Normální

Normála v geometrii je zobecněním konceptu kolmice k přímce nebo rovině k libovolným hladkým křivkám a povrchům .

Normála ke křivce v daném bodě je přímka kolmá na tečnu v určeném bodě křivky. Rovinná hladká křivka má v každém bodě jednu normálu umístěnou ve stejné rovině. Prostorová křivka v každém ze svých bodů má nekonečný počet normál, které tvoří tzv. normální rovinu . Dvě z těchto normál vynikají zejména: normála ležící v oskulační rovině se nazývá hlavní normála a normála kolmá k oskulační rovině se nazývá binormální [1] .

Normálou k ploše v daném bodě na ní je přímka kolmá k tečné rovině v určeném bodě plochy. Normála pro hladký povrch je jednoznačně definována [1] .

Pojem normály lze snadno rozšířit na vícerozměrné variety . Kromě geometrie jsou normály široce používány v geometrické optice , mechanice , při vytváření trojrozměrné počítačové grafiky , v teorii potenciálu a v dalších přírodních vědách [2] .

Normální vektor

Normální vektor (nebo ort normály ) k povrchu v daném bodě je jednotkový vektor aplikovaný na daný bod a rovnoběžný se směrem normály. Pro každý bod na hladkém povrchu můžete určit dva normálové vektory, které se liší směrem. Normální vektory k prostorové křivce v daném bodě jsou definovány podobně; mezi nimi jsou podle výše uvedeného vybrány dva, navzájem ortogonální: hlavní normálový vektor a binormální vektor.

Plocha se nazývá oboustranná , pokud má po celé své délce spojité pole normálových vektorů. Jinak se povrch nazývá jednostranný nebo neorientovatelný . Orientovaná plocha je oboustranná plocha se zvoleným směrem normály.

Příkladem jednostranných a tudíž neorientovatelných ploch je Kleinova láhev nebo Möbiův proužek .

Normální až prostorová křivka

Nechť je vektorová rovnice křivky. Pak lze směr hlavní normály získat jako dvojitý vektorový součin : V případě přirozené parametrizace křivky (její obloukové délky ) je jednotkový vektor hlavní normály [3] roven . ${\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(t)$ $[[\mathbf {r} ',\ \mathbf {r} ''],\ \mathbf {r} '].$ ${\mathbf {r))''$

Vektorová rovnice binormály v bodě má tvar: $t=t_{0}$

{\boldsymbol {r}}(\lambda )={\boldsymbol {r}}(t_{0})+\lambda [{\boldsymbol {r}}'(t_{0}),~{\boldsymbol {r }}''(t_{0})].

Rovnice normální roviny [3] v bodě : ${\boldsymbol {r}}(t_{0})=\{x_{0},y_{0},z_{0}\}$

x'_{0}(x-x_{0})+y'_{0}(y-y_{0})+z'_{0}(z-z_{0})=0

Kolmo k rovinné křivce

U rovinné křivky se rovina, která ji obsahuje, shoduje s tečnou rovinou. Normála až po znaménko je pouze jedna - hlavní a její rovnice v bodě má následující tvar. $(x_{0},\ y_{0})$

Metoda definice rovinné křivky	Křivka rovnice	Normální rovnice
Parametrická úloha	${\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(t)$	$y=y_{0}-{\frac {x_{0}'}{y_{0}'}}(x-x_{0})$
Explicitní zadání	$y=f(x)$	$y=y_{0}-{\frac {x-x_{0}}{y_{0}'}}$
implicitní zadání	$F(x,y)=0$	$y=y_{0}+{\frac {(F_{y}')_{0}}{(F_{x}')_{0}}}(x-x_{0})$

Povrch normální

V diferenciální geometrii jsou studované plochy obvykle podrobeny podmínkám souvisejícím s možností aplikace metod diferenciálního počtu . Zpravidla se jedná o podmínky hladkosti povrchu, to znamená existenci v každém bodě povrchu určité tečné roviny, zakřivení atd. Tyto požadavky se scvrkají na skutečnost, že funkce, které definují povrch se předpokládají jednou, dvakrát, třikrát a v některých otázkách - neomezený počet mnohokrát diferencovatelných nebo dokonce analytických funkcí . V tomto případě je dodatečně uložena podmínka pravidelnosti (viz článek Povrch ). Příkladem povrchového bodu, kde normála není definována, je vrchol kužele - v něm není žádná tečná rovina.

Souřadnice normálového vektoru pro různé způsoby specifikace povrchu jsou uvedeny v tabulce:

	Normální souřadnice v bodě povrchu
parametrická úloha: $\mathbf{r} = \mathbf{r}(u,\v)$	$\frac{\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)};\,\frac{D(z,x)}{D(u,v)};\,\frac {D(x,y)}{D(u,v)}\right)}{\sqrt{\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)}\right)^2 +\left(\frac{D(z,x)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\ vpravo)^2}}$
implicitní úkol: $F(x,y,z)=0$	$\frac{\left(\frac{\partial F}{\partial x};\,\frac{\partial F}{\partial y};\,\frac{\partial F}{\partial z}\right )}{\sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial y}\right)^2+\left ( \frac{\partial F}{\partial z}\right)^2}}$
explicitní zadání: $z=f(x,y)$	$\frac{\left(-\frac{\partial f}{\partial x};\,-\frac{\partial f}{\partial y};\,1\right)}{\sqrt{\left( \frac{\částečné f}{\částečné x}\vpravo)^2+\vlevo( \frac{\částečné f}{\částečné y}\vpravo)^2+1))$

Zde . Všechny derivace jsou brány v bodě . Ze vzorců je vidět, že v případě implicitního přiřazení se směr normály k funkci shoduje se směrem jejího gradientu . ${\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}y'_{u}&y'_{v}\\z'_{u}&z'_ {v}\end{vmatrix)),\quad {\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}z'_{u}&z'_{v }\\x'_{u}&x'_{v}\end{vmatrix)),\quad {\frac {D(x,y)}{D(u,v)))={\begin{vmatrix ) }x'_{u}&x'_{v}\\y'_{u}&y'_{v}\end{vmatrix}}$ $(x_{0},y_{0},z_{0})$ $F(x,y,z)$

Řez plochy rovinou obsahující normálu plochy v daném bodě tvoří určitou křivku, která se nazývá normálový řez plochy. Hlavní normála pro normální řez se shoduje s normálou k povrchu (až na znaménko).

Pokud křivka na ploše není normální řez, pak její hlavní normála svírá úhel s normálou plochy . Potom je zakřivení křivky vztaženo ke zakřivení normálního řezu (se stejnou tečnou) podle Meunierova vzorce [4] : $\theta$ $k$ $k_n$

k_n = \pm k\,\cos\,\theta

Zakřivení normálního řezu v daném bodě závisí na směru tohoto řezu; není-li zakřivení konstantní, pak je maxima a minima dosaženo ve dvou vzájemně kolmých směrech, nazývaných hlavní směry . Na kouli, na koncích elipsoidu atd. je zakřivení konstantní a všechny směry jsou hlavní [5] . $k_n$

Poznámky

↑ 1 2 Matematická encyklopedie, 1982 , str. 1049-1050.
↑ Normální // Matematický encyklopedický slovník . - M . : Sovětská encyklopedie, 1988. - S. 416 . — 847 s.
↑ 1 2 Raševskij, 1956 , str. 146.
↑ Pogorelov, 1974 , str. 125-126.
↑ Pogorelov, 1974 , str. 132-133.

Literatura

Normální // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích). - M . : Sovětská encyklopedie , 1982. - T. 3.
Pogorelov AI Diferenciální geometrie. - 6. vyd. - M .: Nauka, 1974. - 176 s.
Rashevsky P. K. Kurz diferenciální geometrie. - 4. vyd. — M. : GITTL, 1956.

Odkazy

Normální // Velká ruská encyklopedie : [ve 35 svazcích] / kap. vyd. Yu. S. Osipov . - M .: Velká ruská encyklopedie, 2004-2017.

Slovníky a encyklopedie	Skvělý norský Velký Rus Brockhaus a Efron Malý Brockhaus a Efron Nový
V bibliografických katalozích	GND : 4699684-9

Vektory a matice

vektory

Základní pojmy	Vektor v geometrii Základ Ortogonální základ Vektorové souřadnice Kolinearita Ortogonalita Lineární závislost Prostor sloupců
Druhy vektorů	Jednotkový vektor Axiální vektor izotropní vektor Normální Kolinearita Nulový vektor Vektor poloměru Vlastní vektor
Operace s vektory	Skalární součin vektorový produkt smíšený produkt Pseudoskalární produkt Dvojitý křížový produkt
Typy prostoru	vektorový prostor afinní prostor Euklidovský prostor Pseudoeuklidovský prostor Normovaný prostor Minkowského prostor

matrice

Základní pojmy	Maticové násobení Transponovaná matice Hermitovská konjugovaná matice Symetrická matice inverzní matice Vlastní hodnota Charakteristický polynom matice
Speciální matrice	Matice identity Nulová matice Diagonální matice lambda matrice
Maticové rozklady	LU rozklad Choleský rozklad QR rozklad rozklad LUP singulární rozklad hodnoty Spektrální rozklad matice

jiný