Cauchyho-Maclaurinův integrální test

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 11. května 2019; kontroly vyžadují 13 úprav .

Cauchy-Maclaurinův integrální test je test na konvergenci klesající kladné číselné řady . Cauchy-Maclaurinův test umožňuje redukovat verifikaci konvergence řady na verifikaci konvergence nevlastního integrálu příslušné funkce na , kterou lze často explicitně nalézt. $[1,\infty )$

Prohlášení věty

Nechte funkci provést: $f(x)$

$\forall x\geqslant 1\quad f(x)>0$ , tj. funkce nabývá kladných hodnot na intervalu ; $[1,+\infty )$
$\forall x_{1},x_{2}\geqslant 1\qquad x_{1}<x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\geqslant f(x_{2})$ , tj. funkce je monotónně nerostoucí na ; $[1,+\infty )$
${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad f(n)=a_{n))$ (odpovídající hodnota funkce členu řady).

Potom řada a nevlastní integrál konvergují nebo divergují současně. $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\int \limits _{1}^{\infty }\!f(x)\,dx$

Náčrt důkazu

Postavme postupně obrázky na grafu, jak je znázorněno na obrázku. $f(x)$
Plocha větší postavy je . $S_{b}=f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n-1)$
Plocha menší postavy je . $S_{s}=f(2)+f(3)+f(4)+...+f(n)$
Plocha křivočarého lichoběžníku pod grafem funkce je $S_{{tr}}=\int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx$
Dostaneme $S_{s}\leqslant S_{{tr}}\leqslant S_{b}\;\Šipka doprava \;S_{n}-a_{1}\leqslant \int \limits _{1}^{n}f(x )\,dx\leqslant S_{{n-1}}$
Dále je dokázáno pomocí kritéria konvergence znaménko-pozitivních řad .

Kompletní důkaz

$\forall b>1$ $f(x)$ je monotónní na , takže existuje. $[1,b]$ $\int \limits _{1}^{b}f(x)dx$

$\forall x\in [n,n+1]$ $f(n)\geqslant f(x)\geqslant f(n+1)$ , Tudíž

$\forall n\in \mathbb {N} \qquad$ $\int \limits _{n}^{n+1}f(n)dx=f(n)\geqslant \int \limits _{n}^{n+1}f(x)dx\geqslant f(n+1)$ .
Pokud tedy konverguje, pak $\int \limits _{1}^{+\infty }f(x)\,dx$

$S_{n}-f(1)=f(2)+...+f(n)\leqslant \int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx\leqslant \ int \limits _{1}^{+\infty }f(x)\,dx<+\infty$ .
Proto je omezená. A protože je neklesající, sbližuje se. $S_{n}$

Pokud se rozchází, tedy $\int \limits _{1}^{+\infty }f(x)\,dx$ $\lim _{n\to \infty } \int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx=+\infty$

$S_{n}=f(1)+...+f(n)\geqslant \int \limits _{1}^{n+1}f(x)\,dx\to +\infty ,$ takže série se rozchází.

Věta byla prokázána.

Příklady ("referenční" série)

Zobecněná harmonická řada konverguje v a diverguje v , od ${\displaystyle \sum {\frac {1}{n^{p))))$ $p>1$ $p\leqslant 1$

$\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}dx=\ln x|_{1}^{+\infty }=+\infty$ (případ ), $p=1$

$\int \limits _{1}^{+\infty }{\frac {1}{x^{p}}}dx=\left.{\frac {1}{1-p}}x^ {1-p}\right|_{1}^{+\infty }={\frac {1}{p-1}}$ v , $p>1$

$\int \limits _{1}^{+\infty }{\frac {1}{x^{p}}}dx=\left.{\frac {1}{1-p}}x^ {1-p}\right|_{1}^{+\infty }=+\infty$ v . $p<1$

$\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{x\ln ^{q}x))$ konverguje v a diverguje v . Je třeba zvážit odůvodnění . $q>1$ $q\leqslant 1$ $\int \limits _{2}^{+\infty }{\frac {1}{x\ln ^{q}x}}dx$
Na základě srovnání s těmito řadami vycházejí znaky Raabeho, Gausse, Bertranda a některých dalších. Série „referenčních“ řad může pokračovat a na jejich základě lze konstruovat rodinu stále jemnějších prvků pro pomalu konvergující řady.

Odhadování zbytku série

Integrální Cauchyho kritérium nám umožňuje odhadnout zbytek řady kladných znamének. Z výrazu získaného v důkazu $r_{n}$

S_{n}-a_{1}\leqslant \int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx\leqslant S_{{n-1}}

Pomocí jednoduchých transformací získáme:

\int \limits _{{n+1}}^{\infty }f(x)\,dx\leqslant r_{n}\leqslant \int \limits _{n}^{\infty }f(x)\ ,dx\leqslant a_{n}+\int \limits _{{n+1}}^{\infty }f(x)\,dx

Viz také

Znaky konvergence řad
Pro všechny řádky	Nutná podmínka Cauchyho kritérium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Pro znaménko-pozitivní řady	Hlavní kritérium Srovnávací znamení Kummer znamení Gaussův znak Cauchyho radikální znamení Integrální funkce Znamení D'Alemberta mocenský znak logaritmické znamení Znamení Raabe Bertrandův znak Jametovo znamení Znamení Schlömilch Znamení Ermakova Znamení Lobačevského teleskopický znak Znamení Sapogov
Pro střídání sérií	Leibnizův znak
Pro řádky formuláře $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abelův znak Znamení Dedekinda Znamení Dubois-Reymond Dirichlet znamení
Pro funkční série	Weierstrass znamení
Pro Fourierovy řady	Znamení Dini Znamení de la Vallée Poussin Jordánsko znamení Jungův znak Znamení Salem Lebesgue znamení Znamení Lebesgue-Gergen Znamení Martsinkeviče