Beta distribuce

Beta distribuce
Hustota pravděpodobnosti
distribuční funkce
Označení	${\text{Beta}}(\alpha ,\beta )$
Možnosti	$\alpha >0$ $\beta>0$
Dopravce	$x\in [0,1]$
Hustota pravděpodobnosti	${\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )))$
distribuční funkce	$I_{x}(\alpha ,\beta )$
Očekávaná hodnota	${\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}$
Móda	${\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2))$ pro $\alpha >1,\beta >1$
Disperze	${\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)))$
Koeficient asymetrie	${\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1))}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta ))))$
Kurtózní koeficient	$6\,{\frac {\alpha ^{3}-\alpha ^{2}(2\beta -1)+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta ( \beta +2)}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)))$
Generující funkce momentů	$1+\součet _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r} }\right){\frac {t^{k}}{k!)}}$
charakteristická funkce	${}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)$

Beta rozdělení v teorii pravděpodobnosti a statistice je dvouparametrová rodina absolutně spojitých rozdělení . Používá se k popisu náhodných proměnných, jejichž hodnoty jsou omezeny na konečný interval.

Definice

f_{X}(x)={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )))\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1 }

kde

$\alpha ,\beta >0$ libovolné pevné parametry a
$\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int \limits _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\,dx$ je funkce beta .

Pak má náhodná veličina beta rozdělení. Napište: . $X$ $X\!\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )$

Tvar grafu hustoty pravděpodobnosti rozdělení beta závisí na volbě parametrů a . $\alpha$ $\beta$

$\alpha<1,\ \beta<1$ — graf je konvexní a na hranicích jde do nekonečna (červená křivka);
$\alpha <1,\ \beta \geq 1$ nebo - graf je přísně klesající (modrá křivka) $\alpha =1,\ \beta >1$
- $\alpha =1,\ \beta >2$ - graf je přísně konvexní;
- $\alpha =1,\ \beta =2$ — graf je přímka;
- $\alpha =1,\ 1<\beta <2$ - graf je přísně konkávní ;
$\alpha =1,\ \beta =1$ graf odpovídá grafu hustoty standardní spojité rovnoměrné distribuce ;
$\alpha =1,\ \beta<1$ nebo — přísně rostoucí graf (zelená křivka); $\alpha >1,\ \beta \leq 1$
- $\alpha >2,\ \beta =1$ - graf je přísně konvexní;
- $\alpha =2,\ \beta =1$ — graf je přímka;
- $1<\alpha <2,\ \beta =1$ — graf je přísně konkávní;
$\alpha >1,\ \beta >1$ — unimodální graf (purpurová a černá křivka)

V případě, kdy je hustota pravděpodobnosti symetrická vzhledem k (červené a purpurové křivce), tzn. $\alpha=\beta$ $1/2$

f_{X}(1/2-x)=f_{X}(1/2+x),\;x\in [0,1/2]

Matematické očekávání a rozptyl náhodné proměnné s beta rozdělením jsou: $X$

\mathbb {E} [X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta ))

\mathrm {D} [X]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)))

Beta distribuce je typ I Pearson distribuce [1] .
Standardní spojité rovnoměrné rozdělení je speciálním případem rozdělení beta: $\mathrm {U} [0,1]\equiv \mathrm {B} (1,1)$ .
Beta distribuce je široce používána v bayesovských statistikách , protože je konjugovaným předchozím Bernoulliho , binomického a geometrického rozdělení.
Jestliže jsou nezávislé gama-distribuované náhodné proměnné, a , a , pak $X,Y$ $X\sim \mathrm {\Gamma } (\alpha ,1)$ $Y\sim \mathrm {\Gamma } (\beta ,1)$ ${\frac {X}{X+Y}}\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )$ .

Koroljuk V.S. , Portenko N.I. , Skorokhod A.V. , Turbin A.F. Příručka teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky. - M. : Nauka, 1985. - 640 s.

Rozdělení pravděpodobnosti
Oddělený	Bernoulli Binomický Geometrický hypergeometrické Logaritmické Negativní binom jed Diskrétní uniforma Multinomický
Absolutně kontinuální	Beta Weibulla gama- hyperexponenciální Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormální normální (gaussovský) Logistické Nakagami Pareto Pearson polokruhový kontinuální uniforma Rýže Rayleigh Student Tracey - Vidoma Rybář Chí-kvadrát Exponenciální Rozptyl-gama Vícerozměrný normální spona