Vektorový počet

Vektorový počet  je odvětví matematiky , které studuje vlastnosti operací s vektory [1] . Vzhledem k rozmanitosti vlastností vektorů, v závislosti na prostoru, ve kterém jsou studovány, se vektorový počet dělí na:

• vektorová algebra;
• vektorová analýza;
• funkční analýza.

Rozšířením vektorového počtu je tenzorový počet , který studuje tenzory a tenzorová pole . Tenzorový počet se zase dělí na algebru tenzoru (zahrnutou jako hlavní část v multilineární algebře ) a analýzu tenzoru , která studuje diferenciální operátory na algebře tenzorových polí.

Tenzorový počet je nedílnou součástí diferenciální geometrie , používá se mimo jiné v moderní teoretické fyzice [2] .

Úseky vektorového počtu

Vektorová algebra

V této části vektorového počtu jsou studovány vlastnosti lineárních operací s vektory: sčítání, násobení vektorů číslem, různé součiny vektorů - skalární, pseudoskalární, vektorový, smíšený, dvojitý vektor atd. [3] . Jako aplikace pro analytickou geometrii jsou studovány geometrické vlastnosti vektorů a jejich sbírek. Zejména kolinearita, komplanarita vektorů, vlastnosti vektorové báze. V analytické a teoretické mechanice se na základě zákonů vektorové algebry studuje pohyb a interakce hmotných těles [4].

Rozšířením vektorové algebry je tenzorová algebra , která zkoumá algebraické operace na tenzorech [5] .

Vektorová analýza

Obor vektorového počtu, který studuje statická, stacionární a dynamická vektorová a skalární pole. Vektorová analýza pracuje s pojmy vektorový tok , vektorová cirkulace , [6] . Pomocí těchto konceptů studujeme vztahy mezi skaláry a vektory, které definují pole, a dokazujeme základní věty vektorové analýzy:

• Spád
• Věta o vektorové divergenci ;
• Vektorová cirkulační věta ;
• Laplaceova rovnice ;
• Poissonova rovnice ;
• Helmholtzova věta o rozkladu ;
• Umovova věta [7] .

Rozšířením vektorové analýzy je tenzorová analýza , která studuje diferenciální operátory působící na algebře . Zvažují se také obecnější operátory: hustoty tenzorů, diferenciální formy s hodnotami ve vektorovém svazku [8] .

Funkční analýza

Funkční analýza je součástí moderní matematické analýzy, jejímž hlavním účelem je studovat funkce , kde se alespoň jedna z proměnných mění v nekonečném prostoru [9] .

Metody založené na vektorové reprezentaci funkcí našly široké uplatnění v teorii lineárních integrálních rovnic [10] , v teorii zpracování signálů [11] , v teorii obyčejných diferenciálních rovnic [12] , algebraické geometrii [13] , atd.

Poznámky

1. ↑ Ivanov A. B. Vektorový počet. Mathematical Encyclopedia, ed. Vinogradova I. M., M., Sovětská encyklopedie, díl 1, str. 640
2. ↑ Onischuk A. L. Tenzorový počet. Matematická encyklopedie. Ed. Vinogradova I. M., M., Sovětská encyklopedie, díl 5, str. 330
3. ↑ Pytiev Yu. P.  Vektorová algebra. Mathematical Encyclopedia, ed. Vinogradova I. M., M., Sovětská encyklopedie, díl 1, str. 632-636
4. ↑ Olkhovsky I. I. Kurz teoretické mechaniky pro fyziky. M., Science, 1970
5. ↑ Onischuk A. L. Tenzorová algebra. Matematická encyklopedie. Ed. Vinogradova I. M., M., Sovětská encyklopedie, díl 5, str. 329
6. ↑ Ivanov A. B. Vektorová analýza. Mathematical Encyclopedia, ed. Vinogradova I. M., M., Sovětská encyklopedie, díl 1, str. 648
7. ↑ pohyb energie v tělesech (Umov) / I
8. ↑ Onischuk A. L. Tenzorová analýza. Matematická encyklopedie. Ed. Vinogradova I. M., M., Sovětská encyklopedie, díl 5, str. 333
9. ↑ Berezansky Yu. M., Levitan B. M. Funkční analýza. Matematická encyklopedie. Ed. Vinogradova I. M., M., Sovětská encyklopedie, díl 5, str. 705-712
10. ↑ Korn G., Korn T. Příručka matematiky pro vědce a inženýry. M., Nauka, 1968, str. 399
11. ↑ Samoilo K. A. Rádiové obvody a signály. M., Rozhlas a komunikace, 1982, str. 39
12. ↑ Pontryagin L. S.  Obyčejné diferenciální rovnice. M., Nauka, 1970, str. 103
13. ↑ Čebotarev N. G. Teorie algebraických funkcí. M., OGIZ, 1948, str. 385

Slovníky a encyklopedie	Velký Rus