Diferenciální geometrie ploch
Diferenciální geometrie povrchů je historicky důležitou oblastí diferenciální geometrie .
Diferenciální geometrie ploch je rozdělena do dvou hlavních podsekcí: vnější a vnitřní geometrie. Hlavním předmětem studia vnější geometrie povrchů jsou hladké povrchy zasazené do euklidovského prostoru a také řada jejich zobecnění. Ve vnitřní geometrii jsou hlavním objektem abstraktně dané plochy s různými přídavnými strukturami, nejčastěji první základní formou (stejnou jako Riemannova metrika ).
Historie
Některé vlastnosti rotačních ploch znal dokonce i Archimedes . Rozvoj kalkulu v sedmnáctém století poskytl systematičtější přístupy k jejich dokazování.
Zakřivení obecných povrchů studoval Leonhard Euler ; v roce 1760 získal výraz pro normální zakřivení povrchu. [1] V roce 1771 [2] uvažoval o plochách zadaných v parametrické formě, zavedl pojem superpozice ploch (v moderní terminologii izometrický); zvláště uvažoval o plochách superponovaných na rovině. Euler byl tedy první, kdo uvažoval o vnitřní geometrii povrchu.
Gaspard Monge zvažoval asymptotické křivky a křivky zakřivení na površích.
Nejdůležitější příspěvek k teorii povrchů učinil Gauss ve dvou článcích napsaných v letech 1825 a 1827 [3] . Zejména dokázal tzv. Theorema Egregium - historicky důležitý Gaussův výsledek, který říká, že Gaussova křivost je vnitřní invariant, tedy invariant pod lokálními izometriemi . Oddělení diferenciální geometrie do samostatné oblasti výzkumu je často spojeno právě s touto větou. [4] Zavedl koncept první a druhé kvadratické formy . Později Karl Mikhailovič Peterson odvodil kompletní systém rovnic pro kvadratické povrchové formy.
Klíčové výsledky v oblasti vnitřní geometrie povrchů získal Ferdinand Gotlibovich Minding . Zejména zavedl koncept paralelního překladu podél křivky, který byl dále rozvinut v dílech Tullio Levi-Civita .
Od konce 19. století byla věnována velká pozornost problému izometrického ponoru, povrchového ohybu a problémům s tuhostí. Nejdůležitější výsledky dosáhli Alexandr Danilovič Alexandrov , David Gilbert , Dmitrij Fedorovič Egorov , Stefan Cohn-Vossen a další.
Metody vyvinuté v diferenciální geometrii povrchů hrály hlavní roli ve vývoji Riemannovy a Alexandrovy geometrie .
Základní pojmy
Hladký vložený povrch je hlavním předmětem studia v diferenciální geometrii povrchů, přesněji řečeno, vnější geometrie povrchů . Je definován následovně: Podmnožina euklidovského prostoru se nazývá hladká vnořená plocha (přesněji hladká pravidelná vnořená plocha bez hranice ), pokud pro jakýkoli bod existuje okolí , které je grafem hladké funkce ve vhodně zvoleném Kartézský souřadnicový systém .
Pro jakýkoli povrch vložený do euklidovského prostoru lze měřit délku křivky na povrchu, úhel mezi dvěma křivkami a plochu oblasti na povrchu. Tato struktura je dána první základní formou , tj. 2×2 pozitivně definitní maticí , která se plynule mění bod od bodu v lokální parametrizaci povrchu. Z původní přílohy je možné abstrahovat. To znamená, že uvažujme abstraktní povrch daný lokálními souřadnicemi s Riemannovou metrikou. To vede k tzv. vnitřní geometrii ploch, dále rozvinuté v Riemannově geometrii .
Zakřivení hraje ústřední roli ve studiu povrchů , včetně hlavních zakřivení , Gaussových a středních zakřivení a tenzorových popisů zakřivení, jako je tvarový operátor a druhá základní forma .
Velká pozornost je věnována dalším třídám křivek na povrchu , včetně geodetických , asymptotických křivek a linií zakřivení .
Hlavní výsledky teorie se týkají vlastností konvexních , sedlových ploch , rotačních ploch , ploch s konstantní střední křivostí a zejména minimálních ploch .
Konstrukce- Sférické mapování je mapování, ve kterém je bod povrchu mapován na jednotkový normálový vektor v tomto bodě.
- Darbouxův trihedron je přirozenou referencí pro křivku na povrchu, která se používá v definici geodetické a normální křivosti .
- Eulerův vzorec umožňuje vypočítat normální zakřivení povrchu.
- Meunierova věta - dává výraz pro zakřivení křivky ležící na ploše.
Základní věty
- Gaussovo Lemma on Geodesics – říká, že jakýkoli dostatečně malý kruh se středem v bodě na povrchu je kolmý ke každé geodetické křivce od středu. Používá se při dokazování, že geodetické křivky jsou lokálně nejkratší křivky. Také hraje klíčovou roli při dokazování vlastností normálních a semigeodetických souřadnic
- Peterson-Codazziho rovnice dávají místní podmínky na první a druhé kvadratické formě povrchu.
- Uniformizační teorém zaručuje existenci konformní parametrizace daného povrchu plochou konstantní Gaussovy křivosti.
- Gauss-Bonnetův vzorec vyjadřuje integrál Gaussova zakřivení nad oblastí na povrchu.
- Alexandrovova srovnávací věta – uvádí odhady pro úhly geodetického trojúhelníku.
Otevřené otázky
- Problém izometrického vkládání. Zůstává otevřenou otázkou, zda nějaký abstraktně daný povrch připouští izometrické vnoření do euklidovského prostoru dimenze 3. Toto je takzvaná " Weylova rovnice " [5] .
- Výsledek Jakoboviche [6] a Poznyaka [7] dává kladnou odpověď pro vkládání do 4-rozměrného prostoru.
- V roce 1926 Maurice Janet dokázal a vyřešil problém pro analytické metriky.
- Aleksandrovův teorém o vkládání říká, že jakákoli dostatečně hladká metrika na kouli s kladným Gaussovým zakřivením je izometrická k uzavřenému konvexnímu povrchu v . Podobný výsledek pro analytické metriky získal dříve Weil.
- Carathéodoryho domněnka: Dohad říká, že uzavřený konvexní třikrát diferencovatelný povrch připouští alespoň dva body zaoblení . První prací na tomto dohadu byla práce Hanse Hamburgera v roce 1924, který poznamenal, že domněnka vyplývá z následujícího přesnějšího tvrzení: Poloceločíselný index svazku hlavního zakřivení izolovaného pupku nepřesahuje jednu.
- Wilmoreova hypotéza . Tento dohad říká, že integrál čtverce středního zakřivení torusu vloženého domusí být zespodu ohraničen. Je známo, že integrál je Möbiův invariant. Hypotézu vyřešili v roce 2012 Fernando Koda Marquez a Andrk Neves [9] .
Poznámky
- ↑ Euler, 1760 .
- ↑ Euler, 1771 .
- ↑ Gauss, 1902 .
- ↑ Toponogov, 2012 , s. 132.
- ↑ Han, Hong, 2006 .
- ↑ Jacobowitz, 1972 .
- ↑ Poznjak, 1973 .
- ↑ Pogorelov A. V. Ohýbání konvexních ploch GITTL (1951)
- ↑ Marques, Neves, 2014 , str. 683–782.
Odkazy
- DIFERENCIÁLNÍ GEOMETRIE // Velká ruská encyklopedie : [ve 35 svazcích] / kap. vyd. Yu. S. Osipov . - M .: Velká ruská encyklopedie, 2004-2017.
Literatura
- S. E. Cohn-Vossen , D. Gilbert . vizuální geometrie. - M . : Spojené vědeckotechnické nakladatelství NKTP SSSR, 1936. - 302 s.
- Do Karmo, M. Diferenciální geometrie křivek a ploch. - Moskva, Iževsk, 2013. - ISBN 978-5-4344-0150-0 .
- Pogorelov, A. I. Diferenciální geometrie . — 6. vydání. — M .: Nauka, 1974.
- Poznyak EG Izometrické ponoření dvourozměrné Riemannovy metriky do euklidovských prostorů. - 1973. - T. 28 , no. 4 . — s. 47–77 . - doi : 10.1070/RM1973v028n04ABEH001591 .
- Rashevsky, P. K. Kurz diferenciální geometrie . — 3. vydání. — M. : GITTL, 1950.
- Toponogov, V. A. Diferenciální geometrie křivek a ploch. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135 .
- Recherches sur la courbure des surface // Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin. - 1760. - T. 16 . — S. 119–143 . . Datum vydání - 1767
- Leonhard Euler . De solidis quorum superficiem in planum explicare licet // Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae. - 1771. - T. 16 . — s. 3–34 . . Datum vydání - 1772
- Carl Friedrich Gauss . Obecná zkoumání zakřivených povrchů z let 1825 a 1827 . - Princetonská univerzitní knihovna, 1902.
- Qing Han, Jia-Xing Hong. Izometrické vkládání Riemannových variet v euklidovských prostorech. - 2006. - ISBN 978-0-8218-4071-9 .
- Howard Jacobowitz. Místní izometrické vnoření povrchů do euklidovského čtyřprostoru // Indiana Univ. Matematika. J .. - 1972. - T. 21 , no. 3 . — S. 249–254 . - doi : 10.1512/iumj.1971.21.21019 .
- Fernando Codá Marques, André Neves. Teorie Min-Max a Willmoreova domněnka // Annals of Mathematics. - 2014. - T. 179 , č.p. 2 . - doi : 10.4007/annals.2014.179.2.6 . - arXiv : 1202.6036 . — .