Bunyakovského hypotéza

Bunyakovského domněnka říká, že pokud je celočíselný neredukovatelný polynom a d je největší společný dělitel všech jeho hodnot v celočíselných bodech, pak celočíselný polynom nabývá nekonečně mnoha prvočísel. $f(x)$ $f(x)/d$

Pokud je lineární funkce, pak největší společný dělitel jejích hodnot je . A pak podle Dirichletova teorému o prvočíslech v aritmetické progresi lineární funkce nabývá nekonečnou množinu prvočísel (je jasné, že má celočíselnou hodnotu). To znamená, že hypotéza je formulována správně. $f(x)=kx+b$ ${\text{gcd}}(k,b)$ $f_{1}(x)={\frac {kx+b}{d))$ $f_1(x)$

Landauův 4. problém je speciálním případem této domněnky $f(x)=x^{2}+1.$

Článek Bateman, Horn [1] uvádí obecný heuristický vzorec, z něhož vyplývá, že hustota prvočísel ireducibilního polynomu splňujícího podmínky Bunyakovského domněnky je popsána jako $f(x)$

\pi _{f}(N)\sim {\frac {C(f)}{\deg f))\int \limits _{2}^{N}{\frac {dt}{\ln t}},

kde je počet celých čísel , jako je prvočíslo, a konstanta , kde prochází prvočísly a je počet srovnávacích řešení v poli $\pi _{f}(N)$ $n\leq N$ $f(n)$ $C(f)=\prod \limits _{p}{\frac {1-{\frac {\omega (p)}{p))}{1-{\frac {1}{p)) }}$ $p$ $\omega (p)$ $f(x)\equiv 0{\pmod {p))$ ${\mathbb {Z}}/(p).$

Příklad

Ukažme si například, jak lze odhadnout pro . Potom , kdy bude a kdy bude . Zbývá pouze vypočítat produkt číselně. $C(f)$ $f(x)=x^{2}+1$ $\omega (2)=1$ $p\equiv -1{\pmod {4}}$ $\omega (p)=0$ $p\equiv 1{\pmod {4}}$ $\omega (p)=2$

Viz také

Otevřené matematické úlohy - úlohy z jiných odvětví matematiky
Otevřené problémy v teorii čísel
Hypotéza H

Poznámky

↑ Heuristický asymptotický vzorec týkající se rozdělení prvočísel . Datum přístupu: 12. ledna 2012. Archivováno z originálu 27. prosince 2011. (neurčitý)

Literatura

Paul T. Bateman, Roger A. Horn. Heuristický asymptotický vzorec týkající se rozdělení prvočísel // Math . Komp.. - 1962. - Sv. 17, č. 84 . - S. 445-447.
V. Serpinsky . Co víme a co nevíme o prvočíslech. - M. - L .: Fizmatlit , 1963. - 92 s.
Slang. Bunyakovskii conjecture ( Archivováno 27. září 2013 na Wayback Machine ), Encyklopedie matematiky , ISBN 1402006098 .
Ed. Pegg, Jr. Bouniakowského domněnka (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Rupert, Wolfgang M. (1998-08-05), Redukovatelnost polynomů f ( x , y ) modulo p , arΧiv : math/9808021 [math.NT].
Bouniakowsky V. Nouveaux théorèmes relatifs à la rozlišení des nombres premiers et à la décomposition des entiers en facteurs (francouzsky) // Mém. Akad. Sc. Svatý. Petrohrad. - 1857. - S. 305-329.

Hypotézy o prvočíslech
Hypotézy	Hardy - Littlewood Před - Jugi Andritsy Artina Bateman-Horn hypotéza Brocard Bunjakovskij Čínská hypotéza Kramer Dixon Elliot-Halberstam Firuzbekht Gilbraith Grimm Landauovy problémy Goldbach Legendre Dvojčíslí Legendrova konstanta Lemoine Mersenne Opperman Polignac Poyi Redmond — Sunya Hypotéza H Waringa