Gilbraithova hypotéza

Gilbraithova domněnka je hypotéza v teorii čísel , která říká, že pokud vezmete posloupnost prvočísel a iterativně na ni aplikujete operátor rozdílu , pak sekvence získané v každém kroku budou vždy začínat 1. Dohad získal slávu poté, co byl publikoval v roce 1958 Norman Gilbraith [1] . Již v roce 1878 však François Prot publikoval domnělý důkaz stejné domněnky, která, jak se ukázalo, byla mylná [1] .

Počátky hypotézy

Uvažujme posloupnost prvočísel

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,\tečky

Vypočítejme absolutní hodnoty rozdílů mezi každou dvojicí sousedních členů a zapišme výslednou sekvenci:

1,2,2,4,2,4,2,4,6,2,\tečky

Pokračováním v provádění této operace pro každou novou získanou sekvenci získáme následující:

1,0,2,2,2,2,2,2,4,\tečky

1,2,0,0,0,0,0,2,\tečky

1,2,0,0,0,0,2,\tečky

1,2,0,0,0,2,\tečky

1,2,0,0,2,\tečky

Vidíme, že prvním prvkem každé sekvence je . $jeden$

Hypotéza

Formulovat Gilbraithovu domněnku je snazší, pokud zavedeme nějaký zápis sekvencí z předchozí části. označte uspořádanou posloupnost prvočísel a definujte členy posloupnosti jako $\{p_{n}\}$ $p_{n}$ $\{d_{n}\}$

{\displaystyle d_{n}=p_{n+1}-p_{n))

kde n je přirozené. Uvažujeme také, že pro každý přirozený definujeme posloupnost vzorcem $\{d_{n}\}=\{d_{n}^{1}\}$ $k>1$ $\{d_{n}^{k}\}$

d_{n}^{k}=|d_{n+1}^{k-1}-d_{n}^{k-1}|

(zde - toto není titul, ale horní index) $k$

Gilbraithova domněnka říká, že každý člen posloupnosti je roven . ${\displaystyle a_{k}=d_{1}^{k))$ $jeden$

Ověřování a pokusy o důkaz

Od roku 2011 neexistoval žádný správný publikovaný důkaz domněnky. Jak bylo zmíněno v úvodu, Prot důkaz o tvrzení, ale později se ukázalo, že je nesprávný Andrew Odlyzhko v roce 1993 zkontroloval, že je 1 pro všechny [2] , ale domněnka zůstává otevřeným problémem. Místo výpočtu všech řádků tabulky Odlyzhko spočítal 635 řádků a zjistil, že 635. řádek začíná od 1 a dále až po -tý prvek sestává pouze z čísel 0 a 2. Z toho vyplývá, že všechny následující řádky začínají od jedné. ${\displaystyle d_{1}^{k))$ $k\leqslant n=3{,}4\cdot 10^{11}$ $n$ $n$ $n$

Posloupnosti pro prvočísla do 150

V níže uvedené tabulce jsou nuly zvýrazněny zeleně, jedničky červeně, dvojky modře a ostatní čísla šedě. Podstatou hypotézy je, že šedá plocha nikdy nedosáhne červeného sloupce jednotek.

2	3	5	7	jedenáct	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89	97	101	103	107	109	113	127	131	137	139	149
jeden	2	2	čtyři	2	čtyři	2	čtyři	6	2	6	čtyři	2	čtyři	6	6	2	6	čtyři	2	6	čtyři	6	osm	čtyři	2	čtyři	2	čtyři	čtrnáct	čtyři	6	2	deset
jeden	0	2	2	2	2	2	2	čtyři	čtyři	2	2	2	2	0	čtyři	čtyři	2	2	čtyři	2	2	2	čtyři	2	2	2	2	deset	deset	2	čtyři	osm
jeden	2	0	0	0	0	0	2	0	2	0	0	0	2	čtyři	0	2	0	2	2	0	0	2	2	0	0	0	osm	0	osm	2	čtyři
jeden	2	0	0	0	0	2	2	2	2	0	0	2	2	čtyři	2	2	2	0	2	0	2	0	2	0	0	osm	osm	osm	6	2
jeden	2	0	0	0	2	0	0	0	2	0	2	0	2	2	0	0	2	2	2	2	2	2	2	0	osm	0	0	2	čtyři
jeden	2	0	0	2	2	0	0	2	2	2	2	2	0	2	0	2	0	0	0	0	0	0	2	osm	osm	0	2	2
jeden	2	0	2	0	2	0	2	0	0	0	0	2	2	2	2	2	0	0	0	0	0	2	6	0	osm	2	0
jeden	2	2	2	2	2	2	2	0	0	0	2	0	0	0	0	2	0	0	0	0	2	čtyři	6	osm	6	2
jeden	0	0	0	0	0	0	2	0	0	2	2	0	0	0	2	2	0	0	0	2	2	2	2	2	čtyři
jeden	0	0	0	0	0	2	2	0	2	0	2	0	0	2	0	2	0	0	2	0	0	0	0	2
jeden	0	0	0	0	2	0	2	2	2	2	2	0	2	2	2	2	0	2	2	0	0	0	2
jeden	0	0	0	2	2	2	0	0	0	0	2	2	0	0	0	2	2	0	2	0	0	2
jeden	0	0	2	0	0	2	0	0	0	2	0	2	0	0	2	0	2	2	2	0	2
jeden	0	2	2	0	2	2	0	0	2	2	2	2	0	2	2	2	0	0	2	2
jeden	2	0	2	2	0	2	0	2	0	0	0	2	2	0	0	2	0	2	0
jeden	2	2	0	2	2	2	2	2	0	0	2	0	2	0	2	2	2	2
jeden	0	2	2	0	0	0	0	2	0	2	2	2	2	2	0	0	0
jeden	2	0	2	0	0	0	2	2	2	0	0	0	0	2	0	0
jeden	2	2	2	0	0	2	0	0	2	0	0	0	2	2	0
jeden	0	0	2	0	2	2	0	2	2	0	0	2	0	2
jeden	0	2	2	2	0	2	2	0	2	0	2	2	2
jeden	2	0	0	2	2	0	2	2	2	2	0	0
jeden	2	0	2	0	2	2	0	0	0	2	0
jeden	2	2	2	2	0	2	0	0	2	2
jeden	0	0	0	2	2	2	0	2	0
jeden	0	0	2	0	0	2	2	2
jeden	0	2	2	0	2	0	0
jeden	2	0	2	2	2	0
jeden	2	2	0	0	2
jeden	0	2	0	2
jeden	2	2	2
jeden	0	0
jeden	0
jeden

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 Caldwell, Chris, The Prime Glossary: Gilbreath's conjecture , < http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=GilbreathsConjecture > Archivováno 24. března 2012 na Wayback Machine .
↑ Odlyzko, AM (1993), Iterované absolutní hodnoty rozdílů po sobě jdoucích prvočísel , Mathematics of Computation vol. 61: 373–380 , < http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/arch/ gilbreath. conj.ps > Archivováno 27. září 2011 na Wayback Machine .

Literatura

V. Serpinsky . Co víme a co nevíme o prvočíslech. - L., FizMatLit, 1963.

Odkazy

Weisstein, Eric W. Gilbraith Conjecture ve Wolfram MathWorld .

Hypotézy o prvočíslech
Hypotézy	Hardy - Littlewood Před - Jugi Andritsy Artina Bateman-Horn hypotéza Brocard Bunjakovskij Čínská hypotéza Kramer Dixon Elliot-Halberstam Firuzbekht Gilbraith Grimm Landauovy problémy Goldbach Legendre Dvojčíslí Legendrova konstanta Lemoine Mersenne Opperman Polignac Poyi Redmond — Sunya Hypotéza H Waringa