Dixonova hypotéza

Dixonova domněnka je číselně teoretický předpoklad vytvořený Linordem Dixonem v roce 1904, který uvádí, že pro jakoukoli konečnou množinu lineárních forem s , existuje nekonečně mnoho přirozených čísel n , pro které budou všechny hodnoty forem zároveň prvočísla , pokud neexistuje srovnání s nějakým primárním modulem, které tuto možnost okamžitě vylučuje. ${\displaystyle a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2},...a_{k}n+b_{k))$ $a_{j}\geqslant 1$

Formulace

Nechť k je přirozené číslo, uvažujme k aritmetické posloupnosti s celými čísly a . Dixonova domněnka naznačuje, že existuje nekonečně mnoho přirozených čísel n , takže pro každé takové n je všech k prvočísel . Z úvahy je vyloučen pouze triviální případ, kdy existuje prvočíslo p takové, že pro libovolné n je alespoň jedno číslo násobkem p . Toto omezení lze přeformulovat následovně: není pravda, že pro jakékoli n se srovnání provádí . V druhém případě lze jak několik posloupností pro různá n , tak jednu progresi pro všechna n vydělit p . Například pro 2 posloupnosti vždy a pro 2 další posloupnosti pro sudé n a pro liché - , takže ve dvojicích posloupnosti a počet jednoduchých dvojic není nekonečný. ${\displaystyle a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2},...a_{k}n+b_{k))$ ${\displaystyle a_{j},b_{j))$ $a_{j}\geqslant 1$ ${\displaystyle a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2},...a_{k}n+b_{k))$ ${\displaystyle a_{j}n+b_{j))$ $(a_{1}n+b_{1})(a_{2}n+b_{2})...(a_{k}n+b_{k})\equiv 0{\pmod p}$ $n,2n$ $2\mid 2n$ $n,n+3$ $2\mid n$ $2\mid n+3$ $n,2n$ $n,n+3$

Poznamenáváme také, že formulace hypotézy se stává přirozenější, pokud se její rozsah rozšíří z přirozených čísel na všechna celá čísla, konkrétně nejen kladná čísla jsou považována za prvočísla , ale také záporná čísla (což jsou skutečně prvočísla v kruhu) . obvyklý smysl). V tomto případě není potřeba vyžadovat kladnost všech hodnot všech progresí , a proto lze stav oslabit na a ten zcela odstranit, protože jinak se nejedná o aritmetickou progresi. $2,3,5,...$ $-2,-3,-5,...$ $\mathbb {Z}$ ${\displaystyle a_{j}n+b_{j))$ $a_{j}\geqslant 1$ $a_{j}\neq 0$ ${\displaystyle a_{j}n+b_{j))$

Speciální případy

Tento případ již byl prokázán - to je Dirichletova věta . $k=1$
Tyto dva speciální případy jsou dobře známé domněnky: existuje nekonečně mnoho prvočísel dvojčat ( n a n + 2 prvočísla) a nekonečně mnoho čísel Sophie Germainové ( n a 2 n + 1 prvočísel).
Polignacova domněnka - existuje nekonečně mnoho jednoduchých dvojic tvaru , t je pevné přirozené číslo (tedy nekonečný počet jednoduchých dvojic , atd .). $n,n+2t$ $(n,n+2)$ $(n,n+4)$ $(n,n+6)$
Konsekutivní prvočísla: Pokud neexistuje prvočíslo p takové, že pro všechna n je počet po sobě jdoucích prvočísel nekonečný (toto jsou opět dvojice , trojice , čtyřky atd.) $p\mid (n+b_{1})(n+b_{2})...(n+b_{k})$ $(n,n+2)$ $(n,n+2,n+6)$ $(n,n+2,n+6,n+8)$
Jako další důsledky lze uvést skutečnost, že nekonečno počtu složených Mersennových čísel a nekonečno Carmichaelových čísel obsahujících právě 3 prvočinitele vyplývá z Dixonovy domněnky atd.

Heuristické úvahy ve prospěch hypotézy

Nechť je počet srovnávacích řešení . Podle předpokladu hypotézy a následně podle heuristického uvažování ve prospěch Bateman-Hornovy hypotézy získáme, že hustotu čísel n nepřesahujících x , pro která jsou všechna čísla prvočísla, odhadneme hodnotou $w(p)$ $(a_{1}n+b_{1})(a_{2}n+b_{2})...(a_{k}n+b_{k})\equiv 0{\pmod p}$ $w(p)<p$ $a_{j}n+b+j$

\prod \limits _{p}{\frac {1-w(p)/p}{(1-p^{-1})^{k}}}\int \limits _{2}^ {x}{\frac {dt}{\ln ^{k}t)),

zde součin přebírá všechna prvočísla p a je přirozeným logaritmem čísla. Hodnota je asymptoticky ekvivalentní , ale 1. výraz by měl být přesnější. Když , je snadné zkontrolovat, že koeficient bude roven , což odpovídá Dirichletově větě (zde je Eulerova funkce ). $\ln$ $\prod \limits _{p}{\frac {1-w(p)/p}{(1-p^{-1})^{k))}{\frac {x}{\ln ^{k}x}},$ $k=1$ ${\frac {1}{\varphi (a_{1)))))$ $\varphi$

Zobecnění

Dixonův dohad byl později zobecněn Schinzelem na Schinzelovu domněnku .

Viz také

Odkazy

Dickson, L.E. (1904), Nové rozšíření Dirichletovy věty o prvočíslech , Messenger of mathematics vol . 33: 155–161 , < https://books.google.com/books?id=i8MKAAAAIAAJ&pg=PA155 > Archivováno od května 16, 2016 na Wayback Machine
Ribenboim, Paulo (1996), The new book of prvočíselných rekordů , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94457-9 , < https://books.google.com/books?id= 72eg8bFw40kC > Archivováno 23. června 2016 na Wayback Machine
http://primes.utm.edu/glossary/xpage/DicksonsConjecture.html Archivováno 23. října 2012 na Wayback Machine

Hypotézy o prvočíslech
Hypotézy	Hardy - Littlewood Před - Jugi Andritsy Artina Bateman-Horn hypotéza Brocard Bunjakovskij Čínská hypotéza Kramer Dixon Elliot-Halberstam Firuzbekht Gilbraith Grimm Landauovy problémy Goldbach Legendre Dvojčíslí Legendrova konstanta Lemoine Mersenne Opperman Polignac Poyi Redmond — Sunya Hypotéza H Waringa