Hypotéza Ago-Jugi

Ago-Jugi hypotéza je číselně teoretická domněnka o Bernoulliho číslech , podle kterého je prvočíslo tehdy a jen tehdy, když . $B_{k}$ $p$ $pB_{{p-1}}\equiv -1{\pmod p}$

Ekvivalentní formulace

Historicky první formulace domněnky patří italskému matematikovi Giuseppe Giuge ( 1950 ), podle níž je prvočíslo, pokud: $p$

\sum _{{i=1}}^{{p-1}}i^{{p-1}}=1^{{p-1}}+2^{{p-1}}+\cdots +(p-1)^{{p-1}}\equiv -1{\pmod p}

V této formulaci stačí k uspokojení vlastnosti primálnost čísla , protože pro prvočíslo platí Fermatova malá věta , že pro , což implikuje ekvivalenci, protože . $p$ $p$ $a^{{p-1}}\equiv 1{\pmod p}$ $a=1,2,\tečky ,p-1$ $p-1\ekviv -1{\pmod p}$

Moderní formulace s vazbou na Bernoulliho čísla patří japonskému matematikovi Takashi Agohovi ( 1990 ).

Aktuální stav

Tvrzení zůstává hypotézou, protože nebylo prokázáno, že pokud je složené , pak vzorec neplatí. Ukázalo se, že složené číslo splňuje vzorec právě tehdy, když je současně Carmichaelovým i Jugiho číslem a pokud takové číslo existuje, obsahuje alespoň 13 800 znaků [1] . Laerte Sorini nakonec v článku z roku 2001 ukázal, že možným protipříkladem k domněnce by mělo být číslo n větší než 10 36067 , což představuje limit navržený Bedocchim pro demonstrační techniku, kterou uvedl Juga ve svém vlastním návrhu. $n$ $n$

Vztah s Wilsonovou větou

Hypotéza Ago-Jugi je povrchně podobná tvrzení Wilsonovy věty , podle níž je jednoduchá tehdy a jen tehdy , když , kterou lze zapsat jako: $p$ $(p-1)!\equiv -1{\pmod p}$

\prod _{i=1}^{p-1}i\equiv -1{\pmod {p}}

(výrok hypotézy Ago-Jugi je formulován takto:

\sum _{{i=1}}^{{p-1}}i^{{p-1}}\equiv -1{\pmod p}

Poznámky

↑ Borwein, Borwein, Borwein, Girgensohn, 1996

Literatura

Takashi Agoh. O Giugově domněnce // Manuscripta Mathematica. - 1995. - T. 87 , č. 4 . — S. 501–510 . - doi : 10.1007/bf02570490 .
D. Borwein, JM Borwein, PB Borwein, R. Girgensohn. Giuga's Conjecture on Primality // American Mathematical Monthly . - 1996. - T. 103 . — S. 40–50 . - doi : 10.2307/2975213 . Archivováno z originálu 31. května 2005.
Giuseppe Giuga. Su una presumibile proprietà caratteristica dei numeri primi (italsky) // Ist. Lombardo Sci. Lett., Rend., Cl. sci. Rohož. Natur. - 1951. - T. 83 . — S. 511–518 . — ISSN 0375-9164 .
Laerte Sorini. Un Metodo Euristico per la Soluzione della Congettura di Giuga (italsky) // Quaderni di Economia, Matematica e Statistica, DESP, Università di Urbino Carlo Bo. - 2001. - T. 68 . — S. 511–518 . — ISSN 1720-9668 .

Hypotézy o prvočíslech
Hypotézy	Hardy - Littlewood Před - Jugi Andritsy Artina Bateman-Horn hypotéza Brocard Bunjakovskij Čínská hypotéza Kramer Dixon Elliot-Halberstam Firuzbekht Gilbraith Grimm Landauovy problémy Goldbach Legendre Dvojčíslí Legendrova konstanta Lemoine Mersenne Opperman Polignac Poyi Redmond — Sunya Hypotéza H Waringa