Skutečná projektivní rovina

Základní polygon projektivní roviny.	Möbiův pás s jednou hranou lze uzavřít do projekční roviny slepením protilehlých hran k sobě.	Pro srovnání, Kleinova láhev je Möbiův pás uzavřený do válce.

Reálná projektivní rovina je příkladem kompaktního neorientovaného 2 - rozdělovače , jinými slovy, jednostranné plochy . Projektivní rovinu nelze vložit do běžného trojrozměrného prostoru bez vlastního průniku. Hlavní oblastí použití této roviny je geometrie , protože hlavní konstrukcí skutečné projektivní roviny je prostor přímek v R 3 procházejících počátkem.

Rovina je často popisována topologicky z hlediska konstrukce na základě Möbiova pásu - pokud k sobě přilepíte (jedinou) hranu Möbiova pásu správným směrem, dostanete projektivní rovinu (to nelze v trojrozměrném prostoru ). Ekvivalentně, lepení kruhu podél hranice Möbiova pásu dává projektivní rovinu. Topologicky má povrch Eulerovu charakteristiku 1, protože semirod (neorientovatelný nebo Eulerův rod) je 1.

Protože Möbiův pás může být sestaven ze čtverce slepením dvou jeho stran k sobě, může být skutečná projektivní rovina reprezentována jako jednotkový čtverec (tj. [0,1] × [0,1]), ve kterém jsou strany identifikovány následujícím vztahem ekvivalence :

(0,y)\sim (1,1-y),0\leqslant y\leqslant 1

(x,0)\sim (1-x,1),0\leqslant x\leqslant 1

jako na levém obrázku výše.

Příklady

Projektivní geometrie není nutně o zakřivení a skutečná projektivní rovina může být zkroucena a umístěna do euklidovské roviny nebo trojrozměrného prostoru mnoha způsoby [1] . Některé důležité příklady rovinného vnoření jsou popsány níže.

Projektivní rovinu nelze vložit (bez průniků) do trojrozměrného euklidovského prostoru . Důkaz toho zní asi takto: Předpokládejme, že rovina je zapuštěna, pak projektivní rovina ohraničuje kompaktní oblast trojrozměrného euklidovského prostoru podle zobecněné Jordanovy věty . Vně orientované jednotkové vektorové pole pak definuje orientaci hranice manifoldu, ale hranicí manifoldu je projektivní rovina , která není orientovatelná. Máme rozpor.

Projektivní sféra

Uvažujme kouli , nechť jsou velké kružnice koule „přímky“ a dvojice protinožců jsou „body“. Je snadné ověřit, že systém dodržuje axiomy projektivní roviny :

jakákoliv dvojice zřetelných velkých kružnic se protíná ve dvojici protilehlých bodů
jakékoli dva odlišné páry protinožců leží na jednom velkém kruhu

Ztotožníme-li libovolný bod na kouli s jeho protinožeckým bodem, dostaneme zobrazení skutečné projektivní roviny, ve které jsou „body“ projektivní roviny skutečnými body. To znamená, že projektivní rovina je podílový prostor koule, který získáme rozdělením koule do tříd ekvivalence vztahem , kde je -li y = −x. Tento podílový prostor je homeomorfní množině všech čar procházejících počátkem v R 3 . $\sim$ $x\sim y$

Faktorové mapování z koule do skutečné projektivní roviny je ve skutečnosti dvouvrstvé (tj. dva ku jedné) pokrytí . Z toho vyplývá, že základní grupou reálné projektivní roviny je cyklická grupa řádu 2. Jako generátor lze brát cyklus AB na obrázku výše.

Projektivní hemisféra

Vzhledem k tomu, že koule pokrývá skutečnou projektivní rovinu dvakrát, lze projektivní rovinu reprezentovat jako uzavřenou polokouli, ve které jsou identifikovány opačné body okraje [2] .

Battle Surface - Immersion

Projektivní rovina může být ponořena (lokální okolí definičního oboru nemají sebeprůniky) do trojrozměrného prostoru. Boiův povrch je příkladem takového ponoření.

Polyedrické příklady musí mít alespoň devět tváří [3] .

Římský povrch

Steinerův římský povrch je zdegenerované mapování projektivní roviny do trojrozměrného prostoru obsahujícího Möbiův pás .

Reprezentací mnohostěnu je čtyřstěn [4] , který má stejný obecný tvar jako Steinerův povrch.

Semipolyedry

V opačném směru mohou být některé abstraktní pravidelné mnohostěny , semicube , semidodecahedron a semiicosahedron , konstruovány jako postavy v projektivní rovině . Viz článek " Projektivní mnohostěn ".

Rovinné projekce

Byly popsány různé rovinné průměty nebo průměty průmětné roviny. V roce 1874 Klein popsal mapování [1] $k(x,y)={\sqrt {1+x^{2}+y^{2}}}.(x,y)$

Centrální projekce projektivní polokoule na rovinu dává obvyklou nekonečnou projektivní rovinu, popsanou níže.

Möbiův pás

Slepíme- li kruh Möbiovým proužkem , dostaneme uzavřenou plochu. Tento povrch lze parametricky reprezentovat následujícími rovnicemi:

X(u,v)=r\,(1+\cos v)\,\cos u,

Y(u,v)=r\,(1+\cos v)\,\sin u,

Z(u,v)=-\mathrm {th} \,\left(u-\pi \right)\,r\,\sin v,

kde u a v jsou od 0 do 2 π . Tyto rovnice jsou podobné těm pro torus . Obrázek 1 ukazuje uzavřený disk s Möbiovým pásem.

Obrázek 1. Dva pohledy na disk s Möbiovým pásem.

Disk s Möbiovým pásem má rovinu symetrie , která prochází úsečkou s průsečíky (na obrázku bude rovina vodorovná). Na obrázku 1 je Möbiův páskový disk znázorněn shora vzhledem k rovině symetrie z = 0, ale při pohledu zespodu bude vypadat úplně stejně.

Kotouč s Möbiovým pásem lze řezat podél roviny symetrie s podmínkou, že není řezán žádný dvojitý hrot. Výsledek je znázorněn na obrázku 2.

Obrázek 2. Dva pohledy na vypreparovaný disk s Möbiovým proužkem.

Za těchto podmínek lze vidět, že vypreparovaný disk s Möbiovým proužkem je homeomorfní k samoprotínajícímu disku, jak je znázorněno na obrázku 3.

Obrázek 3. Dva různé pohledy na samoprotínající se disk.

Samoprotínající se disk je homeomorfní k běžnému disku. Parametrické rovnice samoprotínajícího disku:

X(u,v)=r\,v\,\cos 2u,

Y(u,v)=r\,v\,\sin 2u,

Z(u,v)=r\,v\,\cos u,

kde u je od 0 do 2 π a v od 0 do 1.

Projekce samoprotínajícího disku na rovinu symetrie ( z = 0 při výše uvedené parametrizaci), která prochází pouze dvojitými body, je pravidelným diskem, který se opakuje (skládá se na sebe).

Rovina z = 0 rozřeže samoprotínající se disk na pár disků, které jsou navzájem zrcadlovými obrazy . Disky jsou vystředěny v počátku .

Zvažte nyní ráfky disku (s v = 1). Body na okraji samoprotínajícího disku přicházejí v párech jako odrazy jeden druhého kolem roviny z = 0.

Disk s Möbiovým pruhem vzniká identifikací těchto dvojic bodů. To znamená, že bod s parametry ( u ,1) a souřadnicemi je identifikován s bodem ( u + π,1), jehož souřadnice jsou . To však znamená, že jsou identifikovány dvojice protilehlých bodů na okraji (ekvivalentního) běžného disku. Z disku se tak vytvoří skutečná projektivní rovina, takže povrch znázorněný na obrázku 1 (disk s Möbiovým pásem) je topologicky ekvivalentní skutečné projektivní rovině RP 2 . $(r\,\cos 2u,r\,\sin 2u,r\,\cos u)$ $(r\,\cos 2u,r\,\sin 2u,-r\,\cos u)$

Homogenní souřadnice

Body roviny mohou být reprezentovány homogenními souřadnicemi . Bod má homogenní souřadnice , zatímco souřadnice a odpovídají stejnému bodu pro všechny nenulové hodnoty t . Body se souřadnicemi představují obvyklou skutečnou rovinu , která se nazývá konečná část projektivní roviny, a body se souřadnicemi se nazývají body v nekonečnu nebo ideální body , které tvoří přímku, která se nazývá přímka v nekonečnu . Homogenní souřadnice nepředstavují žádný bod. $[x:y:z]$ $[x:y:z]$ $[tx:ty:tz]$ $[x:y:1]$ $[x:y:0]$ $[0:0:0]$

Čáry v rovině mohou být reprezentovány homogenními souřadnicemi. Projektivní přímka odpovídající rovině v R 3 má homogenní souřadnice . Tyto souřadnice mají tedy vztah ekvivalence pro všechny nenulové hodnoty d . Je to důsledek toho, že rovnice téže přímky dává stejné homogenní souřadnice. Bod leží na přímce , jestliže . Čáry se souřadnicemi, kde aab se nerovnají 0, tedy odpovídají přímkám v obyčejné reálné rovině , protože obsahují body, které neleží v nekonečnu. Čára se souřadnicemi je čára v nekonečnu, protože na ní leží pouze body, pro které . $ax+by+cz=0$ $(a:b:c)$ $(a:b:c)=(da:db:dc)$ $dax+dby+dcz=0$ $[x:y:z]$ $(a:b:c)$ $ax+by+cz=0$ $(a:b:c)$ $(0:0:1)$ $z=0$

Body, přímky a roviny

Přímku v rovině P 2 lze znázornit rovnicí . Pokud považujeme a , b a c za sloupcový vektor g a x , y , z za sloupcový vektor x , lze výše uvedenou rovnici zapsat jako: $ax+by+cz=0$

\mathbf {x} ^{T}\mathbf {g} =0

nebo .

\mathbf {g} ^{T}\mathbf {x} =0

Pomocí vektorového zápisu můžeme místo toho psát

\mathbf {x} \ldots \mathbf {g} =0

nebo .

\mathbf {g} \ldots \mathbf {x} =0

Rovnice (kde k je nenulový skalár) vymetá rovinu, která prochází počátkem v R 3 a k ( x ) opět vymetá přímku přes počátek. Rovina a přímka jsou lineární podprostory v R 3 , které vždy procházejí počátkem. $k(\mathbf {x} ^{T}\mathbf {g} )=0$

Ideální body

V P 2 je rovnice přímky , a tato rovnice může představovat jakoukoli přímku v jakékoli rovině rovnoběžné s rovinou x , y , když je rovnice vynásobena k . $ax+by+c=0$

Pokud z = 1, máme normalizované homogenní souřadnice. Všechny body, pro které z = 1, tvoří rovinu. Představme si, že se díváme na tuto rovinu (z bodu dále podél osy z a díváme se směrem k počátku) a na rovině jsou dvě rovnoběžné přímky. Z pohledu vidíme pouze část roviny (vzhledem k vlastnostem vidění), která je na obrázku zvýrazněna červeně. Pokud se vzdálíme od roviny podél osy z (a přitom se stále díváme směrem k počátku), vidíme většinu roviny. Počáteční body našeho fragmentu pohledu se pohybují. Tento pohyb můžeme odrazit vydělením homogenních souřadnic konstantou. Na obrázku jsme vydělili 2, takže z -hodnota je nyní 0,5. Pokud se vzdálíme dostatečně daleko, změní se dotyčná oblast v tečku. Jak se vzdalujeme, vidíme čáry stále šířeji, zatímco rovnoběžné čáry se protínají na přímce v nekonečnu (přímka procházející počátkem v rovině z \u003d 0). Přímky v rovině z = 0 jsou ideální body. Rovina z = 0 je přímka v nekonečnu.

Bod s jednotnými souřadnicemi (0, 0, 0) je bod, kde se při pohledu na rovinu z nekonečna všechny reálné body sbíhají, a přímka v rovině z = 0) je přímka, kde se protínají všechny rovnoběžné přímky.

Dualita

V rovnici jsou dva sloupcové vektory . Můžete změnit další, přičemž jeden sloupec zůstane konstantní. Zachováme-li konstantní bod x a změníme koeficienty g , vytvoříme nové čáry procházející bodem. Zachováme-li konstantní koeficienty a změníme body vyhovující rovnici, vytvoříme přímku. X považujeme za bod, protože osy, které používáme, jsou x , y a z . Pokud místo toho použijeme osy a , b , c jako koeficienty , body se stanou přímkami a přímky body. Pokud prokážeme nějakou skutečnost pro grafické znázornění dat na osách x , y a z , lze stejnou úvahu použít i pro osy a , b a c . Tomu se říká dualita. $\mathbf {x} ^{T}\mathbf {g} =0$

Čáry spojující body a průsečíky čar (pomocí duality)

Rovnice vypočítá bodový součin dvou sloupcových vektorů. Bodový součin dvou vektorů je nula, pokud jsou vektory ortogonální . V rovině P2 může být přímka mezi body x 1 a x 2 reprezentována jako sloupcový vektor g , který splňuje rovnice a , nebo jinými slovy sloupcový vektor g , který je ortogonální k vektorům x 1 a x 2 . Křížový součin takový vektor najde - přímka spojující dva body má homogenní souřadnice dané rovnicí - . Průsečík dvou čar lze nalézt stejným způsobem, za použití duality, jako křížový součin vektorů reprezentujících čáry . $\mathbf {x} ^{T}\mathbf {g} =0$ $\mathbf {x} _{1}^{T}\mathbf {g} =0$ $\mathbf {x} _{2}^{T}\mathbf {g} =0$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2))$ ${\displaystyle \mathbf {g} _{1}\times \mathbf {g} _{2))$

Vložení do 4-rozměrného prostoru

Projektivní rovina je zasazena do 4rozměrného euklidovského prostoru. Reálná projektivní rovina P 2 ( R ) je podílový prostor 2-koule

S^{2}=\{(x,y,z)\in \mathbf {R} ^{3}3:x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \}

v antipodálním vztahu . Zvažte funkci zadanou jako . Toto zobrazení je omezeno na zobrazení, jehož doménou je S 2 , a protože každý člen je homogenním polynomem sudého stupně, nabývá stejných hodnot v R 4 v každém ze dvou antipodálních bodů koule S 2 . To dává zobrazení . Toto mapování je navíc přílohou. Všimněte si , že toto vložení umožňuje projekci do R 3 , což římský $(x,y,z)\sim (-x,-y,-z)$ $\mathbf {R} ^{3}\rightarrow \mathbf {R} ^{4}$ $(x,y,z)\mapsto (xy,xz,y^{2}-z^{2},2yz)$ $\mathbf {P} ^{2}(\mathbf {R} )\rightarrow \mathbf {R} ^{4}$

Neorientovatelné povrchy vyšších polorodů

Lepením projektivních rovin za sebou získáme neorientovatelné plochy vyššího polorodu . Proces lepení spočívá v odříznutí malého kotouče z každého povrchu a identifikaci ( přilepení ) hranic. Slepením dvou projektivních rovin vznikne Kleinova láhev .

Článek o základním mnohoúhelníku popisuje neorientovatelné povrchy vyššího polorodu.

Viz také

Reálný projektivní prostor
projektivní prostor
Hladký projektivní prostor

Poznámky

↑ 1 2 Apéry, 1987 .
↑ Týdny, 2002 , str. 59.
↑ Brehm, 1990 , s. 51-56.
↑ Richter .

Literatura

Apery F. Modely reálné projektivní roviny. - Vieweg, 1987. - ISBN 9783528089559 .
Coxeter HSM Skutečná projektivní rovina. — 2. vyd. — Cambridge: Na University Press, 1955.
Reinhold Baer. Lineární algebra a projektivní geometrie. - Dover, 2005. - ISBN 0-486-44565-8 .
David A. Richter. Dva modely skutečné projektivní roviny .
Týdny J. Tvar prostoru. - Marcel Dekker, Ine, 2002. - (MONOGRAFIE A UČEBNICE čisté a aplikované matematiky). — ISBN 0-8247-0709-5 .
Brehm U. Jak sestavit minimální mnohostěnné modely povrchu Boy // The mathematical intelligencer. - 1990. - T. 12 , no. 4 .

Odkazy

Weisstein, Eric W. Real Projective Plane (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Barvení čárového pole pomocí skutečného ponoření do projektivní roviny Wernera Boye
Skutečná projektivní rovina na YouTube

Kompaktní povrchy a jejich ponoření do trojrozměrného prostoru

Třída homeoformity kompaktního triangulovaného povrchu je určena orientovatelností, počtem hraničních složek a Eulerovou charakteristikou.

žádná hranice

Orientační	Koule (rod 0) Thor (rod 1) "Osm" (rod 2) " Preclík " (rod 3) ...
Neorientovatelný	Skutečná projektivní rovina rod 1; Bojová plocha římský povrch Kleinova láhev (rod 2) Povrch ptáka (rod 3) ...

s okrajem

Disk
- polokoule
Stuha
- Prsten
- Válec
Pás Mobius
- Möbiův pás
Koule se třemi otvory...

Související
pojmy

Vlastnosti	Konektivita kompaktnost Triangulace nebo hladkost Orientovatelnost
Charakteristika	Počet prvků ohraničení Rod Eulerova charakteristika
Operace	Připojený součet řezání otvorů Přilepení rukojeti Připevnění Möbiova proužku Ponoření