Atraktor

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 5. července 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Atraktor ( angl. přitahovat - přitahovat, přitahovat) - kompaktní podmnožina fázového prostoru dynamického systému , jehož všechny trajektorie z nějakého okolí k němu s časem inklinují k nekonečnu. Atraktor může být atraktivní pevný bod (například v problému kyvadla s třením o vzduch), periodická trajektorie (například samobuzené oscilace v kladné zpětnovazební smyčce) nebo nějaká omezená oblast s nestabilními trajektoriemi uvnitř (jako zvláštní atraktor).

Existují různé formalizace konceptu aspirace, což vede k různým definicím atraktoru, které definují, respektive potenciálně různé množiny (často vnořené jedna do druhé). Nejčastěji používané definice jsou maximální atraktor (často v jeho malém sousedství, viz níže), Milnorův atraktor a nonwandering set .

Klasifikace

Atraktory jsou klasifikovány podle:

Formalizace pojmu aspirace: rozlišuje se mezi maximálním atraktorem, neputující sadou, Milnorovým atraktorem, Birkhoffovým centrem, statistickým a minimálním atraktorem.
Zákonitosti samotného atraktoru: atraktory se dělí na pravidelné (přitahující pevný bod, přitahující periodickou trajektorii, mnohočetné ) a podivné (nepravidelné - často fraktální a/nebo uspořádané v nějaké sekci jako Cantorova množina ; dynamika na nich bývá chaotická ).
Lokalita („ přitahující množina “) a globálnost (zde pojem „minimální“ ve smyslu „nedělitelný“).

Existují také dobře známé "pojmenované" příklady atraktorů: Lorentz , Plykin , Smale-Williamsův solenoid , heteroklinický atraktor ( Bowenův příklad ).

Vlastnosti a související definice

Ve všech definicích se předpokládá, že atraktor je uzavřená a (zcela) invariantní množina.

Koncept míry Sinaj-Ruelle-Bowen také úzce souvisí s konceptem atraktoru : invariantní míra na něm, ke které se vztahují časové průměry typického (ve smyslu Lebesgueovy míry) výchozího bodu nebo časové průměry. iterací Lebesgueovy míry mají tendenci. Takové opatření však vždy neexistuje (což ilustruje zejména Bowenův příklad ).

Typy formalizace definice

Vzhledem k tomu, že celý fázový prostor je v každém případě zachován dynamikou, lze formální definici atraktoru podat na základě filozofie, že „atraktor je nejmenší množina, ke které vše směřuje“ – jinými slovy, vyhazování všeho, co lze vyhozen z fázového prostoru.

Maximální atraktor

Nechť je dynamickému systému dána oblast , která je do sebe striktně přeložena dynamikou: $U$

\overline {f(U)}\subset U

Pak maximální atraktor systému v omezení na U je průsečíkem všech jeho obrazů při působení dynamiky:

A_{{max}}=\bigcap _{{n=1}}^{{\infty }}f^{n}(U).

Stejnou definici lze aplikovat i na toky: v tomto případě je nutné požadovat, aby vektorové pole definující tok na hranici oblasti směřovalo striktně dovnitř.

Tato definice se často používá k charakterizaci množiny jako „přirozeného“ atraktoru („je maximálním atraktorem svého okolí“). Používá se také v parciálních diferenciálních rovnicích [1] .

Tato definice má dvě nevýhody. Nejprve je pro jeho aplikaci nutné najít absorpční oblast. Za druhé, pokud byla taková oblast vybrána neúspěšně - řekněme, že obsahovala odpudivý pevný bod se svým odpudivým bazénem - pak v maximálním atraktoru budou body „navíc“, které ve skutečnosti nemohou být umístěny několikrát za sebou, ale aktuální výběr oblasti tohoto „necítí“.

Milnorův atraktor

Podle definice je Milnorův atraktor dynamického systému nejmenší (podle zahrnutí) uzavřená množina obsahující ω-limitní množiny téměř všech počátečních bodů s ohledem na Lebesgueovu míru. Jinými slovy, toto je nejmenší množina, ke které směřuje trajektorie typického výchozího bodu.

Nonwandering set

Bod x dynamického systému se nazývá putování , pokud iterace některého z jeho okolí U nikdy nepřekročí toto okolí:

\forall n>0\quad f^{n}(U)\bigcap U=\emptyset .

Jinými slovy, bod je putování, pokud má okolí, které může jakákoli trajektorie protnout pouze jednou. Množina všech nebloudících bodů se nazývá nebloudící množina.

Statistický atraktor

Statistický atraktor je definován jako uzavřená množina s nejmenší inkluzí , v jejímž sousedství tráví téměř všechny body téměř celou dobu: pro kterékoli z jeho sousedství , pro téměř jakýkoli (ve smyslu Lebesgueovy míry) bod máme $A_{{stat}}$ $U$ $X$

{\frac {1}{N}}\#\{j\leq N\mid f^{j}(x)\v U\}\to 1,\quad N\to \infty .

Minimální atraktor

Minimální atraktor je definován jako nejmenší (vzhledem k inkluzi) uzavřená množina , v jejímž sousedství tráví téměř celý čas téměř celá Lebesgueova míra: pro kterékoli z jejích sousedství , $A_{{min}}$ $U$

{\frac {1}{N}}\součet _{{j=0}}^{{N-1}}(f_{*}^{j}(Leb))(U)\to 1,\quad N\to \infty .

Příklady neshod

Lokalita, minimalita a globálnost

Pravidelné a podivné atraktory

Pravidelné atraktory

Atraktivní pevný bod

(příklad: kyvadlo s třením)

Limitní cyklus

(příklad: mikrofon+reproduktory, Van der Pol oscilátor )

Podivné atraktory

(příklady: Lorenzův atraktor, Rösslerův atraktor , Smale-Williamsův solenoid; komentář k motýlímu efektu a dynamickému chaosu .)

Podivný atraktor je přitahující soubor nestabilních trajektorií ve fázovém prostoru disipativního dynamického systému [2] . Na rozdíl od atraktoru to není manifold , to znamená, že to není křivka nebo plocha. Struktura podivného atraktoru je fraktální . Dráha takového atraktoru je neperiodická (nezavírá se) a režim činnosti je nestabilní (vzrůstají malé odchylky od režimu). Hlavním kritériem pro náhodnost atraktoru je exponenciální růst malých poruch v čase. Důsledkem toho je „promíchání“ v systému, neperiodicita v čase kterékoli ze souřadnic systému, spojité výkonové spektrum a časově klesající autokorelační funkce .

Dynamika na podivných atraktorech je často chaotická : předpovědět trajektorii, která spadla do atraktoru, je obtížné, protože malá nepřesnost v počátečních datech po určité době může vést k silnému rozporu mezi předpovědí a skutečnou trajektorií. Nepředvídatelnost trajektorie v deterministických dynamických systémech se nazývá dynamický chaos , čímž se odlišuje od stochastického chaosu , který se vyskytuje ve stochastických dynamických systémech . Tento jev se také nazývá motýlí efekt , což naznačuje možnost přeměny slabých turbulentních proudů vzduchu způsobených máváním motýlích křídel v jednom bodě planety na silné tornádo na druhé straně v důsledku jejich mnohonásobného zesílení v atmosféře nad určitými částmi planety. čas. Ale ve skutečnosti klapnutí motýlího křídla obvykle tornádo nevytvoří, protože v praxi existuje taková tendence, že tak malé výkyvy v průměru nemění dynamiku tak složitých systémů, jako je atmosféra planety, a sám Lorentz řekl o toto: „Obecně ale tvrdím, že v průběhu let drobné otřesy ani nezvyšují, ani nesnižují četnost výskytu různých povětrnostních jevů, jako jsou hurikány. Jediné, co mohou udělat, je změnit pořadí, ve kterém se tyto jevy vyskytují.“ A to je možná důležitá a překvapivá věc, bez níž by bylo obtížné, ne-li nemožné, studovat chaotickou dynamiku (dynamiku, která je citlivá na sebemenší změny počátečních podmínek systému).

Mezi podivnými atraktory jsou takové, jejichž Hausdorffova dimenze je odlišná od topologické dimenze a je zlomková. Jedním z nejznámějších mezi takovými atraktory je Lorenzův atraktor .

Jmenovité příklady

Lorentzův atraktor

Systém diferenciálních rovnic, které vytvářejí Lorentzův atraktor, má tvar:

{\dot x}=\sigma (yx)

{\tečka y}=x(rz)-y

{\dot z}=xy-bz

s následujícími hodnotami parametrů: , , . Lorenzův atraktor není klasický. On také není divný ve smyslu Smale . [3] $\sigma =10$ $r=28$ $b=8/3$

Solenoid Smale-Williams

Solenoid Smale-Williams je příkladem reverzibilního dynamického systému , podobného chování trajektorií jako zdvojení mapování na kružnici. Přesněji řečeno, tento dynamický systém je definován na pevném torusu a v jeho jedné iteraci se úhlová souřadnice zdvojnásobí; odkud automaticky vznikají exponenciální divergence trajektorií a chaotická dynamika. Maximální atraktor tohoto systému se také nazývá solenoid (odkud ve skutečnosti název pochází): je uspořádán jako (nespočetné) spojení „nití“ navinutých podél pevného torusu .

Plykinový atraktor

Atraktor Plykin je příkladem dynamického systému na disku, jehož maximální atraktor je hyperbolický . Zejména je tento příklad strukturálně stabilní, protože splňuje Smaleův axiom A.

Bowenův příklad nebo heteroklinický atraktor

Hénův atraktor

https://web.archive.org/web/20101227004521/http://ibiblio.org/e-notes/Chaos/en/strange_r.htm

Hypotézy

Palisova domněnka [4]

Existuje tak metricky hustá podmnožina D prostoru T, že Milnorův atraktor libovolného dynamického systému z množiny D lze rozložit pouze na konečný počet tranzitivních složek;
Tranzitivní složky atraktoru mají míru SRB ;
Tranzitivní složky atraktoru jsou stochasticky stabilní ve svých pánvích přitažlivosti;
Pro typický systém typické rodiny jednorozměrné dynamiky představují složky atraktoru buď periodické trajektorie přitahování, nebo mají absolutně spojitou invariantní míru. [5]

Ruelleho hypotézy

Viz také

Poznámky

↑ Yu. S. Iljašenko. Globální analýza fázového portrétu pro rovnici Kuramoto-Sivashinsky, Journal of Dynamics and Differential Equations, sv. 4, č. 4, 1992
↑ Gaponov-Grekhov A.V. , Rabinovich M.I. Nelineární fyzika. Stochasticita a struktury // Fyzika XX století: vývoj a vyhlídky. - M., Nauka, 1984. - str. 237
↑ Podivné atraktory. Přehled článků. Moskva. 1981 Překlad z angličtiny, editovali Y. G. SINAI a L. P. SHILNIKOV
↑ Semináře: V. A. Kleptsyn, Atraktory dynamických systémů . www.mathnet.ru Staženo: 17. srpna 2018. (neurčitý)
↑ Saltykov, Petr Sergejevič. Nové vlastnosti atraktorů a invariantních množin dynamických systémů . - 2011. Archivováno 17. srpna 2018. (Ruština)

Reference a literatura

A. Gorodetski, Yu. Iljašenko. Minimální a podivné atraktory, International Journal of Bifurcation and Chaos, sv. 6, č. 6 (1996), str. 1177-1183.
A. S. Gorodetsky. Minimální atraktory a částečně hyperbolické množiny dynamických systémů. Diss. c.f.-m. n., Moskevská státní univerzita, 2001.
Elektronická knihovna nelineární dynamiky
Článek "Atraktor" od J. Milnora , Scholarpedia.
Galerie nejpodivnějších atraktorů . LENTA.RU. Získáno 28. března 2013. Archivováno z originálu dne 4. dubna 2013. (neurčitý)
E. V. Nikulčev. Geometrická metoda rekonstrukce systémů založená na experimentálních datech // Letters to ZhTF. 2007. T. 33. Vydání. 6. S. 83-89.
E. V. Nikulčev. Identifikace dynamických systémů na základě symetrií rekonstruovaných atraktorů Moskva, 2010.