Místní kroužek

Místní prsten je prsten , který má relativně jednoduchou vnitřní strukturu a dovolí jeden popisovat “místní chování” funkcí na algebraické rozmanitosti nebo obyčejné rozmanitosti . Odvětví komutativní algebry , které studuje místní kruhy a moduly nad nimi, se nazývá místní algebra .

Definice

Kruh R je lokální, pokud platí jedna z následujících ekvivalentních vlastností:

R má jeden maximální levý ideál ;
R má jeden maximální pravý ideál ;
Množina ireverzibilních prvků R je uzavřena sčítáním a identita prstence se neshoduje s nulou .

V tomto případě se jediný maximální levý ideál shoduje s maximálním pravým ideálem a skládá se ze všech nevratných prvků prstenu. A naopak, pokud všechny nevratné prvky prstenu tvoří ideál, pak je tento ideál maximální a žádné další maximální ideály v prstenu nejsou.

Příklady

Všechna tělesa jsou lokální prstence, protože jediným správným ideálem v nich je nulový ideál.
Důležitou třídou místních kroužků jsou diskrétní oceňovací kroužky . Zejména všechny místní hlavní ideální domény jsou diskrétní oceňovací kruhy.
Okruh formálních mocninných řad v libovolném počtu proměnných je lokální.
Lokalizace jakéhokoli komutativního kruhu R vzhledem k prvočíslu je lokální kruh.

Funkční zárodky

Tento příklad nám umožňuje pochopit původ termínu „místní“. Uvažujme okruh spojitých reálně hodnotných funkcí definovaných v nějakém okolí nuly. Zaveďme relaci ekvivalence na množině takových funkcí : dvě funkce jsou ekvivalentní právě tehdy, když se jejich omezení na nějaké okolí nuly shodují. Ekvivalenční třídy s ohledem na tento vztah se nazývají "zárodky reálně hodnotných spojitých funkcí v nule", na zárodcích lze přirozeně zavádět operace sčítání a násobení, lze snadno ověřit, že zárodky tvoří prstenec.

Abychom ověřili, že tento prsten je místní, popíšeme všechny jeho nevratné prvky. Je zřejmé, že zárodek funkce f takový, že f (0) = 0 není invertibilní. Naopak, jestliže f (0) ≠ 0, pak spojitost implikuje, že f( x ) ≠ 0 v nějakém okolí nuly. Vezměte funkci g ( x ) = 1/ f ( x ) definovanou v tomto okolí, její zárodek je inverzní ke zárodku f , a proto je zárodek f invertibilní. Nevratné jsou tedy pouze takové zárodky funkcí, že f (0) = 0. Součet dvou nevratných zárodků je tedy nevratný, proto je zárodečný kruh lokální.

Přesně tytéž argumenty umožňují dokázat, že zárodek spojitých funkcí v bodě libovolného topologického prostoru nebo hladkých funkcí v bodě hladké variety nebo racionálních funkcí v bodě algebraické variety jsou lokální. Poslední příklad má velký význam v algebraické geometrii . Zejména schémata , která jsou zobecněními algebraických variet, jsou definována jako lokálně prstencové prostory s dalšími vlastnostmi.

Nekomutativní lokální kruhy

Nekomutativní lokální kruhy se přirozeně objevují při studiu přímých součtových rozkladů modulů . Konkrétně, pokud je kruh endomorfismu modulu M lokální, pak M je nerozložitelný . Naopak, jestliže M je nerozložitelný modul konečné délky , pak jeho prstenec endomorfismu je lokální.

Jestliže k je pole s nenulovou charakteristikou p a G je konečná p-grupa , pak je kruh skupiny k [ G ] lokální.

Lokalizace prstenu podle prvoideálu

Nechť R je komutativní kruh s identitou a je v něm primárním ideálem . Sada - tvoří multiplikativní systém prstence R odpovídající primárnímu ideálu . $\mathfrak{p}$ $S_{\mathfrak {p}}=\{a\in R:\,a\notin {\mathfrak {p}}\}$ $\mathfrak{p}$

Lokalizace kruhu R podle primárního ideálu je kruh zlomků kruhu R pomocí multiplikativního systému . Stejně jako v obecném případě kruhu kvocientů je kanonický homomorfismus kruhu R do definován vzorcem . $R_{\mathfrak{p}}$ $\mathfrak{p}$ $S_{\mathfrak {p}}^{-1}R$ $S_{\mathfrak {p}}$ $\pi _{\mathfrak {p))$ $S_{\mathfrak {p}}^{-1}R$ $\pi _{\mathfrak {p}}(r)=r/1$

Navíc všechny invertibilní prvky v mají tvar , kde prvky , i nevratné prvky mají tvar r/s a tvoří ideál . Protože tento ideál obsahuje všechny nevratné prvky prstence , jedná se o maximální ideál a jedná se o prsten lokální. $R_{\mathfrak{p}}$ ${\displaystyle s_{1}/s_{2))$ $s_{1},s_{2}\in S_{\mathfrak {p))$ $r\in {\mathfrak {p)),\,s\in S_{\mathfrak {p))$ $\mathfrak{m}$ $R_{\mathfrak{p}}$ $R_{\mathfrak{p}}$

Viz také

Lemma z Nakayamy

Literatura

Bourbaki N. Komutativní algebra. - M: Mir, 1971
Lam, TY První kurz nekomutativních kroužků (neopr.) . — 2. - Springer-Verlag , 2001. - (Absolventské texty z matematiky). — ISBN 0-387-95183-0 .
Jacobson, Nathan. Základní algebra (neurčitá) . — 2. - Dover, 2009. - Svazek 2. - ISBN 978-0-486-47187-7 .