname{def} \mathcal A$ $\mathcal A$ $\operatorname{ker} \mathcal A$ ${\mathcal {A}}$ $A^{T}$

Fredholmova alternativa pro lineární operátor působící v jednom prostoru znamená, že buď základní rovnice má jedinečné řešení pro libovolné , nebo k ní přilehlá homogenní rovnice má netriviální řešení [1] . ${\mathcal {A}}$ $PROTI$ $u\in V$

Integrální rovnice

Formulace

Fredholmova alternativa je formulována pro Fredholmovu integrální rovnici

\varphi(x) = \lambda \int\limits_0^a K(x, y) \varphi(y) \, dy + f(x) \qquad (1)

se spojitým jádrem a jeho přidruženou rovnicí $K(x, y)$

\psi(x) = \bar \lambda \int\limits_0^a K^*(x, y) \psi(y) \, dy + g(x), \qquad (1')

$K^*(x, y) = \overline{K(y, x)}$ . Homogenní rovnice je rovnice s nulovým volným členem f nebo g.

Tvrzení 1. Je-li integrální rovnice (1) se spojitým jádrem řešitelná pro libovolný volný člen, pak rovnice (1') s ní spojená je řešitelná pro libovolný volný člen a tato řešení jsou jedinečná ( Fredholmova první věta ) . $C[0, a]$ $f \in C[0, a]$ $C[0, a]$ $g \in C[0, a]$

Pokud je integrální rovnice (1) řešitelná v C[0, a] ne pro žádný volný člen , pak: $F$

1) homogenní rovnice (1) a (1') mají stejný (konečný) počet lineárně nezávislých řešení ( druhá Fredholmova věta );

2) aby rovnice (1) byla řešitelná, je nutné a postačující, aby volný člen byl ortogonální ke všem řešením sjednocovací homogenní rovnice (1') ( třetí Fredholmova věta ) [3] . $F$

Formulace 2. Pokud má Fredholmova homogenní integrální rovnice pouze triviální řešení, pak má odpovídající nehomogenní rovnice vždy jen jedno řešení. Pokud má homogenní rovnice nějaké netriviální řešení, pak nehomogenní integrální rovnice buď nemá řešení vůbec, nebo má nekonečný počet řešení v závislosti na dané funkci [4] [5] . $f(x)$

Myšlenka důkazu

Degenerované jádro

Fredholmova integrální rovnice (1) s degenerovaným jádrem tvaru

K(x, y) = \sum_{i = 1}^N f_i(x) g_i(y)

lze přepsat do formuláře

\varphi(x) = \lambda \sum\limits_{i = 1}^N c_i f_i(x) + f(x),

kde

c_i = \int\limits_0^a \varphi(y) g_i(y) \, dy

jsou neznámá čísla. Vynásobením výsledné rovnosti a integrací přes interval se rovnice s degenerovaným jádrem zredukuje na ekvivalentní systém lineárních algebraických rovnic s ohledem na neznámé : $g_k(x)$ $[0,a]$ $(c_1, c_2, \tečky, c_N)$

c_k = \lambda \sum_{i = 1}^N \alpha_{ki} c_i + a_k,

kde

\alpha_{ki} = \int\limits_0^a g_k(x) f_i(x) \, dx, \quad a_k = \int\limits_0^a g_k(x) f(x) \, dx.

Proto Fredholmova alternativa vyplývá přímo z konečně-dimenzionálního případu [6] .

Libovolné kontinuální jádro

V obecném případě je důkaz Fredholmovy alternativy pro integrální rovnice založen na reprezentaci libovolného spojitého jádra ve tvaru

K(x, y) = P(x, y) + Q(x, y),

kde je degenerované jádro ( polynom ) a je malé souvislé jádro, . Potom rovnice (1) nabývá tvaru $P(x, y)$ $Q(x,y)$ $|Q(x, y)| < \varepsilon, \, 0 \le x \le a$

\varphi = \lambda P \varphi + \lambda Q \varphi + f,

kde a jsou integrální operátory s jádry a, resp. $P$ $Q$ $P(x, y)$ $Q(x,y)$

Neznámou funkci zavedeme vzorcem $\Phi (x)$

\Phi = \varphi - \lambda Q \varphi

Pro , je funkce jednoznačně vyjádřena pomocí vzorce $|\lambda| < \frac{1}{\varepsilon a}$ $\varphi$ $\Phi$

\varphi = (I - \lambda Q)^{-1} \Phi = (I + \lambda R) \Phi,

kde je operátor identity , je integrálním operátorem s jádrem , rozpouštědlem jádra . Pak má původní rovnice tvar $já$ $R$ $R(x, y, \lambda)$ $Q(x,y)$

\Phi = \lambda T \Phi + f,

kde

T = P + \lambda PR

je integrální operátor s degenerovaným jádrem

T(x, y, \lambda) = P(x, y) + \lambda \int\limits_0^a P(x, \xi) R(\xi, y, \lambda) d\xi,

analytický v kruhu . Podobně je transformována do tvaru spojenecká integrální rovnice (1'). $\lambda$ $|\lambda| < \frac{1}{\varepsilon a}$

\psi = \bar \lambda T^* \psi + g_1.

Rovnice (1) a (1') jsou tedy kruhově ekvivalentní rovnicím s degenerovanými jádry, což umožňuje odvodit Fredholmovu alternativu pro obecný případ [6] . $|\lambda| < \frac{1}{\varepsilon a}$

Důsledky

Množina charakteristických čísel spojitého jádra nemá žádné konečné mezní body , a proto je nanejvýš spočetná . V každém kruhu se charakteristická čísla jádra shodují s charakteristickými čísly degenerovaného jádra, což jsou nuly analytické funkce . $|\lambda| < \frac{1}{\varepsilon a}$ $K(x, y)$
Každé charakteristické číslo má konečnou násobnost (počet lineárně nezávislých vlastních funkcí ). Vyplývá z druhé Fredholmovy věty. Charakteristická čísla lze očíslovat vzestupně podle jejich modulu :

|\lambda_1| \le |\lambda_2| \le\tečky,

opakující se v této sekvenci tolikrát, kolikrát je její násobek. $\lambda_k$

Jestliže je charakteristické číslo jádra , pak je charakteristické číslo jádra , a mají stejnou násobnost. $\lambda _{0}$ $K(x, y)$ $\bar \lambda_0$ $K^*(x, y)$
Vlastní funkce a jádra a , odpovídající charakteristickým číslům , respektive, a , jsou ortogonální k : . $\varphi_k$ $\psi _{i}$ $K(x, y)$ $K^*(x, y)$ $\lambda_k$ $\bar \lambda_i$ $\lambda_k \ne \lambda_i$ $(\varphi_k, \psi_i) = 0$

Pomocí těchto vlastností lze přeformulovat Fredholmovu alternativu z hlediska charakteristických čísel a vlastních funkcí:

Jestliže , pak jsou integrální rovnice (1) a (1') jednoznačně řešitelné pro libovolné volné členy. $\lambda \ne \lambda_k, \, k = 1, 2, \tečky$
Jestliže , pak homogenní rovnice $\lambda = \lambda_k$

\varphi = \lambda_k K \varphi, \quad \psi = \bar \lambda_k K^* \psi,

mají stejný (konečný) počet lineárně nezávislých řešení — vlastní funkce jádra a vlastní funkce jádra . $r_k\ge 1$ $\varphi_k, \varphi_{k + 1}, \dots, \varphi_{k + r_k - 1}$ $K(x, y)$ $\psi_k, \psi_{k + 1}, \dots, \psi_{r_k - 1}$ $K^*(x, y)$

Jestliže , pak pro řešitelnost rovnice (1) je nutné a postačující , že $\lambda = \lambda_k$

(f, \psi_{k + i}) = 0, \quad i = 0, 1, r_k - 1.

[6]

Banachův prostor

Vzhledem k rovnicím

A x - x = y, \quad (2)

A^* f - f = g, \quad (2')

kde je zcela spojitý operátor působící v Banachově prostoru a je vedlejším operátorem působícím v duálním prostoru . Potom jsou rovnice (2) a (2') řešitelné pro libovolnou pravou stranu, v takovém případě jsou homogenní rovnice $A$ $E$ $A^{*}$ $E^{*}$

A x - x = 0

A^* f - f = 0

mají pouze nulová řešení, nebo mají homogenní rovnice stejný počet lineárně nezávislých řešení

x_1, x_2, \tečky, x_n; \quad f_1, f_2, \tečky, f_n;

v tomto případě, aby rovnice (2) (respektive (2')) měla řešení, je nutné a postačující, aby

f_i(y) = 0, \quad i = 1, 2, \tečky, n

(respektive ) [7] . $g(x_i) = 0, \, i = 1, 2, \tečky, n$

Aplikace na řešení okrajových úloh pro eliptické rovnice

Neumannova metoda řešení Dirichletova problému

\Delta u(x) = 0, \quad x \in G, \quad u(s) = g(s), \quad s \in C

je, že řešení se hledá ve formě $u$

u(x) = \int\limits_C \mu(t) \frac{\částečný}{\částečný n_t} \log \frac{1}{r_{xt))dt,

tedy ve formě dvouvrstvého potenciálu . Zde je plochá oblast, je uzavřená křivka , která ji ohraničuje a má spojité zakřivení , je vzdálenost od bodu k bodu na obrysu , je vnitřní normála k bodu . Funkce musí splňovat integrální rovnici $G$ $C$ $r_{xt}$ $X$ $t$ $S$ $n_t$ $C$ $t$ $\mu$

\frac{1}{\pi} g(s) = \mu(s) + \int\limits_C K(s, t) \mu(t) \, dt

s kontinuálním jádrem

K(s, t) = \frac{1}{\pi} \frac{\partial}{\partial n_t} \log \frac{1}{r_{xt))dt.

Podle Fredholmovy alternativy má buď tato nehomogenní rovnice řešení pro jakoukoli volbu spojité funkce , nebo homogenní rovnice $\mu (s)$ $g(s)$

\nu(s) + \int\limits_C K(s, t) \mu(t) \, dt = 0

připouští nenulové řešení . To druhé není možné, lze to ukázat pomocí principu maxima pro harmonické funkce . Proto má interní Dirichletův problém řešení pro jakékoli spojité hraniční hodnoty . Podobné výsledky byly získány pro externí Dirichletův problém , stejně jako pro Neumannův problém [8] . $\nu(y)$ $g(s)$

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 Ilyin V. A., Kim G. D. Lineární algebra a analytická geometrie, 1998 , s. 313.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Prvky funkcionální analýzy, 1965 , s. 268.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Rovnice matematické fyziky, 2004 , s. 221.
↑ Tricomi F. Integrální rovnice, 1960 , s. 87.
↑ Krasnov M. L. Integrální rovnice, 1975 , s. 49.
↑ 1 2 3 Vladimirov V. S., Zharinov V. V. Rovnice matematické fyziky, 2004 , Kapitola IV, § 4.2.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Prvky funkcionální analýzy, 1965 , s. 280.
↑ Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Lectures on Functional Analysis, 1979 , s. 81.

Literatura

Konečně-dimenzionální prostor

Ilyin V. A. , Kim G. D. Lineární algebra a analytická geometrie. - M. : Moskevské nakladatelství. un-ta, 1998. - 320 s. — ISBN 5-211-03814-2 .

Integrální rovnice

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Rovnice matematické fyziky: Učebnice pro vysoké školy. - 2. vyd., stereotyp .. - M . : Fizmatlit, 2004. - 400 s. - ISBN 5-9221-0310-5 .
Trikomi F. Integrální rovnice. - M . : Nakladatelství zahraniční literatury, 1960.
Krasnov M. L. Integrální rovnice. (Úvod do teorie). - M .: Ch. vyd. Fyzikální matematika lit. nakladatelství "Science", 1975.
Petrovský IG Přednášky z teorie integrálních rovnic. — M .: Nauka, 1965. — 128 s.
Riess F. , Sökefalvi-Nagy B. Přednášky o funkcionální analýze. — M .: Mir, 1979. — 592 s.

Banachův prostor

Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. Prvky funkcionální analýzy. - Ed. 2., revidovaný. — M .: Nauka, 1965. — 520 s.