Diferenciál (matematika)

Diferenciál (z latinského diferencia „rozdíl, rozdíl“) je lineární část přírůstku funkce .

Notace

Obvykle se diferenciál funkce značí . Někteří autoři dávají přednost použití roman, aby zdůraznili, že diferenciál je operátor . $F$ $df$ ${{\rm {d}}} f$

Diferenciál v bodě se značí , někdy i nebo , stejně jako , pokud je význam z kontextu jasný. $x_{0}$ $d_{{x_{0}}}f$ $df_{{x_{0}}}}$ $df[x_{0}]$ $df$ $x_{0}$

V souladu s tím může být hodnota diferenciálu v bodě od označena jako , a někdy nebo , a také , pokud je význam jasný z kontextu. $x_{0}$ $h$ $d_{{x_{0}}}f(h)$ $df_{{x_{0}}}(h)$ $df[x_{0}](h)$ $df(h)$ $x_{0}$

Použití rozdílového znaménka

Znaménko diferenciálu se používá ve výrazu pro integrál . V tomto případě je někdy (a ne zcela správně) diferenciál zaveden jako součást definice integrálu $\int f(x)\, dx$ $dx$ .
Také znaménko diferenciálu se používá v Leibnizově zápisu pro derivaci . Tento zápis je motivován tím, že pro diferenciály funkce a identické funkce platí vztah: $f'(x_{0})={\frac {df}{dx}}(x_{0})$ $F$ $X$ $d_{{x_{0}}}f=f'(x_{0}){\cdot }d_{{x_{0}}}x.$

Definice

Pro funkce

Diferenciál funkce v bodě lze definovat jako lineární funkci $f\colon {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ $x_{0}\in {\mathbb {R}}$

d_{{x_{0}}}f(h)=f'(x_{0})h,

kde označuje derivaci v bodě a je přírůstek argumentu při přechodu z do . $f'(x_{0})$ $F$ $x_{0}$ $h$ $x_{0}$ $x_{0}+h$

Existuje tedy funkce dvou argumentů . $df$ $df\colon (x_{0},h)\mapsto d_{{x_{0}}}f(h)$

Diferenciál lze definovat přímo, to znamená bez definice derivace, jako funkci , která lineárně závisí na , a pro kterou platí následující vztah $d_{{x_{0}}}f(h)$ $h$

d_{x_0}f(h)=f(x_0 + h) - f(x_0) + o(h).

Pro displeje

Rozdíl zobrazení v bodě je lineární zobrazení takové, že podmínka $f\colon {\mathbb {R}}^{n}\to {\mathbb {R}}^{m}$ $x_{0}\in {\mathbb {R}}^{n}$ $d_{{x_{0))}f\dvojtečka {\mathbb {R}}^{n}\to {\mathbb {R}}^{m}$

d_{x_0}f(h)=f(x_0 + h) - f(x_0) + o(h).

Související definice

Zobrazení se nazývá diferencovatelné v bodě , pokud je definován diferenciál . $f\colon {\mathbb {R}}^{n}\to {\mathbb {R}}^{m}$ $x_{0}\in {\mathbb {R}}^{n}$ $d_{{x_{0))}f\dvojtečka {\mathbb {R}}^{n}\to {\mathbb {R}}^{m}$

Vlastnosti

Matice lineárního operátora je rovna Jacobian matici ; jeho prvky jsou parciální derivace . $d_{{x_{0}}}f$ $F$
- Všimněte si, že Jacobiho matici lze definovat v bodě, kde není definován diferenciál.
Diferenciál funkce souvisí s jejím gradientem následujícím konstitutivním vztahem $F$ $\nabla f$ $d_{{x_{0}}}f(h)=\langle (\nabla f)(x_{0}),h\rangle$

Historie

Termín „diferenciální“ zavedl Leibniz . Původně se používalo k označení " infinitesimální " - veličiny, která je menší než jakákoli konečná veličina, a přesto se nerovná nule. Tento pohled se ukázal jako nepohodlný ve většině odvětví matematiky, s výjimkou nestandardní analýzy . $dx$

Variace a zobecnění

Pojem diferenciál obsahuje více než jen diferenciál funkce nebo zobrazení. To může být zobecněno, aby poskytlo různé důležité entity ve funkcionální analýze , diferenciální geometrii, teorii míry, nestandardní analýze, algebraické geometrii a tak dále.

Literatura

G. M. Fikhtengolts "Kurz diferenciálního a integrálního počtu"

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Skvělý norský okolo světa Malý Brockhaus a Efron Treccani

Diferenciální počet

Hlavní

soukromé pohledy

Diferenční operátory
( v různých souřadnicích )

První objednávka	Operátor Nabla Spád Divergence Rotor Helmholtzian
druhá objednávka	Eliptický operátor Laplaceův operátor Laplaceův vektorový operátor Operátor D'Alembert Operátor Laplace-Beltrami
vyšší řády	Hypoeliptický operátor

související témata

Počet infinitezimálů a infinitezimálů
Příběh	Leibnizova notace Integrální znak Metoda nedělitelných
Související destinace	Vlastní analýza
Formalismy	Rozdíl
Koncepty	Standardní část čísla Princip přechodu Hyperinteger Věta o přírůstku Monad Interní sada Field of Levi-Civita Hyperfinite set Zákon kontinuity přetečení Mikrokontinuita Transcendentní zákon homogenity
Vědci	Archimedes Leibniz Robinson Farma Cauchy Euler
Literatura	Analýza infinitezimálů Elementární výpočty Kurz analýzy

Deriváty latinského písmene D, d
Písmena	РР ð̤ ð̞ Ꟈꟈ Ďď d̯ Đđ Ɖɖ Ɗɗ Ƌƌ Ḋḋ Ḍḍ Ḏḏ Ḑḑ D̦d̦ D̂d̂ D̓d̓ d̈ D̤d̤ Ḓḓ Dd Ḍ́ḍ́ D̲d̲ d̪ d͔ d͕ ȡ ᶑ ᶑ̥ ᴅ ᴆ ᴅ́ ᴅ̣ ᴅ͔ ᴅ͕ ᵭ ꝱ ȸ E ᶁ Ǳǲǳ Ǆǅǆ ' ʤ 𝼒 𝼙 ꭦ ʥ Ꝺꝺ
Symboly	ⅅ/ⅆ ∂ ₫ ₰ 𝄊 𝄉 Ⓓⓓ ⒟